MATLAB程序设计- 课件 第4-6章 数据可视化、数据拟合与插值、回归分析和方差分析

1MATLAB程序设计《MATLAB程序设计》2第四章数据可视化4.1二维图形绘制4.2三维图形绘制4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》3在MATLAB中，绘制直角坐标系下的二维曲线可以利用plot函数。这是最基本且应用最为广泛的绘图函数。plot函数的基本调用格式为：plot(x,y)4.1.1绘制单根二维曲线

例4-1在0≤x≤2π区间内，绘制曲线x=0:pi/100:2*pi;y=x.^2.*cos(4*pi*x);figureplot(x,y,'k-','LineWidth',1.5)xlim([min(x),max(x)]);xlabel('x');ylabel('y');4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》4例4-2绘制曲线，4.1.1绘制单根二维曲线

这是以参数方程的形式给出的二维曲线，只要给定参数向量，再分别求出x，y向量即可绘出曲线t=0:pi/100:2*pi;x=t.*cos(3*t);y=t.*cos(t).^2;figureplot(x,y,'k-','LineWidth',1.5)xlabel('x’);

ylabel('y');4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》54.1.1绘制单根二维曲线

plot函数最简单的调用格式是只包含一个输入参数x，调用格式为plot(x)，在这种情况下，当x是实向量时，以该向量元素的下标为横坐标，元素值为纵坐标画出一条连续曲线，这实际上是绘制折线图。x=0:pi/100:2*pi;y=x.^2.*cos(4*pi*x);figureplot(y,'k-','LineWidth',1.5)xlim([0,length(y)])xlabel('数据点');ylabel('y');

以例题4-1为例，采用plot(x)格式绘制图形4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》64.1.2绘制多根二维曲线

调用形式：（1）plot函数的输入参数是矩阵形式；（2）含多个输入参数的plot函数；（3）具有两个纵坐标标度的图形4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》74.1.2绘制多根二维曲线

（1）plot函数的输入参数是矩阵形式①当x是向量，y其中一维与x保持相同长度时，则绘制出多根不同颜色的曲线。曲线条数等于y矩阵的另一维大小，x被作为这些曲线共同的横坐标。x=linspace(-pi,pi,100);y=[exp(x*i);2*exp(x*i);3*exp(x*i)]';figureplot(y,'LineWidth',1.5);xlim([min(x),max(x)]);xlabel('x');ylabel('y’);legend('Line1','Line2','Line3')4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》84.1.2绘制多根二维曲线

（1）plot函数的输入参数是矩阵形式②

当x、y是同型矩阵时，则以x、y对应列元素为横、纵坐标分别绘制曲线，曲线条数等于矩阵的列数。x1=linspace(0,pi,100);x2=linspace(2*pi,3*pi,100);x3=linspace(4*pi,5*pi,100);x=[x1;x2;x3]';y=[tan(x1);tan(x2);tan(x3)]';figureplot(x,y,'LineWidth',1.5);xlabel('x');ylabel('y');legend('Line1','Line2','Line3')4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》94.1.2绘制多根二维曲线

（2）含多个输入参数的plot函数

①

plot函数可以包含若干组向量对，每一向量对可以绘制一条曲线，含多个输入参数的plot函数调用格式为：plot(x1,y1,x2,y2,...,xn,yn)>>x1=linspace(0,2*pi,100);>>x2=linspace(0,3*pi,100);>>x3=linspace(0,4*pi,100);>>plot(x1,sin(x1),x2,1+sin(x2),x3,2+sin(x3))4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》104.1.2绘制多根二维曲线

（2）含多个输入参数的plot函数②当输入参数有矩阵形式时，配对的x、y按对应列元素为横、纵坐标分别绘制曲线，曲线条数等于矩阵的列数。>>xl=linspace(0,2*pi,100);>>x2=linspace(0,3*pi,100);>>x3=linspace(0,4*pi,100);>>y1=sin(x1);>>y2=1+sin(x2);>>y3=2+sin(x3);>>x=[xl;x2;x3]';>>y=[y1;y2;y3]';>>plot(x,y,x1,y1-1)4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》114.1.2绘制多根二维曲线

