四川省成都市蒲江县2022-2023学年上学期九年级期末数学试卷(含答案)

-2023学年四川省成都市蒲江县九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．2x﹣1＝4 B．xy+x＝3 C． D．x2﹣2x+1＝02．（3分）我国航天事业取得了跨越式发展，下列航天图标属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点P，连接BC，AD．若∠C＝30°，则∠ADP的大小为（）A．30° B．43° C．53° D．77°4．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）5．（3分）如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转36°，得到△AB'C'，点C刚好落在边B'C'上．则∠C＝（）A．54° B．62° C．68° D．72°6．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）A．y＝x2 B．y＝（x﹣6）2+4 C．y＝（x﹣6）2 D．y＝x2+47．（3分）已知二次函数y＝a（x+k）2+h（a，k，h均为常数）的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣2和5，则关于x的一元二次方程a（x+k+2）2+h＝0的两个实数根分别是（）A．x1＝﹣4，x2＝3 B．x1＝3，x2＝7 C．x1＝0，x2＝7 D．x1＝0，x2＝38．（3分）如图，在⊙O中，M为弦AB上一点，且AM＝2BM＝4，连接OM，过M作OM⊥MN交⊙O于点N，则MN的长为（）A．2.5 B．3 C． D．9．（3分）如图，矩形ABCD的边AD在x轴的正半轴上，反比例函数y＝的图象恰好经过顶点B，CA的延长线交y于点E，已知△ADE的面积为，则k的值为（）A． B．﹣6 C． D．﹣310．（3分）小明在研究抛物线y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（）A．无论x取何实数，y的值都小于0 B．该抛物线的顶点始终在直线y＝x﹣1上 C．当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则h≥2 D．该抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＜2h，则y1＞y2二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）已知（m﹣2）x|m|﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝．12．（3分）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm的半圆，则这个圆锥的底面半径长是cm．13．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝2．若AE＝6，则EC的值为．14．（3分）如图，点A（x，y）在反比例函数的图象上，且AB垂直于x轴，垂足为点B，则S△OAB＝．15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，则下列正确的是．①a＜0；②2a+b＝0；③a+b+c＝0；④当x＜1时，y随x的增大而增大．三．解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）解下列一元二次方程．（1）x2﹣7x+10＝0；（2）（x﹣3）（x+2）＝6．17．（8分）如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与底面的夹角为α，当梯顶A下滑2m到A1时，梯脚B滑到B1处，A1B1与地面的夹角为β．若tanα＝，BB1＝2m，求cosβ的值．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三顶点坐标分别为A（1，2），B（3，3），C（3，1）．（1）在平面直角坐标系内画出△ABC．（2）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC相似比为2：1．（3）直接写出点A1，C1坐标．19．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，4），与x轴的两个交点间的距离为6，求此抛物线的函数表达式．20．（9分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．21．（10分）新冠疫情期间，邻居小王在淘宝上销售某类型口罩，每袋进价为20元，经市场调研，销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，已知平台要求该类型口罩每天销售量不得少于120袋．（1）直接写出：①每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式；②每天的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（2）小王希望每天获利1760元，则销售单价应定为多少元？（3）若每袋口罩的利润不低于15元，则小王每天能否获得2000元的总利润，若能，求出销售定价；否则，说明理由．22．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）该抛物线的解析式为；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与直线BC交于点M，与抛物线上直线BC上方部分交于点P，设m＝，求m的最大值及此时点P的坐标；（3）若点D、P为（2）中求出的点，点Q为x轴的一个动点，点N为坐标平面内一点，当以点P、D、Q、N为顶点的四边形为矩形时，直接写出点N的坐标．23．（13分）如图1，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BD、CE相交于点P．（1）若∠ABC＝45°，将△ADE绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BD与CE的数量关系是，位置关系是；（2）若∠ABC＝60°，将△ADE绕点A逆时针旋转．①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图3所示的情况加以证明；否则，请写出正确结论，并说明理由．②若AC＝3，E是AC的中点，当以A、D、E、P为顶点的四边形是矩形时，请直接写出CP的长．2022-2023学年四川省成都市蒲江县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．2x﹣1＝4 B．xy+x＝3 C． D．x2﹣2x+1＝0【解答】解：A、2x﹣1＝4，该方程不是一元一次方程，不符合题意；B、xy+x＝3，该方程是二元二次方程，不符合题意；C、x﹣＝5是分式方程，不符合题意；D、x2﹣2x+1＝0，是一元二次方程，符合题意．