统考版2024届高考数学一轮复习第十章10.4随机事件的概率学案理含解析20230423151

统考版2024届高考数学一轮复习第十章10.4随机事件的概率学案理含解析20230423151第四节随机事件的概率【知识重温】一、必记4个知识点1．随机事件和确定事件(1)在条件S下，①____________的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件．(2)在条件S下，②____________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．(3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．(4)在条件S下，③________________________的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件．2．频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例④____________为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的⑤________fn(A)稳定在某个⑥________上，把这个⑦________记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．3．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B⑧____事件A(或称事件A包含于事件B)⑨______(或A⊆B)并事件(和事件)若某事件发生当且仅当A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的eq\o(○,\s\up1(10))______(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当⑪____________且⑫______发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然条件，那么称事件A与事件B互为对立事件4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：⑬____________.(2)必然事件的概率P(E)＝⑭____________.(3)不可能事件的概率P(F)＝⑮____________.(4)互斥事件概率的加法公式．①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝⑯____________.②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝⑰____________.二、必明3个易误点1．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交，事件A的对立事件eq\o(A,\s\up6(－))所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．3．需准确理解题意，特留心“至多……”，“至少……”，“不少于……”等语句的含义．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)事件发生的频率与概率是相同的．()(2)随机事件和随机试验是一回事．()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．()(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．()(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．()(6)两互斥事件的概率和为1.()二、教材改编2．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是()A．至多一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都没有中靶3．从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方片”，P(A)＝P(B)＝eq\f(1,4)，则P(“抽到红花色”)＝________，P(“抽到黑花色”)＝________.三、易错易混4．甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏，则平局的概率为________；甲赢的概率为________．5．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________．四、走进高考6．[2019·江苏卷]从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．eq\x(考点一)随机事件关系的判断[自主练透型]1．把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事件A：“甲分得语文书”，事件B：“乙分得数学书”，事件C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是()A．A与B是不可能事件B．A＋B＋C是必然事件C．A与B不是互斥事件D．B与C既是互斥事件也是对立事件2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事件是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡3．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么()A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件悟·技法互斥、对立事件的判别方法(1)在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件．(2)两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件.考点二随机事件的频率与概率[互动讲练型][例1][2020·全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为eq\f(1,2).(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率．悟·技法计算简单随机事件频率或概率的解题思路(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数．(2)由频率公式得所求，由频率估计概率.[变式练]——(着眼于举一反三)1．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成频率分布表．近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率eq\f(1,20)eq\f(4,20)eq\f(2,20)(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率．考点三互斥事件与对立事件的概率[互动讲练型][例2]某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)．听课笔记：悟·技法(1)求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))求解．当题目涉及“至多”、“至少”时，多考虑间接法.[变式练]——(着眼于举一反三)2．有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布情况如下表所示，所用时间(天数)10111213通过公路1的频数20402020通过公路2的频数10404010假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率)，为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为()A．公路1和公路2B．公路2和公路1C．公路2和公路2D．公路1和公路1第四节随机事件的概率【知识重温】①一定会发生②一定不会发生③可能发生也可能不发生④fn(A)＝eq\f(nA,n)⑤频率⑥常数⑦常数⑧包含⑨B⊇A⑩并事件⑪事件A发生⑫事件B⑬0≤P(A)≤1⑭1⑮0⑯P(A)＋P(B)⑰1－P(B)【小题热身】1．答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√(6)×2．解析：连续射击两次的结果有四种：①第一次中靶第二次中靶；②第一次中靶第二次没中靶；③第一次没中靶第二次中靶；④第一次没有中靶第二次没有中靶，事件“至少一次中靶”包含①②③，所以事件“至少一次中靶”的对立事件是D.答案：D3．