（3）具有两个纵坐标标度的图形具有两个纵坐标标度的图形有利于图形数据的对比分析。在MATLAB中，如果需要绘制这种图形，可以使用plotyy函数，其常用的调用格式为：

plotyy(x1,y1,x2,y2)4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》124.1.2绘制多根二维曲线

（3）具有两个纵坐标标度的图形例4-4采用两坐标形式绘制正弦曲线和余弦曲线。x=0:2*pi/100:2*pi;ysin=sin(x);ycos=cos(x);figure[hAx,hsin,hcos]=plotyy(x,ysin,x,ycos);xlim([min(x),max(x)]);hsin.LineStyle='--';hcos.LineStyle=':';hsin.Color='k';hcos.Color='k';ylabel(hAx(1),'ysin');ylabel(hAx(2),'ycos’);

xlabel('x')4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》134.1.3设置曲线样式

MATLAB提供了一些绘图选项，用于确定所绘曲线的线型、颜色和数据点标记符号。选项线型选项线型-实线（默认值）-.点划线:虚线--双划线线型选项4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》144.1.3设置曲线样式

MATLAB提供了一些绘图选项，用于确定所绘曲线的线型、颜色和数据点标记符号。颜色选项选项颜色选项颜色b(blue)蓝色m(magenta)品红色g(green)绿色y(yellow)黄色r(red)红色k(black)黑色c(cyan)青色w(white)白色4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》154.1.3设置曲线样式

MATLAB提供了一些绘图选项，用于确定所绘曲线的线型、颜色和数据点标记符号。标记符号选项标记符号选项标记符号.点p五角星符O圆圈h六角星符X叉号s方块符+加号d菱形符*星号

4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》164.1.3设置曲线样式

要设置曲线样式可以在plot函数中加绘图选项，其调用格式为：plot(x1,y1,选项1,x2,y2,选项2,…,xn,yn,选项n)例4-5

在同一坐标内，分别用不同线型和颜色绘制如下两条曲线，并标记两曲线交叉点。4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》174.1.3设置曲线样式

x=linspace(0,2*pi,1000);y1=0.2*cos(-0.5*x).*sin(4*pi*x);y2=2*cos(-0.5*x).*sin(pi*x);k=find(abs(y1-y2)<1e-3);x1=x(k);y3=0.2*exp(-0.5*x1).*cos(4*pi*x1);figureplot(x,y1,'k--',x,y2,'k:',x1,y3,'rp','LineWidth',1.5);xlim([min(x),max(x)]);ylim([-1.5,2])xlabel('x');ylabel('y’);legend('y1','y2','交叉点')4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》184.1.4图形标注与坐标控制

（1）图形标注在绘制图形的同时，可以对图形加上一些说明，如图形名称、坐标轴说明以及图形某一部分的含义等，这些操作称为添加图形标注，以使图形意义更加明确，可读性更强。①title(图形名称)②xlable(x轴说明)③ylable(y轴说明)④text(x,y,图形说明)⑤legend(图例1,图例2,...)4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》194.1.4图形标注与坐标控制

（2）坐标控制在绘制图形时，MATLAB可以自动根据要绘制曲线数据的范围选择合适的坐标刻度，使得曲线能够尽可能清晰地显示出来。①axisequal，纵、横坐标轴采用等长刻度。②axissquare，产生正方形坐标系（默认为矩形)。③axisauto，使用默认设置。④axisoff，取消坐标轴。⑤axison，显示坐标轴。axis([xmin，xmax，ymin，ymax，zmin，zmax])4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》204.1.5图形窗口的分割

在实际应用中，经常需要在一个图形窗口内绘制若干个独立的图形，这就需要对图形窗口进行分割。分割后的图形窗口由若干个绘图区组成，每一个绘图区可以建立独立的坐标系并绘制图形。同一图形窗口中的不同图形称为子图。MATLAB提供了subplot函数，用来将当前图形窗口分割成若干个绘图区。每个区域代表一个独立的子图，也是一个独立的坐标系，可以通过subplot函数激活某一区，该区为活动区，所发出的绘图命令都作用于活动区域。subplot函数的调用格式为：subplot(m,n,p)4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》214.1.6其他二维图形