故选：D．2．（3分）我国航天事业取得了跨越式发展，下列航天图标属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：由题意可知D选项符合题意．故选：D．3．（3分）如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点P，连接BC，AD．若∠C＝30°，则∠ADP的大小为（）A．30° B．43° C．53° D．77°【解答】解：∵∠C＝30°，∠C、∠ADP所对弧都是，∴∠ADP＝∠C＝30°．故选：A．4．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2﹣3，∴该抛物线的顶点坐标是（2，﹣3），故选：A．5．（3分）如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转36°，得到△AB'C'，点C刚好落在边B'C'上．则∠C＝（）A．54° B．62° C．68° D．72°【解答】解：由题意可得：AC＝AC′，∵把△ABC绕着点A顺时针方向旋转36°，得到△AB′C′，点C刚好落在边B′C′上，∴∠CAC′＝36°，∴∠ACC′＝∠C′＝×（180°﹣36°）＝72°．故选：D．6．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）A．y＝x2 B．y＝（x﹣6）2+4 C．y＝（x﹣6）2 D．y＝x2+4【解答】解：将抛物线y＝（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是y＝（x﹣3+3）2+2﹣2，即y＝x2．故选：A．7．（3分）已知二次函数y＝a（x+k）2+h（a，k，h均为常数）的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣2和5，则关于x的一元二次方程a（x+k+2）2+h＝0的两个实数根分别是（）A．x1＝﹣4，x2＝3 B．x1＝3，x2＝7 C．x1＝0，x2＝7 D．x1＝0，x2＝3【解答】解：设二次函数，∵y＝a（x+k）2+h，∴y向左平移2个单位长度得到y1，∵二次函数y的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣2和5，∴二次函数y1的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣4和3，∴一元二次方程a（x+k+2）2+h＝0的两个实数根分别是x1＝﹣4，x2＝3，故选：A．8．（3分）如图，在⊙O中，M为弦AB上一点，且AM＝2BM＝4，连接OM，过M作OM⊥MN交⊙O于点N，则MN的长为（）A．2.5 B．3 C． D．【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接AO，NO，∵AM＝2BM＝4，∴BM＝2，则AB＝AM+BM＝4+2＝6，∵OC⊥AB，∴，∴MC＝BC﹣BM＝3﹣2＝1，设OC＝x，在Rt△COM中，根据勾股定理可得：OM2＝OC2+MC2＝x2+1，在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：AO2＝OC2+AC2＝x2+9，∴NO2＝x2+9，∵OM⊥MN，∴MN2＝NO2﹣OM2＝x2+9﹣（x2+1）＝8，∴（负值舍去），故选：C．9．（3分）如图，矩形ABCD的边AD在x轴的正半轴上，反比例函数y＝的图象恰好经过顶点B，CA的延长线交y于点E，已知△ADE的面积为，则k的值为（）A． B．﹣6 C． D．﹣3【解答】解：∵点B在反比例函数图象上，∴设，∴，∵∠EAO＝∠CDA，∴△EAO∽△CAD，∴，即，整理得：OE⋅AD＝﹣k，∵，∴﹣k＝3，解得k＝﹣3，故选：D．10．（3分）小明在研究抛物线y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（）A．无论x取何实数，y的值都小于0 B．该抛物线的顶点始终在直线y＝x﹣1上 C．当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则h≥2 D．该抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＜2h，则y1＞y2【解答】解：∵y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1，∴抛物线开口向下，顶点坐标为（h，﹣h+1），对称轴为直线x＝h，∴抛物线最大值为y＝﹣h+1，选项A错误，设h＝x，则﹣h+1＝﹣x+1，∴抛物线顶点在直线y＝﹣x+1上，选项B错误．∵x≤h时，y随x增大而增大，∴h≥2时，若x＜2，则y随x增大而增大，选项C正确．∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x＝h，∴当x1＜x2，x1+x2＜2h时，A（x1，y1）与对称轴的距离大于点B（x2，y2）与对称轴的距离，∴y1＜y2，选项D错误．故选：C．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）已知（m﹣2）x|m|﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝﹣2．【解答】解：∵（m﹣2）x|m|﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，∴m﹣2≠0且|m|＝2，解得：m＝﹣2，故答案为：﹣2．12．（3分）若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm的半圆，则这个圆锥的底面半径长是9cm．【解答】解：设个圆锥的底面半径为rcm，根据题意得2πr＝，解得r＝9，即个圆锥的底面半径长是9cm．故答案为9．13．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝2．若AE＝6，则EC的值为3．【解答】解：∵在△ABC中，DE∥BC，∴＝，即＝，∴EC＝3．故答案为：3．14．（3分）如图，点A（x，y）在反比例函数的图象上，且AB垂直于x轴，垂足为点B，则S△OAB＝5．【解答】解：∵点A（x，y）在反比例函数的图象上，且AB垂直于x轴，垂足为B，∴．故答案为：5．15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，则下列正确的是①②④．①a＜0；②2a+b＝0；③a+b+c＝0；④当x＜1时，y随x的增大而增大．【解答】解：抛物线开口向下，所以a＜0，故①正确；∵对称轴为x＝＝1，∴2a+b＝0，∴②正确；由图象知，当x＝1时，图象在x轴上方，所以y＝a+b+c＞0，故③错误；当x＜1时，y随x的增大而增大，故④正确；故答案为：①②④．三．解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）解下列一元二次方程．（1）x2﹣7x+10＝0；（2）（x﹣3）（x+2）＝6．