解析：因为A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件，则P(“抽到红花色”)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，又事件“抽到黑花色”与“抽到红花色”是对立事件，则P(“抽到黑花色”)＝1－P(“抽到红花色”)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)eq\f(1,2)4．解析：设平局(用△表示)为事件A，甲赢(用⊙表示)为事件B，乙赢(用※表示)为事件C，容易得到如图．平局含3个基本事件(图中的△)，P(A)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)，甲赢含3个基本事件(图中的⊙)，P(B)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)eq\f(1,3)5．解析：∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事件“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.答案：0.356．解析：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学共有Ceq\o\al(2,5)＝10种选法，其中选出的2名同学都是男同学的选法有Ceq\o\al(2,3)＝3种，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率P＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).答案：eq\f(7,10)课堂考点突破考点一1．解析：“A，B，C”都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A、B两项错误；“A，B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C项正确；“B”与“C”既不互斥，也不对立，D项错误，故选C.答案：C2．解析：“至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．答案：A3．解析：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立，故甲是乙的必要不充分条件．答案：B考点二例1解析：(1)甲连胜四场的概率为eq\f(1,16).(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场的概率为eq\f(1,16)；乙连胜四场的概率为eq\f(1,16)；丙上场后连胜三场的概率为eq\f(1,8).所以需要进行第五场比赛的概率为1－eq\f(1,16)－eq\f(1,16)－eq\f(1,8)＝eq\f(3,4).(3)丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为eq\f(1,8)；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为eq\f(1,16)，eq\f(1,8)，eq\f(1,8).因此丙最终获胜的概率为eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(7,16).变式练1．解析：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率eq\f(1,20)eq\f(3,20)eq\f(4,20)eq\f(7,20)eq\f(3,20)eq\f(2,20)(2)由已知可得Y＝eq\f(X,2)＋425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝eq\f(1,20)＋eq\f(3,20)＋eq\f(2,20)＝eq\f(3,10).故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为eq\f(3,10).考点三例2解析：(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝eq\f(15,100)＝eq\f(3,20)，P(A2)＝eq\f(30,100)＝eq\f(3,10)，P(A3)＝eq\f(25,100)＝eq\f(1,4)，因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,20)＋eq\f(3,10)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,10).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq\f(7,10).变式练2．解析：通过公路1的频率为0.2,0.4,0.2,0.2；通过公路2的频率为0.1,0.4,0.4,0.1，设A1，A2分别表示汽车A在约定日期前11天出发，选择公路1,2将货物运往城市乙．B1，B2分别表示汽车B在约定日期前12天出发选择公路1,2将货物运往城市乙，则P(A1)＝0.2＋0.4＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(B1)＝0.2＋0.4＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，所以汽车A的最佳路径为选择公路1，汽车B的最佳路径为选择公路2.答案：A第五节古典概型【知识重温】一、必记3个知识点1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是①________的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成②________的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件③________.(2)每个基本事件出现的可能性④________.3．古典概型的概率公式一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)＝⑤________.二、必明2个易误点1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件数和事件发生数时，他们是否是等可能的．2．概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A∪B的概率，当A∩B＝∅时，A、B互斥，此时P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)要计算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个事件是等可能事件．()(3)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为eq\f(cardA,cardI).()二、教材改编2．从52张扑克牌(不含大小王)中随机抽一张牌，抽到的牌比6大比9小的概率为()A.eq\f(1,13)B.eq\f(2,13)C.eq\f(3,13)D.eq\f(4,13)3．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率为________．三、易错易混4．从1,2,3中随机选取一个数a，从4,5中随机选取一个数b，从6,7中随机选取一个数c，则a，b，c成等差数列的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(4,9)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,4)5．在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大eq\f(1,22)，则口袋中原有小球的个数为________．四、走进高考6．[2020·江苏卷]将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________．eq\x(考点一)简单的古典概型问题[自主练透型]1．[2019·全国卷Ⅱ]生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)2．[2019·全国卷Ⅰ]我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和“阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.eq\f(5,16)B.eq\f(11,32)C.eq\f(21,32)D.eq\f(11,16)3．[2021·河南省豫北名校高三质量考评]五色糯米饭，俗称五色饭，因糯米饭呈黑、红、黄、紫、白5种颜色而得名，是壮族人用来招待客人的传统食品．现从该五色糯米饭中任意取出2种颜色的糯米进行品尝，恰有一种为紫色的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,5)悟·技法基本事件个数的确定方法(1)列举法：此法适合于基本事件较少的古典概型．(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法.