（1）对函数自适应采样的绘图函数（2）对数坐标图（3）极坐标图例4-6

分别以cos(3t)和sin(2t)为横纵坐标，采用fplot函数绘制图形。xt=@(t)cos(3*t);yt=@(t)sin(2*t);fplot(xt,yt,'k-','LineWidth',1.5)xlabel('cos(3t)’);

ylabel('sin(2t)')4.1二维图形绘制《MATLAB程序设计》224.1.6其他二维图形

例4-7绘制的极坐标图。t=0:pi/100:2*pi;r=sin(2*t).*cos(2*t);figurepolar(t,r,'k-');4.2三维图形绘制《MATLAB程序设计》234.2.1三维曲线

最基本的三维图形函数为plot3，它是将二维绘图函数plot的有关功能扩展到三维空间，用来绘制三维曲线。plot3函数与plot函数用法十分相似，其调用格式为：

plot3(x1,y1,z1,选项1,x2,y2,z2,选项2,…,xn,yn,zn,选项n)4.2三维图形绘制《MATLAB程序设计》244.2.1三维曲线

例4-8绘制下述三维曲线，其中t取值范围为[0,40π]。t=0:pi/500:40*pi;x=(3+cos(sqrt(32)*t)).*cos(t);y=sin(sqrt(32)*t);z=(3+cos(sqrt(32)*t)).*sin(t);plot3(x,y,z,'k-','LineWidth',1)gridonaxisequalxlabel('x(t)')ylabel('y(t)’)

zlabel('z(t)')4.2三维图形绘制《MATLAB程序设计》254.2.2三维曲面

例4-9

绘制三维曲面图z=y·sin(x)-x·cos(y)。[X,Y]=meshgrid(-5:.5:5);Z=Y.*sin(X)-X.*cos(Y);s=mesh(X,Y,Z,'LineWidth',1.5)colormapgray;4.2三维图形绘制《MATLAB程序设计》264.2.2三维曲面

例4-10在xy平面内选择区域[-8,8]×[-8,8]，绘制下述函数4种三维曲面图。X=-8:0.5:8;Y=-8:0.5:8;[X,Y]=meshgrid(X,Y);Z=sin(sqrt(X.^2+Y.^2))./sqrt(X.^2+Y.^2);subplot(2,2,1);mesh(X,Y,Z);colormapgray;title('mesh(x,y,z)')subplot(2,2,2);meshc(X,Y,Z);colormapgray;title('meshc(x,y,z)')subplot(2,2,3);meshz(X,Y,Z);colormapgray;title('meshz(x,y,z)')subplot(2,2,4);surf(X,Y,Z);colormapgray;title('surf(x,y,z)')4.2三维图形绘制《MATLAB程序设计》274.2.2三维曲面

例4-10程序运行结果4.2三维图形绘制《MATLAB程序设计》284.2.3其他三维图形

例4-11绘制下述三维图形，①绘制魔方阵的三维条形图；②以三维杆图形式绘制曲线y=2sinx；③已知x=[2568,1907,2022,3855]，绘制饼图；④用随机的顶点坐标值画出5个黄色三角形。colormapgraysubplot(2,2,1);bar3(magic(4))subplot(2,2,2);y=2*sin(0:pi/20:2*pi);stem3(y,'k')subplot(2,2,3);pie3([2568,1907,2022,3855])subplot(2,2,4);fill3(rand(3,5),rand(3,5),rand(3,5),'k’);gridon4.2三维图形绘制《MATLAB程序设计》294.2.3其他三维图形

例4-12绘制多峰函数的瀑布图和等高线图。subplot(2,2,1);[x,y,z]=peaks(30);waterfall(x,y,z);colormapgrayxlabel('X-axis');ylabel('Y-axis');zlabel('Z-axis');subplot(2,2,2);contour3(x,y,z,12,'k')xlabel('X-axis');ylabel('Y-axis');zlabel('Z-axis');MATLAB程序设计及应用