【解答】解：∵x2﹣7x+10＝0，∴（x﹣2）（x﹣5）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣5＝0，∴x1＝2，x2＝5；（2）方程化为x2﹣x﹣12＝0，∴（x﹣4）（x+3）＝0，∴x﹣4＝0或x+3＝0，∴x1＝4，x2＝﹣3．17．（8分）如图，AB是斜靠在墙上的长梯，AB与底面的夹角为α，当梯顶A下滑2m到A1时，梯脚B滑到B1处，A1B1与地面的夹角为β．若tanα＝，BB1＝2m，求cosβ的值．【解答】解：∵，∴设AC＝4k，BC＝3k，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：，∴A1B1＝5k，∵AA1＝2m，BB1＝2m，∴A1C＝4k﹣2，B1C＝3k+2，在Rt△A1B1C中，根据勾股定理可得：，即（5k）2＝（4k﹣2）2+（3k+2）2，解得：k＝2，∴A1B1＝5k＝10，B1C＝3k+2＝8，∴．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC三顶点坐标分别为A（1，2），B（3，3），C（3，1）．（1）在平面直角坐标系内画出△ABC．（2）以点B为位似中心，在点B的下方画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC相似比为2：1．（3）直接写出点A1，C1坐标．【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．（2）如图，△A1BC1即为所求．（3）由图可得，点A1（﹣1，1），C1（3，﹣1）．19．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，4），与x轴的两个交点间的距离为6，求此抛物线的函数表达式．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，4），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵抛物线与x轴的两个交点间的距离为6，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为（﹣4，0），（2，0），设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣2），把（﹣1，4）代入得a•3•（﹣3）＝4，解得a＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+4）（x﹣2），即y＝﹣x2﹣x+．20．（9分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO＝FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE＝x，则DE＝x，AE＝6﹣x，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，∴x2＝42+（6﹣x）2，解得：x＝，∵BD＝＝2，∴OB＝BD＝，∵BD⊥EF，∴EO＝＝，∴EF＝2EO＝．21．（10分）新冠疫情期间，邻居小王在淘宝上销售某类型口罩，每袋进价为20元，经市场调研，销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，已知平台要求该类型口罩每天销售量不得少于120袋．（1）直接写出：①每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的函数关系式y＝﹣10x+500；②每天的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式w＝﹣10x2+700x﹣10000．（2）小王希望每天获利1760元，则销售单价应定为多少元？（3）若每袋口罩的利润不低于15元，则小王每天能否获得2000元的总利润，若能，求出销售定价；否则，说明理由．【解答】解：（1）①∵销售定价为每袋25元时，每天可售出250袋；销售单价每提高1元，每天销售量将减少10袋，∴y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500；故答案为：y＝﹣10x+500；②根据题意得：w＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000；故答案为：y＝﹣10x2+700x﹣10000．（2）∵y＝﹣10x+500≥120，∴x≤38，小王希望每天获利1760元，则﹣10x2+700x﹣10000＝1760，、解得：x1＝28，x2＝42（舍去），∴要想获利1760元，销售单价应定为28元；（3）不能．∵x﹣20≥15，∴x≥35，由（2）知x≤38，∴35≤x≤38．当w＝﹣10（x﹣35）2+2250＝2000时，解得x＝30或40，这与35≤x≤38矛盾，∴在每袋口罩销售利润不低于15元的情况下，不能获得2000元的总利润．22．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与直线BC交于点M，与抛物线上直线BC上方部分交于点P，设m＝，求m的最大值及此时点P的坐标；（3）若点D、P为（2）中求出的点，点Q为x轴的一个动点，点N为坐标平面内一点，当以点P、D、Q、N为顶点的四边形为矩形时，直接写出点N的坐标．【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），∵OC＝2OA，OA＝2，∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4，故答案为：y＝﹣x2+x+4；（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．∵CD∥PE，∴△CMD∽△FMP，∴m＝，∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），∵BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）；（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．①当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，有（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），由△DOE∽△QOD可得，∴OD2＝OE•OQ，∴1＝•OQ，∴OQ＝，∴Q（，0）．根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴N（2+，4﹣1），即N（，3）b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，∴Q（8，0），根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，∵Q是直角顶点，∴QD2+QP2＝PD2，∴x2+1+（x﹣2