上海市六十中学2024届高一上数学期末经典试题含解析

上海市六十中学2024届高一上数学期末经典试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．已知，且α是第四象限角，那么的值是（）A. B.－C.± D.2．设集合，，则（）A. B.C. D.3．已知，且，则的最小值为（）A.3 B.4C.5 D.64．已知集合，则（）A. B.C. D.5．设正实数满足，则的最大值为（）A. B.C. D.6．已知命题p：，，则（）A.， B.，C.， D.，7．命题“”的否定为（）A. B.C. D.8．已知，则的值为（）A B.1C. D.9．已知集合，，那么（）A. B.C. D.10．已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（）A. B.C. D.11．关于函数，下列说法正确的是（）A.最小值为0 B.函数为奇函数C.函数是周期为周期函数 D.函数在区间上单调递减12．在中，若，则的形状为（）A.等边三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不含角的等腰三角形二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．已知正四棱锥的高为4，侧棱长为3，则该棱锥的侧面积为___________.14．将函数图象上所有点的横坐标压缩为原来的后，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的单调递增区间为____________15．已知函数，则_________16．设，，则______三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．已知函数（1）判断的奇偶性，并加以证明；（2）求函数的值域18．证明：（1）；（2）19．已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的对称轴和对称中心；（3）若，，求的值20．已知函数，，图象上相邻两个最低点的距离为（1）若函数有一个零点为，求的值；（2）若存在，使得（a）（b）（c）成立，求的取值范围21．（1）已知，，求的值.（2）证明:.22．已知函数且若，求的值；若，求证：是偶函数

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1、B【解析】由诱导公式对已知式子和所求式子进行化简即可求解.【详解】根据诱导公式：，所以，，故.故选：B【点睛】诱导公式的记忆方法：奇变偶不变，符号看象限.2、D【解析】解一元二次不等式求出集合A，利用交集定义和运算计算即可【详解】由题意可得，则故选：D3、C【解析】依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为且，所以，所以当且仅当，即，时取等号；所以的最小值为故选：C【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方4、C【解析】根据并集的定义计算【详解】由题意故选：C5、C【解析】根据基本不等式可求得最值.【详解】由基本不等式可得，即，解得，当且仅当，即，时，取等号，故选：C.6、A【解析】直接利用全称命题的否定即可得到结论【详解】因为命题p：，，所以：，.故选：A.7、C【解析】“若，则”的否定为“且”【详解】根据命题的否定形式可得：原命题的否定为“”故选：C8、A【解析】知切求弦，利用商的关系，即可得解.【详解】，故选：A9、B【解析】解方程确定集合，然后由交集定义计算【详解】，∴故选：B10、D【解析】由图可得，由选项即可判断.【详解】解：由图可知：，，由选项可知：，故选：D.11、D【解析】根据三角函数的性质，得到的最小值为，可判定A不正确；根据奇偶性的定义和三角函数的奇偶性，可判定C不正确；举例可判定C不正确；根据三角函数的单调性，可判定D正确.【详解】由题意，函数，当时，可得，所以，当时，可得，所以，所以函数的最小值为，所以A不正确；又由，所以函数为偶函数，所以B不正确；因为，，所以，所以不是的周期，所以C不正确；当时，，，当时，，即函数在区间上单调递减，又因为，所以函数在区间上单调递减，所以D正确.故选：D.12、B【解析】利用三角形的内角和，结合差角的余弦公式，和角的正弦公式，即可得出结论【详解】解：由题意可得sin（A﹣B）＝1+2cos（B+C）sin（A+C），∴sin（A﹣B）＝1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB＝1﹣2cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB＝1，∴sin（A+B）＝1，∴A+B＝90°，∴△ABC是直角三角形故选：B【点睛】本题考查差角的余弦公式，和角的正弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13、【解析】由高和侧棱求侧棱在底面射影长，得底面边长，从而可求得斜高，可得侧面积【详解】如图，正四棱锥，是高，是中点，则是斜高，由已知，，则，是正方形，∴，，，侧面积侧故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求正棱锥的侧面积．在正棱锥计算中，解题关键是掌握四个直角三角形：如解析中图中，正棱锥的几乎所有量在这四个直角三角形中都有反应14、【解析】根据函数图象的变换，求出的解析式，结合函数的单调性进行求解即可.【详解】由数图象上所有点的横坐标压缩为原来的后，得到，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，即令，函数的单调递增区间是由，得，的单调递增区间为.故答案为：15、【解析】运用代入法进行求解即可.【详解】，故答案为：16、【解析】由，根据两角差的正切公式可解得【详解】，故答案为【点睛】本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础知识的考查三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17、（1）是奇函数；证明见解析（2）【解析】（1）首先确定定义域，根据奇偶性定义可得结论；（2）令，可求得的范围，进而可得的值域.【小问1详解】由得：，定义域为，关于原点对称；，，为奇函数；【小问2详解】令，且，，或，或，的值域为.18、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】(1)利用三角函数的和差公式，分别将两边化简后即可；（2）利用和2倍角公式构造出齐次式，再同时除以即可证明.【小问1详解】左边===右边===左边=右边，所以原等式得证.【小问2详解】故原式得证.19、（1）；（2），；（3）【解析】（1）利用三角函数的恒等变换，对函数的表达式进行化简，进而可以求出周期；（2）利用正弦函数对称轴与对称中心的性质，可以求出函数的对称轴和对称中心；（3）利用题中给的关系式可以求出和，然后将展开求值即可【详解】（1）.所以函数的最小正周期.（2）由于，令，，得，故函数的对称轴为.令，，得，故函数的对称中心为.（3）因为，所以,即，因为，所以，则，，所以.【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期、对称轴、对称中心，及利用函数的关系式求值，属于中档题20、（1）；（2）.【解析】（1）化简函数解析式，根据周期计算，根据零点计算；（2）求出在，上的最值，解不等式得出的范围【详解】（1），的图象上相邻两个最低点的距离为，的最小正周期为：，故是的一个零点，，，（2），若，，则，，，故在，上的最大值为，最小值为，若存，使得（a）（b）（c）成立，则，【点睛】关键点点睛：本题第二问属于存在，使不等式成立，即转化为，转化为三角函数求最值.21、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）对已知式子分别平方相加即可求得.（2）分别求解左边和右边，即可证明.【详解】（1）由，，分别平方得：，。两式相加可得：