第6章回归分析和方差分析在统计学中，回归分析指的是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。回归分析包括多元线性回归、多元二次项回归、非线性回归。6.1回归分析（1）理论模型式中，β0

，β1，…，βm，σ2

都是与x1

，x2

，…，mx

无关的未知参数，β0

，β1，…，βm称为回归系数。现得到n个独立观测数据[bi,ai1,…,aim]，其中bi

为y的观察值，ai1,…,aim

分别为x1

，x2

，…，xm

的观察值，i=1，…，n，n>m记多元线性回归（2）参数估计理论模型中的参数β0

，β1，…，βm用最小二乘法估计，即应选取估计值，使当，j=0，1，…，m时，误差平方和达到最小。令得整理化为正规方程组多元线性回归正规方程组的矩阵形式为，当矩阵X列满秩时，XTX为可逆方阵，将代回原模型得到y的估计值，而这组数据的拟合值为，记，拟合误差称为残差，可作为随机误差ε的估计，而为残差平方和（或剩余平方和）。多元线性回归（3）统计分析是β的线性无偏差最小方差估计；

的期望等于β；在β的线性无偏差估计中

的方差最小。服从正态分布③对残差平方和Q，EQ=(n-m-1)σ2

，且由此得到

σ2

的无偏估计，其中，s2是剩余方差（残差的方差），s称为剩余标准差。④对总平方和进行分解，式中，；Q为残差平方和，反映随机误差对y的影响；U为回归平方和，反映自变量对y的影响。上面的分解中利用了正规方程组。多元线性回归（4）回归模型的假设检验因变量y与自变量x1，…，xm之间是否存在如模型式所示的线性关系是需要检验的，显然，如果所有的(j=1，…，m)都很小，y与x1，…，xm

的线性关系就不明显，所以可令原假设为当H0成立时由分解式定义的U、Q满足，在显著性水平α下，对于上α分位数F(m，n-m-1)，若F＜Fα(m，n-m-1)，接受H，否则拒绝。还有一些衡量y与x，…，xm

相关程度的指标，如用回归平方和在总平方和中的比值定义复判定系数，R称为复相关系数，R越大，y与x,…,xm相关关系越密切。通常，R大于0.8（或0.9）才认为相关关系成立。多元线性回归（5）回归系数的假设检验和区间估计当上面的H0被拒绝时，βj不全为0，但是不排除其中若干个等于0。所以应进一步作如下m+1个检验，，cjj

是(XTX)-1中的第(j，j)元素，用s2

代替σ2

，当H0(j)成立时，对给定的α，若，则接受H0(j)，否则拒绝。也可以对βj

作区间估计，在置信水平1-α下，βj

的置信区间为，多元线性回归（6）利用回归模型进行预测当回归模型和系数通过检验后，可由给定的[x,…,xm]的取值[a01,…,a0m]预测y的取值b0，显然其预测值(点估计)为，给定α可以算出b0的预测区间可简化为，对b0

的区间估计方法可用于给出已知数据残差的置信区间，ei

服从均值为0的正态分布，所以若某个ei的置信区间不包括零点，则认为这个数据是异常的，可以剔除。多元线性回归多元二次项回归统计工具箱提供了一个作多元二项式回归的命令rstool，它产生一个交互式画面，并输出有关信息，用法为：

rstool(x,Y,model,alpha)其中，alpha为显著性水平α(缺省时设定为0.05)，model可选择如下的4个模型(用字符串输入，默认时设定为线性模型)：多元二次项回归[y,x,…,xm]的n个独立观测数据仍然记为[bi,ai1,…,aim]，i=1,…,n。Y、XX分别为n维列向量和n×m

