河北省唐山市迁安市市级名校2022年中考数学最后一模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图1,等边△ABC的边长为3,分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为•半径作弧AC、弧CB、MBA,我们把

这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形.设点I为对称轴的交点，如图2,将这

个图形的顶点A与等边ADEF的顶点D重合，且ABJ_DE,DE=2兀，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动，当它

第一次回到起始位置时，这个图形在运动中扫过区域面积是（

E

—々D（A）F

图1图2

45

A.18兀B.277rC.一nD.457r

2

2.下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的为（）

A.B.

3.等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（）

A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数

4.如图1,点尸从AA8C的顶点A出发，沿A-8-C匀速运动，到点C停止运动.点尸运动时，线段AP的长度y

与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点,则AA5C的面积是（）

A「

Bp）C1x

图1图2

A.10B.12C.20D.24

5.若一组数据2,3,X,5,7的众数为7,则这组数据的中位数为（）

A.2B.3C.5D.7

6.如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）.为了测量A、B两地之间的

距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为«,则A、B两地之间的距离

为（）

理米800也

A.800sina米B.800tana米C.D.-------不

sinatana

7.如图所示的几何体的主视图是（）

A.

8.如图，将△ABC绕点C旋转60。得到△，已知AC=6,BC=4,则线段AB扫过的图形面积为（）

3冗8)

A.B.—C.67rD.以上答案都不对

T3

9.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B,顶点为P,若△ABP组成的三角形恰为等腰直角三角形，则

b2-4ac的值为（）

A.1B.4C.8D.12

X—n

10.若分式方程——=a无解，则a的值为（）

X+1

A.0B.-1C.0或-1D.1或-1

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，直线y=J^x,点Ai坐标为（1,0）,过点Ai作x轴的垂线交直线于点B”以原点O为圆心，OB】长为半

径画弧交X轴于点A2；再过点A2作X轴的垂线交直线于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画弧交X轴于点A3,3,

按照此做法进行下去，点A8的坐标为.

12.如图，点A在双曲线丫=七的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B,点C在x轴正半轴上，且OC=2AB,

x

点E在线段AC上，且AE=3EC,点D为OB的中点，若AADE的面积为3,则k的值为.

13.如图，已知点A（4,0）,O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A）,过P、O两点的二次函数yi

和过P、A两点的二次函数yz的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD

=3时，这两个二次函数的最大值之和等于.

14.计算：（兀-3）°-2-J.

15.如图，在。。中，点B为半径04上一点，且。4=13,AB=1,若CD是一条过点8的动弦，则弦CZ）的最小值

为.

B

16.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：®CE=CF；

②NAEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD二2+6.

其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线丫=*2+6*+<:顶点人的横坐标是-1,且与y轴交于点B（0,-l）,

点P为抛物线上一点.

（1）求抛物线的表达式；

（2）若将抛物线丫=*2+6*+。向下平移4个单位，点P平移后的对应点为Q如果OP=OQ,求点Q的坐标.

姝

----1----1_L>

0x

18.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC=1,BC=—,在AC边上截取AD=BC,连接BD.

（1）通过计算，判断AD?与AC・CD的大小关系；

（2）求NABD的度数.

R

19.（8分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索

子却量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一根绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折

后再去量竿，就比竿短5尺.求绳索长和竿长.

20.（8分）声音在空气中传播的速度y（m/s）是气温x（C）的一次函数，下表列出了一组不同气温的音速：

气温x（℃）05101520

音速y(m/s)331334337340343

（1）求y与x之间的函数关系式：

（2）气温x=23℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声响，那么此人与烟花燃放地约相距多远？

