常州高级中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题（解析版）

第2页/共24页2021-2022学年江苏省常州高级中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：.A：因为，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项不符合题意；C：因为，所以本选项不符合题意；D：因为，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.2.某集团校为调查学生对学校“延时服务”的满意率，想从全市3个分校区按学生数用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本．已知3个校区学生数之比为，如果最多的一个校区抽出的个体数是60，那么这个样本的容量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分层抽样比求解.【详解】因为样本容量为，且3个校区学生数之比为，最多的一个校区抽出的个体数是60，所以，解得，故选：B3.某地一年之内12个月的降水量从小到大分别为：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71，则该地区的月降水量75%分位数为（）A.58 B.60 C.61 D.62【答案】C【解析】【分析】由百分位数定义可得答案.【详解】注意到，则该地区的月降水量75%分位数为第9，第10个数据的平均数，为.故选：C4.已知圆锥的表面积为6，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】设底面半径为，侧面展开图半径为；底面周长等于侧面半圆周长，即选A5.已知直线m，n是平面的两条斜线，若m，n为不垂直的异面直线，则m，n在平面内的射影（）A.不可能平行，也不可能垂直 B.可能平行，但不可能垂直C.可能垂直，但不可能平行 D.可能平行，也可能垂直【答案】D【解析】【分析】如图，借助正方体分析可以判断.【详解】如图，在正方体中，即为，为，底面为平面，则m，n在平面内的射影和垂直；如图，在正方体中，即为，为，底面为平面，则m，n在平面内的射影和平行；综上，m，n在平面内的射影可能平行，也可能垂直.故选：D.6.已知数据，，……，的均值为2，方差为3，那么数据的均值和方差分别为（）A.2，3 B.7，6 C.7，12 D.4，12【答案】C【解析】【分析】利用平均数和方差的求法分别列式，求出平均数和方差．【详解】因为数据的均值为2，所以，所以新数据的平均数为：；则原数据的方差为：，则新数据的方差为：．故选：C．7.在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由线面垂直的性质与判定可证得平面，进而得到，设，，，利用勾股定理可得关于的方程，由方程有且仅有一个范围内的解，由求得的值；以为坐标原点，利用二面角的向量求法可求得结果.详解】平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，；设，，，，，，，即，关于的方程有且仅有一个范围内的解，对称轴为，，解得：，，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，轴平面，平面的一个法向量；设平面的法向量，则，令，解得：，，，，由图形可知：二面角为锐二面角，二面角余弦值为.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量法求解二面角的问题；解题关键是能够根据线面垂直的判定与性质证得，从而利用勾股定理构造关于的一元二次方程，根据其根的分布可求得和的长度，进而得到利用向量法求解时所需的线段长度.8.在中，内角所对的边分别为，且边上的高为，则取得最大值时，内角的值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】试题分析：以所在直线为轴，以的中垂线为轴建立直角坐标系如下图所示：则,设点A的坐标为则，即其中等号当且仅当时成立，由对称性可知：设，因为函数在上为减函数，在上为增函数，所以当和时都取得最大值；即当时，取得最大值；此时，，即,所以,故选D.考点：1、基本不等式；2、函数的单调性；3、平面向量的数量积.二、多项选择题.本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求.全部选对的得5分.部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示．则下列说法正确的是（）A.甲组数据的极差大于乙组数据的极差B.甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数C.甲组数据的方差大于乙组数据的方差D.甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数【答案】BD【解析】【分析】根据统计图表提供的数据确定极差、平均数、方差、中位数然后判断各选项．【详解】由题意，甲的极差不大于30，而乙的极差大于30，A错；只有第2天数据甲比乙小，其他甲都比乙大，而小的很少，第一天数据甲比乙大得就很多，因此甲平均数大于乙平均数，B正确；由折线图，甲数据与平均数偏差较小，乙数据与平均数偏差较大，甲方差应小于乙的方差，C错；把各自数据按从小到大排列，知甲的中位数大于90，乙的中位数小于60，D正确．故选：BD．10.（多选）在试验“某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记录订阅的情况”中，事件表示“只订甲报”，事件表示“至少订一种报”，事件表示“至多订一种报”，事件表示“不订甲报”，事件表示“一种报纸也不订”，则（）A.与是互斥事件B.与互斥事件，也是对立事件C.与不是互斥事件D.与是互斥事件，但不是对立事件【答案】BC【解析】【分析】根据题意，利用列举法分别列出试验的样本空间、事件、事件、事件、事件和事件，再根据互斥事件和对立事件的定义进行判断，从而得出结果.【详解】解：试验的样本空间为{（只订甲），（只订乙），（订甲和乙），（都不订）}，事件{（只订甲）}，事件{（只订甲），（只订乙），（订甲和乙）}，事件{（只订甲），（只订乙），（都不订）}，事件{（只订乙），（都不订）}，事件{（都不订）}，因为包含，所以与不是互斥事件，故A错误；因为，且，所以与是互斥事件，也是对立事件，故B正确；因为，所以与不是互斥事件，故C正确；因为，所以与不是互斥事件，故D错误．故选：BC.11.如图，已知圆O内接四边形ABCD中，，则下列说法正确的是（）.A. B.四边形ABCD的面积为8C.该外接圆的直径为 D.【答案】ABD【解析】【分析】A，连接BD，设，由结合余弦定理可得，即可得；B，由A分析结合面积公式可判断选项正误；C，由正弦定理可判断选项正误；D，注意到，后由数量积几何意义可判断选项正误.【详解】A选项，连接BD，设，由题可得，则.则由余弦定理：，则，故A正确；B选项，四边形ABCD的面积，故B正确.C选项，注意到三角形BCD外接圆为圆O，则由正弦定理，外接圆直径为，故C错误；D选项，，取BD，BC中点为F，G，由垂径定理结合向量数量积几何意义可知，故D正确.故选：ABD12.如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积随着点的运动而变化B.异面直线与所成角的取值范围是C.直线平面D.三棱锥的外接球表面积的最小值为【答案】BC【解析】【分析】对于A选项，连接，由平面，即直线上任意点到平面的距离相等；对于B选项，为正三角形，则当且仅当在中点时，，即可判断；对于C选项，证明平面即可，对于D选项，当为中点时，外接球半径最小，计算即可.【详解】对于A选项，因为，所以平面，所以，为定值，即A错误；对于B选项，因为为正三角形，与所成角的范围为，即B正确；对于C选项，易知，，，，，则平面平面，可知平面，平面，即C正确；对于D选项，易知当为中点时，外接球半径最小，此时设的中心为，的中心为，的中点为，则，，，则易知，所以最小球即为以为球心，半径，表面积，即D错误．故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，则与共线且方向相反的单位向量的坐标为______.【答案】【解析】【分析】设，由题可得，据此可得答案.【详解】设，因与反向，则，又为单位向量，则，即.故答案为：14.如图，在正三棱柱中，AB＝2，＝2，D，F分别是棱AB，的中点，E为棱AC上的动点，则DEF周长的最小值为_____．【答案】+2##【解析】【分析】由正三棱柱的性质可得：AB，AC．在RtADF中，利用勾股定理可得DF＝2．因此只要求出DE+EF的最小值即可．把底面ABC展开与侧面在同一个平面，当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．再利用余弦定理求解．【详解】解：由正三棱柱，可得底面ABC，∴AB，AC．在RtADF中，DF＝＝2．把底面ABC展开与侧面在同一个平面，如图所示，只有当三点D，E，F在同一条直线时，DE+EF取得最小值．在ADF中，∠DAF＝60°+90°＝150°，由余弦定理可得：DF＝＝．∴DEF周长的最小值＝+2．故答案为：+2．15.如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________.【答案】【解析】【分析】利用平面向量的加减法运算和数量积的运算律求解即可.【详解】由题可得，，，所以，，，所以，故答案为:.16.正方体的棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的所有弧长之和等于________【答案】.【解析】【详解】球面与正方体的六个表面都相交，所得交线分为两类：一类在顶点A所在的三个表面上，三弧长相等，另一类在不过顶点A的三个表面上，三弧长相等．