矩阵，这里，

①这里多元二项式回归中，数据矩阵XX与线性回归分析中的数据矩阵X是有差异的，后者的第一列为全1的列向量；②在完全二次多项式回归中，二次项系数的排列次序是先为交叉项的系数，最后是纯二次项的系数。非线性回归非线性回归是指因变量y对回归系数β1,…,βm(而不是自变量)是非线性的。MATLAB统计工具箱中的命令nlinfit、nlparci、nlpredci、nlintool，不仅可以给出拟合的回归系数及其置信区间，而且可以给出预测值及其置信区间等。数理统计研究的对象是受随机因素影响的数据，它是以概率论为基础的一门应用学科。数据样本少则几个，多则成千上万，人们希望能用少数几个包含其最多相关信息的数值来体现数据样本总体的规律。面对一批数据进行分析和建模，首先需要掌握参数估计和假设检验这两个数理统计的最基本方法，给定的数据满足一定的分布要求后，才能建立回归分析和方差分析等数学模型。6.2MATLAB数理统计基础（1）区间估计

参数估计和假设检验例：有一大批糖果，现从中随机地取16袋,称得质量(单位:g)如下:506508499503504510497512514505493496506502509496参数估计和假设检验计算的MATLAB程序如下：x0=[506508499503504510497512514505493496506502509496];x0=x0(:);alpha=0.05;mu=mean(x0);sig=std(x0);n=length(x0);t=[mu-sig/sqrt(n)*tinv(1-alpha/2,n-1),mu+sig/sqrt(n)*tinv(1-alpha/2,n-1)];%以下命令ttest的返回值ci就直接给出了置信区间估计[h,p,ci]=ttest(x0,mu,0.05)%通过假设检验也可求得置信区间参数估计和假设检验（2）经验分布函数

一般地，设x1，x2，…，xn是总体F的一个容量为n的样本值。先将x1，x2，…，xn按自小到大的次序排列，并重新编号。设为则经验分布函数Fn(x)的观察值为:对于经验分布函数Fn(x)，格里汶科(Glivenko)在1933年证明了，当n→∞时Fn(x)以概率1―致收敛于总体分布函数F(x)。因此，对于任一实数x，当n充分大时，经验分布函数的任一个观察值Fn(x)与总体分布函数F(x)只有微小的差别，从而在实际上可当作F(x)来使用。参数估计和假设检验（3）Q-Q图

参数估计和假设检验（4）非参数检验

参数估计和假设检验（5）柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov–Smirnov)检验

参数估计和假设检验（6）秩和检验

Bootstrap方法①估计量的标准误差的Bootstrap估计

②估计量的均方误差的Bootstrap估计

设总体的分布F未知，但已知有―个容量为n的来自分布F的数据样本，自这一样本按放回抽样的方法抽取一个容量为n的样本，这种样本称为Bootstrap样本或称为自助样本。相继地，独立地自原始样本中取很多个Bootstrap样本，利用这些样本对总体F进行统计推断，这种方法称为非参数Bootstran

方法，又称自助法。Bootstrap方法③Bootstrap置信区间

多元分析(MultivariateAnalysis)是多变量的统计分析方法，是梳理统计中应用广泛的一个重要分支，其内容庞杂，在很多工程领域有着广泛应用。

聚类分析：又称群分析，是对多个样本(或指标)进行定量分类的一种多元统计分析方法。对样本进行分类称为Q型聚类分析，对指标进行分类称为R型聚类分析。

主成分分析：主成分分析的主要目的是希望用较少的变量去解释原来资料中的大部分变异，将我们手中许多相关性很高的变量转化成彼此相互独立或不相关的变量。通常是选出比原始变量个数少，能解释大部分资料中的变异的几个新变量，即所谓主成分，并用以解释资料的综合性指称。6.3多元数据相关分析多元数据相关分析

确定主成分个数的注意事项：（1）主成分分析的结果受量纲的影响，由于各变量的单位可能不一样，如果各自改变量纲，则结果会不一样，这是主成分分析的最大问题。回归分析是不存在这种情况的，所以实际中可以先把各变量的数据标准化，然后使用协方差矩阵或相关系数矩阵进行分析。（2）使方差达到最大的主成分分析不用转轴(统计软件常把主成分分析和因子分析放在一起，后者往往需要转轴，使用时应注意)。（3）主成分的保留。用相关系数矩阵求主成分时，Kaiser主张将特征值小于1的主成分予以放弃(这也是SPSS软件的默认值)。（4）在实际研究中，由于主成分的目的是降维，减少变量的个数，故一般选取少量的主成分(不超过5个或6个)，只要它们能解释变异的70%~80%(称累积贡献率)即可。多元数据相关分析