21.（8分）计算：|6-2|+2cos30°-（-73）2+（tan450）1

22.（10分）爸爸和小芳驾车去郊外登山，欣赏美丽的达子香（兴安杜鹃），到了山下，爸爸让小芳先出发6min,然

后他再追赶，待爸爸出发24min时，妈妈来电话，有急事，要求立即回去.于是爸爸和小芳马上按原路下山返回（中

间接电话所用时间不计），二人返回山下的时间相差4min,假设小芳和爸爸各自上、下山的速度是均匀的，登山过程

中小芳和爸爸之间的距离s（单位：m）关于小芳出发时间t（单位：min）的函数图象如图，请结合图象信息解答下

列问题：

（1）小芳和爸爸上山时的速度各是多少？

（2）求出爸爸下山时CD段的函数解析式；

（3）因山势特点所致，二人相距超过120m就互相看不见，求二人互相看不见的时间有多少分钟？

23.（12分）为迎接“全民阅读日”系列活动，某校围绕学生日人均阅读时间这一问题，对八年级学生进行随机抽样调

查.如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）本次共抽查了八年级学生多少人；

（2）请直接将条形统计图补充完整；

（3）在扇形统计图中，1-1.5小时对应的圆心角是多少度；

（4）根据本次抽样调查，估计全市50000名八年级学生日人均阅读时间状况，其中在0.5-1.5小时的有多少人？

90

75

60

45

30

15

日人均阅读时间

各时间经人翻所占的百分比

24.为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个

入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示.请在答

题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置.（要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用

铅笔作图）

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】

先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可.

【详解】

如图1中，

•.•等边△DEF的边长为In,等边△ABC的边长为3,

•'•S矩形AGHF=27tX3=67T，

由题意知，ABIDE,AG1AF,

.•.ZBAG=120°,

_120^-32,

••3扇形BAG-----------------J7tf

360

.,.图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3(S矩形AGHF+S南彩BAG)=3(6n+37r)=27n；

故选B.

【点睛】

本题考查轨迹，弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解题的关键是判断出莱洛三角形绕等边ADEF

扫过的图形.

2、C

【解析】

试题分析：根据轴对称图形及中心对称图形的定义，结合所给图形进行判断即可.A、既不是轴对称图形，也不是中

心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对

称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误.

故选C.

考点：中心对称图形；轴对称图形.

3、B

【解析】

根据一次函数的定义，可得答案.

【详解】

设等腰三角形的底角为y,顶角为x,由题意，得

x+2y=180,

所以，y=-；x+90。，即等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是一次函数关系，

故选B.

【点睛】

本题考查了实际问题与一次函数，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键.

4、B

【解析】

过点A作AMLBC于点M,由题意可知当点P运动到点M时，AP最小，此时长为4,

观察图象可知AB=AC=5,

：•BM=VAB2-AM2=3,.\BC=2BM=6,

SAABC=—■BC么M=12,

2

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据已知和图象能确定出AB、AC的长，以及点P运动到与BC垂直时最

短是解题的关键.

5、C

【解析】

试题解析：•••这组数据的众数为7,

:.x=7,

则这组数据按照从小到大的顺序排列为：2,3,1,7,7,

中位数为：1.

故选C.

考点：众数；中位数.

6、D

【解析】

AC

【分析】在RtAABC中，ZCAB=90°,ZB=a,AC=800米，根据tana=—,即可解决问题.

AB

【详解】在RtAABC中，VZCAB=90°,NB=a,AC=800米,

・AC

..tana=-----,

AB

AC800

AAB=--------=--------

tanatana

故选D.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

7、C

【解析】

主视图就是从正面看，看列数和每一列的个数.

【详解】

解：由图可知，主视图如下

故选C.

【点睛】

考核知识点：组合体的三视图.

8、D

【解析】

从图中可以看出，线段AB扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC,小圆半径是BC,圆心角是60度,

所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积.

【详解】

阳火而加60万x（36—16）10

阴影面积=------------=—n.

3603

故选D.

【点睛】

本题的关键是理解出，线段AB扫过的图形面积为一个环形.

9,B

【解析】

bAn「一b?

设抛物线与X轴的两交点A、B坐标分别为（XI,（））,（X2,0）,利用二次函数的性质得到P,）,利

2a4a

2

2be\lZ?-4-cic

用XI、X2为方程ax+bx+c=0的两根得到Xl+X2=—,Xl-X2=-,则利用完全平方公式变形得到AB=|X1-X2|=^,,,

aa\a\

/?24flc2

接着根据等腰直角三角形的性质得到I皿龙|=l.V~,然后进行化简可得到b-lac的值.

4a2\a\

【详解】

h4./7Z*—h~

设抛物线与x轴的两交点A、B坐标分别为（X”0）,（X2,0）,顶点P的坐标为（-9,）,

2a4a

则xi、X2为方程ax2+bx+c=0的两根，

hc

/.Xl+X2="—,X1・X2=一,

aa

2

AB=|XI-X2|=Ja一％)2=J(X1+%2)2_4%尤2=卜-)-4--=”b时4"，

•••△ABP组成的三角形恰为等腰直角三角形，

.Aac-b2.1扬-4ac

--I-------1=-*—n—，

4a2同

(/-4ac)2_b2-4ac

16a24a2'

.".b2-lac=l.