考点二较复杂的古典概型问题[互动讲练型][例1][2018·天津卷]已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．悟·技法1.与平面几何有关概率的求法(1)结合几何图形的结构特征，找到符合条件的基本事件总数．(2)根据事件的几何特征求出其基本事件数．(3)代入古典概型公式．2．求较复杂事件的概率问题的方法(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解.[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2021·山东青岛调研]已知某运动员每次投篮投中的概率是40%.现采用随机数法估计该运动员三次投篮中，恰有两次投中的概率：先由计算器随机产生0～9中的整数，指定1,2,3,4表示投中，5,6,7,8,9,0表示未投中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．现产生了如下10组随机数：907966191925271431932458569683.估计该运动员三次投篮恰有两次投中的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(9,10)2．[2021·惠州市高三调研考试]不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球，其中2个白球，3个黄球．现从该箱子中随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为()A.eq\f(3,10)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(7,10)考点三古典概型与代数、几何知识的结合[互动讲练型][例2](1)已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是()A.eq\f(3,10)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)(2)若m是集合{1,3,5,7,9,11}中任意选取的一个元素，则椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的焦距为整数的概率为________．悟·技法解决与古典概型结合的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.[变式练]——(着眼于举一反三)3．已知m∈{－2，－1,0,1,2}，n∈{－1,0,1}，随机抽取一个m和一个n，使得平面向量a＝(m，n)，满足|a|>2的概率为________．4．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．第五节古典概型【知识重温】①互斥②基本事件③有限④相等⑤eq\f(m,n)【小题热身】1．答案：(1)×(2)×(3)√2．解析：抽到的牌比6大比9小的有2×4＝8(张)，故P(比6大比9小)＝eq\f(8,52)＝eq\f(2,13).答案：B3．解析：将两个红球编号为1,2，三个黄球编号为3,4,5.第一次摸球时有5种等可能的结果，第二次摸球时有4种等可能的结果，两次摸球共有20种等可能的结果，其中两次都摸到红球的有2种等可能结果，即(1,2)，(2,1)，故所求的概率为P＝eq\f(2,20)＝eq\f(1,10).答案：eq\f(1,10)4．解析：a，b，c的取法有(1,4,6)，(1,4,7)，(1,5,6)，(1,5,7)，(2,4,6)，(2,4,7)，(2,5,6)，(2,5,7)，(3,4,6)，(3,4,7)，(3,5,6)，(3,5,7)共12种，其中成等差数列的有(1,4,7)，(2,4,6)，(3,5,7)共3种，故所求的概率为eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).答案：D5．解析：设原来口袋中白球、黑球的个数都为n个，依题意eq\f(n＋1,2n＋1)－eq\f(n,2n)＝eq\f(1,22)，解得n＝5.所以原来口袋中小球共有2n＝10个．答案：106．解析：将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，向上的点数共有36种情况，其中点数和为5的情况有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4种，则所求概率为eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).答案：eq\f(1,9)课堂考点突破考点一1．解析：记5只兔子分别为A，B，C，D，E，其中测量过某项指标的3只兔子为A，B，C，则从这5只兔子中随机取出3只的基本事件有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种，其中恰有2只测量过该指标的基本事件有ABD，ABE，ACD，ACE，BCD，BCE，共6种，所以所求事件的概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).答案：B2．解析：由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为Ceq\o\al(3,6)＝eq\f(6×5×4,6)＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P＝eq\f(20,64)＝eq\f(5,16).故选A.答案：A3．解析：设黑、红、黄、紫、白5种颜色的糯米分别为a，b，c，d，e，从中任取2种的所有情况为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种，其中恰有一种为紫色的有4种情况，所以所求概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，故选B.答案：B考点二例1解析：(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率P(M)＝eq\f(5,21).变式练1．解析：随机模拟产生了10组随机数，在这10组随机数中，表示三次投篮恰有两次投中的有191,271,932，共3组，故所求概率为eq\f(3,10)，故选C.答案：C2．解析：将2个白球分别记为白球1，白球2，将3个黄球分别记为黄球1，黄球2，黄球3.从该箱子中随机摸出2个球，所有情况是(白球1，白球2)，(白球1，黄球1)，(白球1，黄球2)，(白球1，黄球3)，(白球2，黄球1)，(白球2，黄球2)，(白球2，黄球3)，(黄球1，黄球2)，(黄球1，黄球3)，(黄球2，黄球3)，共10种，摸出的这2个球颜色不同的情况有(白球1，黄球1)，(白球1，黄球2)，(白球1，黄球3)，(白球2，黄球1)，(白球2，黄球2)，(白球2，黄球3)，共6种，故所求概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，选C.答案：C考点三例2解析：(1)由题意知a2－2<0，解得－eq\r(2)<a<eq\r(2)，且与b无关．∵a∈{－2,0,1,2,3}，∴a∈{0,1}，故所求的概率为P＝eq\f(2,5).(2)满足椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,2)＝1的焦距为整数的m的取值有1,3,11，共3个．故所求的概率为P＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).答案：(1)C(2)eq\f(1,2)变式练3．解析：解法一向量a所有可能是：(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)，共15种．满足|a|>2的有(－2，－1)，(－2,1)，(2，－1)，(2,1)，所以所求概率为eq\f(4,15).解法二当m＝－2,2，n＝－1,1时，满足|a|>2.所以所求概率为eq\f(2×2,5×3)＝eq\f(4,15).答案：eq\f(4,15)4．解析：若直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，则eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，整理得a2≤b2.依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有6×6＝36(种)结果．满足a2≤b2的数组：当a＝1时，b＝1,2,3,4,5,6，共6种结果；当a＝2时，b＝2,3,4,5,6，共5种结果；当a＝3时，b＝3,4,5,6，共4种结果；当a＝4时，b＝4,5,6，共3种结果；当a＝5时，b＝5,6，共2种结果；当a＝6时，b＝6，共1种结果．∴满足a2≤b2的数组共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(种)结果，因此所求的概率P＝eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).