大学数学实验之蒙特卡洛方法

《数学实验》报告班级：序号：姓名：问题描述=1\*ROMANI、用蒙特卡罗方法计算以下函数在区间上的积分，并改变随机点数目观察对结果的影响。y=1/(1+x),0=<x=<1;y=(exp(3*x))*sin(2*x),0=<x=<2;y=(1+x^2)^0.5,0=<x=<2;y=(1/(2*pi)^0.5)*exp(-x(i)^2/2),0=<x=<2;y=exp(x(i)/2)*(sin(x(i)))^2,0=<x=<2*pi;f(x,y)=exp(-x^2-y^2)0=<x=<pi,0=<y=<sin(x);=2\*ROMANII、用蒙特卡罗法求解全局最优化及约束问题并通过图形做出评论，求下列函数的最大值。f(x)=(1-x.^2).*sin(3*x),-2*pi=<x=<2*pi;maxf(x)=x1*x2*x3,s.t.:-x1+2x2+2x3>=0,x1+2x2+2x3<=72,10<=x2<=20,x1-x2=10;f(x,y)=(X.^2+2*(Y.^2)+X.*Y).*exp(-X.^2-Y.^2),abs(x)<1.5,abs(y)<1.5;问题分析与实验过程=1\*ROMANI、(1)使用均值估计法程序：functionp=shell1(a,b,n)z=0;x=unifrnd(a,b,1,n);fori=1:nu=(x(i)+1)^(-1);z=z+u;endp=(b-a)*z/n;运行结果：p=shell1(0,1,1000)p=0.6975>>p=shell1(0,1,10000)p=0.6922>>p=shell1(0,1,100)p=0.7001>>p=shell1(0,1,500)p=0.6890结果分析：改变了四次随机点数，结果都趋近于0.69，说明积分值约等于0.69，但是点数越多，值越接近。=1\*ROMANI、(2)使用均值估计法程序：functionp=shell2(a,b,n)z=0;x=unifrnd(a,b,1,n);fori=1:nu=(exp(3*x(i)))*sin(2*x(i));z=z+u;endp=(b-a)*z/n;运行结果：>>p=shell2(0,2,1000)p=-24.4911>>p=shell2(0,2,100)p=-43.8720>>p=shell2(0,2,10000)p=-30.8699>>p=shell2(0,2,500)p=-23.2955>>p=shell2(0,2,100000)p=functionf81(n)x=unifrnd(-2*pi,2*pi,1,n);y=(1-x.^2).*sin(3*x);max(y)x=-2*pi:0.001:2*pi;y=(1-x.^2).*sin(3*x);plot(x,y)xlabel('x');ylabel('y');运行结果：>>f81(1000)ans=32.3293>>f81(10000)ans=32.4002>>f81(100000)ans=32.4006做出函数的图像，并且标出最高点的值结果分析：可以看到，蒙特卡罗法求出的最大值接近于32.4，而从图中可以看出最大值是32.33，求出的结果比较符合。=2\*ROMANII、(2)使用均值估计法分析：由于x1=x2+10,所以可以消元，使其变为两个自变量x2和x3。x2,x3在它们被允许的范围内生成多个随机的数值，利用max函数可以近似地求出结果。然后做出图像，进行结果的比较。程序：functionf82(n)x2=unifrnd(10,20,1,n);x1=10+x2;x3=unifrnd(-10,20,1,n);fori=1:nif-x1(i)+2*x2(i)+2*x3(i)>=0ifx1(i)+2*x2(i)+2*x3(i)<=72y(i)=(x1(i))*(x2(i))*(x3(i));endendendmax(y)x2=10:0.1:20;x3=-5:21/100:16;[X,Y]=meshgrid(x2,x3);err1=X+2*Y<10;err2=3*X+2*Y>62;X(err1)=nan;Y(err2)=nan;Z=X.*Y.*(X+10);surf(X,Y,Z)运行结果：>>f82(1000)ans=3.3889e+03>>f82(10000)ans=3.4357e+03>>f82(100)ans=3.3726e+03>>f82(100000)ans=3.4441e+03结果分析：可以看到，蒙特卡罗法求出的最大值接近于3400，而从图中可以看出最大值是3437，求出的结果比较符合。=2\*ROMANII、(3)使用蒙特卡罗法分析：x,y在它们被允许的范围内生成多个随机的数值，利用max函数可以近似地求出结果。然后做出图像，进行结果的比较。程序：functionf83(n)x=unifrnd(-1.5,1.5,1,n);y=unifrnd(-1.5,1.5,1,n);z=(x.^2+2*(y.^2)+x.*y).*exp(-x.^2-y.^2);max(z)x=-1.5:0.1:1.5;y=-1.5:0.1:1.5;[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=(X.^2+2*(Y.^2)+X.*Y).*exp(-X.^2-Y.^2);surf(X,Y,Z)运行结果：>>f83(1000)ans=0.8105>>f83(10000)ans=0.8117作出函数图，并且标出最大值结果分析：可以看到，蒙特卡罗法求出的最大值接近于0.81，而从图中可以看出最大值是0.8025，求出的结果比较符合。3.实验总结和实验感悟这次蒙特