上海市上海师范大学附属第二外国语学校2023-2024学年高一数学第一学期期末经典模拟试题含解析

上海市上海师范大学附属第二外国语学校2023-2024学年高一数学第一学期期末经典模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．已知点．若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为A.4 B.3C.2 D.12．已知，，则（）A. B.C. D.3．函数（）的零点所在的一个区间是（）A. B.C. D.4．若关于x的方程log12x=m1-mA.(0,1) B.(1,2)C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞)5．，是两个平面，，是两条直线，则下列命题中错误的是（）A.如果，，，那么B.如果，，那么C.如果，，，那么D.如果，，，那么6．在中，若，且，则的形状为A.等边三角形 B.钝角三角形C.锐角三角形 D.等腰直角三角形7．已知幂函数过点，则在其定义域内（）A.为偶函数 B.为奇函数C.有最大值 D.有最小值8．“，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件9．的值是A. B.C. D.10．对空间中两条不相交的直线和，必定存在平面，使得（）A. B.C. D.11．设，给出下列四个结论：①；②；③；④.其中所有的正确结论的序号是A.①② B.②③C.①②③ D.②③④12．在平行四边形中，，则（）A. B.C.2 D.4二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．方程的解在内，则的取值范围是___________.14．已知对于任意x,y均有,且时，，则是_____（填奇或偶）函数15．如图1，正方形ABCD的边长为2，点M为线段CD的中点.现把正方形纸按照图2进行折叠，使点A与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.记，则_______.16．已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的弧长为____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道（，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.已知米，米，记.（1）试将污水净化管道总长度(即的周长)表示为的函数，并求出定义域；（2）问当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.（提示：.）18．设全集为R，集合P＝{x|3＜x≤13}，非空集合Q＝{x|a＋1≤x＜2a－5}，（1）若a＝10，求P∩Q；；（2）若，求实数a的取值范围19．已知函数f（x）=lg，（1）求f（x）的定义域并判断它的奇偶性（2）判断f（x）的单调性并用定义证明（3）解关于x的不等式f（x）+f（2x2﹣1）＜020．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，CA＝CB，点D，E分别为AB，AC的中点．求证：（1）DE∥平面PBC；（2）CD⊥平面PAB21．已知函数(，且)是指数函数.（1）求k，b的值；（2）求解不等式.22．已知圆经过（2，5），（﹣2，1）两点，并且圆心在直线yx上.（1）求圆的标准方程；（2）求圆上的点到直线3x﹣4y+23＝0的最小距离.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、A【解析】直线方程为即．设点，点到直线的距离为，因为，由面积为可得即，解得或或．所以点的个数有4个．故A正确考点：1直线方程；2点到线的距离2、D【解析】由同角三角函数的平方关系计算即可得出结果.【详解】因为，，,,所以.故选：D3、C【解析】将各区间的端点值代入计算并结合零点存在性定理判断即可.【详解】由，，，所以，根据零点存在性定理可知函数在该区间存在零点.故选：C4、A【解析】由题意可得：函数y=log12x∴∴∴实数m的取值范围是(0故选A点睛：本小题考查的是学生对函数最值的应用的知识点的掌握．本题在解答时应该先将函数y=log12x在区间(0，5、D【解析】A.由面面垂直的判定定理判断；B.由面面平行的性质定理判断；C.由线面平行的性质定理判断；D.由平面与平面的位置关系判断；【详解】A.如果，，，由面面垂直的判定定理得，故正确；B.如果，，由面面平行的性质定理得，故正确；C.如果，，，由线面平行的性质定理得，故正确；D如果，，，那么相交或平行，故错误；故选：D【点睛】本题主要考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，还考查了理解辨析和逻辑推理的能力，属于中档题.6、D【解析】由条件可得A为直角，结合，可得解.【详解】，=，又，为等腰直角三角形，故选D.【点睛】本题考查了向量数量积表示两个向量的垂直关系，考查了三角形的形状，属于基础题.7、A【解析】设幂函数为，代入点，得到，判断函数的奇偶性和值域得到答案.【详解】设幂函数为，代入点，即，定义域为，为偶函数且故选：【点睛】本题考查了幂函数的奇偶性和值域，意在考查学生对于函数性质的综合应用.8、A【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断.【详解】∵“，”可推出“”，“”不能推出“，”，例如，时，，∴“，”是“”充分不必要条件.