如图．在平面上的交线为弧EF，且在过球心A的大圆上，因为AE=2，,所以，同理，则，所以在顶点A所在的三个表面上的三弧长的和为；在平面上的交线为FG，且在距球心为的平面与球面相交所得的小圆上，小圆圆心为B，半径为1，，则在不过顶点A的三个表面上的三弧长的和为．所以所得曲线长为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在正方体中，为棱的中点．求证：（1）∥平面；（2）平面⊥平面【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)借助题设条件运用线面平行的判定定理推证；(2)借助题设运用面面垂直的判定定理推证.【详解】（1）连交于，连，因为为的中点，为的中点，所以又平面平面，所以平面（2）因为平面，所以于，所以平面，所以同理可证，又于，所以平面，因为，所以平面，又平面，所以平面平面．18.如图，在中，，.为边上的中线，O为上的一点，且，过O点的直线与边，（不含端点）分别交于E，F，设.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）由D为BC中点，结合可得，后由O，E，F三点共线可得答案；（2）以为基底表示，结合可得，结合（1）可得，即可得答案.【小问1详解】∵D为BC中点，.，又O，E，F三点共线，∴，∴；【小问2详解】.注意到，则.又，则.则.19.1.第32届夏季奥林匹克运动会于2021年7月23日至8月8日在日本东京举办，某国男子乒乓球队为备战本届奥运会，在某训练基地进行封闭式训练，甲、乙两位队员进行对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率．【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，由题知，，，∴，∴，∴该局打4个球甲赢的概率为．【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，易知D，E为互斥事件，，，，∴，，∴，∴该局打5个球结束的概率为．20.如图1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形（如图2），记AB的中点为F．（1）证明：平面ABC．（2）若，二面角D-AC-E为，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取AC中点G，连接FG和EG，证明四边形DEGF是平行四边形,然后利用线面垂直的判定定理证明平面ABC,从而得到平面ABC.（2）（方法一）过点E作，以E为原点，建立空间直角坐标系E-xyz，设,求出平面AEC和平面ACD的法向量，由已知条件可得长，然后利用线面角的向量公式求解即可；（方法二）连接DG，可证得，可得长，过点F作，垂足为I，利用线面垂直及面面垂直的性质可得平面ACD，连接AI，则∠FAI即为所求角，在三角形中计算可得答案.【小问1详解】如图，取AC中点G，连接FG和EG，由已知得，且．因为F，G分别为AB，AC的中点，所以，且所以，且．所以四边形DEGF是平行四边形．所以．因为翻折的，易知．所以翻折后，．又因为，EA，平面AEC，所以平面AEC．因为，所以平面AEC．因为平面AEC，所以．因为ACE是等边三角形，点G是AC中点，所以又因为，AC，平面ABC．所以平面ABC．因为，所以平面ABC．【小问2详解】（方法一）如图，过点E作，以E为原点，EH、EC，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，设，则，，，，则，，，因为平面AEC．所以是平面AEC的法向量，设面ACD的法向量为，则，即，解得．取，得．因为二面角D-AC-E为，所以，解得，所以，．记直线AB与平面ACD所成角为，则，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为．（方法二）如图，连接DG，因为平面AEC，平面AEC，所以．又因为，，DE，平面DEG．所以平面DEC．因为EG，平面DEG，所以，，所以∠DGE是二面角D-AC-E的平面角，故．由△ACE是边长为2的等边三角形，得，在RtDGE中，，所以，．过点F作，垂足为I，因为平面DEGF，平面ACD，所以平面平面ACD．又因为平面平面，平面DEGF，且，所以平面ACD．连接AI，则∠FAI即为直线AB与平面ACD所成的角．在Rt△DFG中，，，得，由等面积法得，解得．在RtAFG中，，，所以．在RtFAI中，，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为．21.在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，判断ABC的形状；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对