答案：eq\f(7,12)第六节几何概型【知识重温】一、必记2个知识点1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的①________(②________或③________)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为④________.2．在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)＝⑤________________________________________________________________________.二、必明2个易误点1．计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题(如时间问题等)转化为相应类型的几何概型问题．2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．()(2)几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．()(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．()二、教材改编2．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是()A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)3．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A.eq\f(8,27)B.eq\f(1,27)C.eq\f(26,27)D.eq\f(15,27)三、易错易混4．[2021·福建莆田质检]从区间(0,1)中任取两个数作为直角三角形两直角边的长，则所取的两个数使得斜边长不大于1的概率是()A.eq\f(π,8)B.eq\f(π,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)5．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．四、走进高考6．[2017·全国卷Ⅰ]如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(π,8)C.eq\f(1,2)D.eq\f(π,4)eq\x(考点一)与长度、角度有关的几何概型[自主练透型]1．[2016·全国卷Ⅱ]某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.eq\f(7,10)B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,8)D.eq\f(3,10)2．[2021·广东佛山调研]将一根长为6m的绳子剪成两段，则其中一段大于另一段的2倍的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(2,5)D.eq\f(3,5)3．[2017·江苏卷]记函数f(x)＝eq\r(6＋x－x2)的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．悟·技法解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比.考点二与体积有关的几何概型[自主练透型]4.[2021·湖南衡阳八中模拟]如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A．1－eq\f(π,4)B.eq\f(π,12)C.eq\f(π,4)D．1－eq\f(π,12)5．[2021·山东青岛调研]有一底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点A，则点A到点O的距离大于1的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,4)悟·技法与体积有关的几何概型对于基本事件在空间的几何概型，要根据空间几何体的体积计算方法，把概率计算转化为空间几何体的体积计算.考点三与面积有关的几何概型[互动讲练型][例1](1)[2021·南昌市高三年级摸底测试卷]如图是某光纤电缆的截面图，其中七个大小相同的小圆外切，且外侧六个小圆与大圆内切，现从大圆内任取一点，该点恰好在小圆内的概率为()A.eq\f(7,9)B.eq\f(7,8)C.eq\f(2π,7)D.eq\f(2π,27)(2)[2018·全国卷Ⅰ]右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2B．p1＝p3C．p2＝p3D．p1＝p2＋p3悟·技法1.几何概型与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．2．几何概型与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．3．几何概型与定积分交汇问题的解题思路先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率.[同类练]——(着眼于触类旁通)1．[2021·湖北省四校联考]如图所示的图案是由两个等边三角形构成的六角星，其中这两个等边三角形的三边分别对应平行，且各边都被交点三等分，若往该图案内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)2．[2021·长沙市高三年级统一模拟考试]在如图所示的正方形内任取一点M，其中图中的圆为该正方形的内切圆，图中的圆弧为以正方形的顶点为圆心，正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M恰好取自阴影部分的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(π,2)C.eq\f(π,2)－1D．2－eq\f(π,2)[变式练]——(着眼于举一反三)3．[2021·广州市五校联考]ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A.eq\f(π,4)B．1－eq\f(π,4)C.eq\f(π,8)D．1－eq\f(π,8)4.[2021·山东省潍坊市模拟]如图，六边形ABCDEF是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)[拓展练]——(着眼于迁移应用)5．[2021·湖北黄冈、黄石等八市联考]若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，则张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是()A.eq\f(2,9)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(7,9)第六节几何概型【知识重温】①长度②面积③体积④几何概型⑤eq\f(构成事件A的区域长度面积或体积,试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积)【小题热身】1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2．解析：试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P＝eq\f(2,5).答案：C3．解析：根据题意，安全飞行的区域为棱长为1的正方体，∴P＝eq\f(构成事件A的区域体积,试验的全部结果所构成的区域体积)＝eq\f(1,27).故选B.答案：B4．解析：任取的两个数记为x，y，所在区域是正方形OABC内部，而符合题意的x，y位于阴影区域内(不包括x，y轴)，故所求概率P＝eq\f(\f(1,4)π×12,1×1)＝eq\f(π,4).答案：B5．解析：[－1,2]的长度为3，[0,1]的长度为1，所以概率是eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)6．解析：不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝eq\f(1,2)S圆＝eq\f(π,2)，所以由几何概型知所求概率P＝eq\f(S黑,S正方形)＝eq\f(\f(π,2),4)＝eq\f(π,8).故选B.答案：B课堂考点突破考点一1．解析：因为红灯持续时间为40秒，所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为eq\f(40－15,40)＝eq\f(5,8)，故选B.答案：B2．解析：绳子的长度为6m，剪成两段后，设其中一段的长度为xm，则另一段的长度为(6－x)m，记“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”为事件A，则A＝{x|eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<6，,x>26－x或6－x>2x))}＝{x|0<x<2或4<x<6}，∴P(A)＝eq\f(2