因子分析：通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数儿个假想变量来表示其基本的数据结构。

因子分析可以看成主成分分析的推广，它也是多元统计分析中常用的一种降维方式，因子分析与主成分分析的差别：（1）主成分分析把方差划分为不同的正交成分，而因子分析则把方差划归为不同的起因因子。（2）主成分分析仅仅是变量变换，而因子分析需要构造因子模型。（3）主成分分析中原始变量的线性组合表示新的综合变量，即主成分。因子分析中潜在的假想变量和随机影响变量的线性组合表示原始变量。多元数据相关分析

判别分析：是根据所研究的个体的观测指标来推断该个体所属类型的一种统计方法。

判别问题用统计的语言来表达，就是已有q个总体X1，X2，…，Xq，它们的分布函数分别为F1(x)，F2(x)，…，Fq(x)，每个F(x)都是p维函数。下面介绍最基本的三种判别方法：

（1）距离判别：

设x，y是从均值为µ，协方差为Σ的总体A中抽取的样本，则总体内两点x与y的Mahalanobis距离（简称马氏距离）定义为，

定义样本x与总体A的Mahalanobis距离为，多元数据相关分析

（2）Fisher判别：

设在p维的情况下，x的线性组合y=aTx，其中a为p维实向量。设X1，X2的均值向量分别为µ1，µ2(均为p维)，且有公共的协方差矩阵Σ(Σ>0)。那么线性组合y=aTx的均值为，

其方差为，

考虑，

式中，

为两总体均值向量差，根据Fisher的思想，要选择a使得上式达到最大。多元数据相关分析

（3）Bayes判别

Bayes判别和Bayes估计的思想方法是一样的，即假定对研究的对象已经有一定的认识，这种认识常用先验概率来描述。当取得一个样本后，就可以用样本来修正已有的先验概率分布，得出后验概率分布，再通过后验概率分布进行各种统计推断。

典型相关分析：通常情况下，为了研究两组变量

的相关关系，可以用最原始的方法，分别计算两组变量之间的全部相关系数，一共有p×q个简单相关系数。

首先分别在每组变量中找出一对线性组合，使其具有最大相关性，即，然后在每组变量中找出第二对线性组合，使其分别与本组内的第一对线性组合不相关，第二队线性组合本身具有次大的相关性，有，u2与u1、v2与v1不相关，但u2与v2相关。如此继续下去，直至进行到r步，两组变量的相关性被提取完为止，可以得到r组变量，这里r≤min(p，q)。

对应分析：对应分析是在R型和Q型因子分析基础上发展起来的多元统计分析方法，又称为R-Q型因子分析。由于R型因子分析和Q型因子分析都是反映一个整体的不同侧面，因而它们之间一定存在内在的联系。对应分析的基本思想就是通过对应变换后的标准化矩阵B将两者有机地结合起来。

具体地说，首先给出变量间的协方差阵和样品间的协方差阵由于BTB和BBT有相同的非零特征值,记为λ1≥λ2≥…≥λm>0，如果SR对应于特征值λi的标准化特征向量为ηi，则SQ对应于特征值入λi的标准化特征向量为，多元数据相关分析由SR的特征值和特征向量即可写出R型因子分析的因子载荷矩阵(记为AR)和Q型因子分析的因子载荷矩阵(记为AQ)，由于SR和SQ具有相同的非零特征值，而这些特征值又正是各个公共因子的方差，因此可以用相同的因子轴同时表示变量点和样品点，以便对变量点和样品点一起考虑进行分类。

多元数据相关分析设因素A有s个水平A1，A2，…,An，在水平Aj(j=1，2，…,s)下，进行nj(nj

≥2)次独立试验，得出下表所列结果。方差分析数据表6.4方差分析其中，Xij为第j个等级讲行第i次试验的可能结果，记（1）方差分析的假设前提①对变异因素的某一个水平，例如第j个水平进行实验，把得到的观察值X1