故选：A9、B【解析】由余弦函数的二倍角公式把等价转化为，再由诱导公式进一步简化为，由此能求出结果详解】，故选B【点睛】本题考查余弦函数的二倍角公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意诱导公式的灵活运用，属于基础题.10、C【解析】讨论两种情况，利用排除法可得结果.【详解】和是异面直线时，选项A、B不成立，排除A、B；和平行时，选项D不成立，排除D,故选C.【点睛】本题主要考查空间线面关系的判断，考查了空间想象能力以及排除法的应用，属于基础题.11、B【解析】因为，所以①为增函数，故=1，故错误②函数为减函数，故，所以正确③函数为增函数，故，故，故正确④函数为增函数，，故，故错误点睛：结合指数函数、对数函数、幂函数单调性可以逐一分析得出四个结论的真假性.12、B【解析】由条件根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得，，然后转化求解即可【详解】可得，，两式平方相加可得故选：二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、【解析】先令，按照单调性求出函数的值域，写出的取值范围即可.【详解】令，显然该函数增函数，，值域为，故.故答案为：.14、奇函数【解析】赋值，可求得，再赋值即可得到，利用奇偶性的定义可判断奇偶性；【详解】，令，得，，再令，得，是上的奇函数；【点睛】本题考查了赋值法及奇函数的定义15、【解析】设，则，利用勾股定理求得，进而得出，根据正弦函数的定义求出，由诱导公式求出，结合同角的三角函数关系和两角和的正弦公式计算即可.【详解】设，则，在中，，所以，即，解得，所以，所以在中，，则，又，所以.故答案为：16、【解析】利用扇形的面积求出扇形的半径，再带入弧长计算公式即可得出结果．【详解】解：由于扇形的圆心角为，扇形的面积为，则扇形的面积，解得：，此扇形所含的弧长.故答案为：.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1），定义域为.（2）当或时所铺设的管道最短，为米.【解析】（1）如图，因为都是直角三角形，故可以得到，也就是，其中.（2）可变形为，令后，则有，其中，故取的最大值米.【详解】（1）.由于，，所以，故.管道的总长度，定义域为.(2).设，则，由于，所以.因为在内单调递减，于是当时，取的最大值米.（此时或）.答：当或时所铺设的管道最短，为米.【点睛】在三角变换中，注意之间有关系，如，，三者中知道其中一个，必定可以求出另外两个.18、（1），；（2）.【解析】（1）把的值代入求出集合，再由交集、补集的运算求出，；（2）由得，再由子集的定义列出不等式组，求出的范围【详解】（1）当时，，又集合，所以，或，则；（2）由得，，因为，则，解得，综上所述：实数的取值范围是.19、（1）奇函数（2）见解析（3）【解析】（1）先求函数f（x）的定义域，然后检验与f（x）的关系即可判断；（2）利用单调性的定义可判断f（x）在（﹣1，1）上单调性；（3）结合（2）中函数的单调性及函数的定义域，建立关于x的不等式，可求【详解】（1）的定义域为（-1,1）因为，所以为奇函数（2）为减函数．证明如下：任取两个实数，且，===<0<0,所以在（-1,1）上为单调减函数（3）由题意：，由（1）、（2）知是定义域内单调递减的奇函数即不等式的解集为（，）【点睛】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的定义的应用，及函数单调性在求解不等式中的应用20、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】(1)由点D、E分别为AB、AC中点得知DE∥BC,由此证得DE∥平面PBC;(2)要证CD⊥平面PAB,只需证明垂直平面内的两条相交直线与即可.【详解】（1）因为点D、E分别为AB、AC中点，所以DE∥BC又因为DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以DE∥平面PBC（2）因为CA＝CB，点D为AB中点，所以CD⊥AB因为PA⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PA⊥CD又因为PA∩AB＝A，所以CD⊥平面PAB【点睛】本题考查线面平行的证明,线面垂直的证明,属于基础题.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行;(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直;(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.21、（1），（2）答案见解析【解析】（1）根据指数函数的定义列出方程，即可得解；（2）分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解.【小问1详解】解：因为(，且)是指数函数，所以，，所以，；【小问2详解】解：由（1）得(，且)，①当时，在R上单调递增，则由，可得，解得；②当时，在R上单调递减，则由，可得，解得，综上可知，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.22、（1）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16（2）1【解析】（1）先求出圆心的坐标和圆的半径，即得圆的标准方程；（2）求出圆心到直线3x﹣4y+23＝0的距离即得解.【详解】（1）A（2，5），B（﹣2，1）