故选B.

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a#))与x轴的交点坐标问题转化为解

关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的性质.

10、D

【解析】

试题分析：在方程两边同乘(x+1)得：X—a=a(x+l),

整理得：x(l-a)=2a,

当l-a=0时，即a=l,整式方程无解，

当x+l=0,即x=-l时，分式方程无解，

把x=-1代入x(l—a)=2a得：一(1—a)=2a,

解得：a=-l,

故选D.

点睛：本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分式方程无解的条件.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、(128,0)

【解析】

•••点Ai坐标为(1,0),且BiAi^x轴，...Bi的横坐标为1,将其横坐标代入直线解析式就可以求出比的坐标，就可

以求出AIBI的值，OA1的值，根据锐角三角函数值就可以求出NxOB3的度数，从而求出OBi的值，就可以求出OA?

值，同理可以求出OB2、OB3…，从而寻找出点A2、A3…的坐标规律，最后求出A8的坐标.

【详解】

点A坐标为(i,o),

OA=i

•••4AJ•x轴

点的横坐标为1,且点在直线上

:.y=世

••.旦(1,百)

在/?必4与。中由勾股定理，得

OB、=2

r.sinNOgA=g

/.ZOfi.4=30°

ZOB.4=ZOB2A,=NOB3A3=...=NOB“A“=30°

,.1=OB]=2,4(2,0),

在RfA&&。中，0a=2。4=4

.•03=40(4,0).

.•.04=8,?OA-,=12“，i(2.

04=2-1=128.

.•-4=(128,0).

故答案为(128,0).

【点睛】

本题是一道一次函数的综合试题，也是一道规律试题，考查了直角三角形的性质，特别是30°所对的直角边等于斜边的一

半的运用，点的坐标与函数图象的关系.

c16

12、—.

3

【解析】

由AE=3EC,△ADE的面积为3,可知AADC的面积为4,再根据点D为OB的中点，得到AADC的面积为梯形

k

BOCA面积的一半，即梯形BOCA的面积为8,设A(x,—),从而

X

表示出梯形BOCA的面积关于k的等式，求解即可.

【详解】

VAE=3EC,AADE的面积为3,AACDE的面积为1.

/.△ADC的面积为4.

•••点A在双曲线y=V的第一象限的那一支上，

X

.,•设A点坐标为(x,“).

x

VOC=2AB,/.OC=2x.

,••点D为OB的中点，.,.△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，，梯形BOCA的面积为8.

1k\k16

二梯形BOCA的面积=—(x+2x>—=——=8,解得k=、.

2x2x3

【点睛】

反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，同底三角形面积的计算，梯形中位线

的性质.

13、75

【解析】

此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综

合性试题.

【详解】

过B作BF_LOA于F,过D作DE_LOA于E,过C作CMJLOA于M,则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和,

BF〃DE〃CM,求出AE=OE=2,DE=石，设P(2x,0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出AOBF<^AODE,

AACM-AADE,得出"=,代入求出BF和CM,相加即可求出答案.

DEOEDEAE

过B作BF_LOA于F,过D作DE_LOA于E,过C作CM_LOA于M,

VBF±OA,DE±OA,CM±OA,

；.BF〃DE〃CM.

VOD=AD=3,DE±OA,

/.OE=EA=-OA=2,

2

由勾股定理得：DE=^OD2-OE2=5,设P(2x,0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x,

：BF〃DE〃CM,

.,.△OBF^>AODE,△ACM^>AADE,

.BFOFCM_AM

VAM=PM=-(OA-OP)=-(4-2x)=2-x,

22

BFxCM2-x

即正=5'否=丁，

解得：BF=—x,CM=V5-—x

22

.,.BF+CM=石.

故答案为石.

【点睛】

考核知识点：二次函数综合题.熟记性质，数形结合是关键.

14、

【解析】

分别利用零指数塞aLl(a#)),负指数幕a-P='(a邦)化简计算即可.

【详解】

解：(«-3)°-2-i=L=..

故答案为：丁

【点睛】

本题考查了零指数幕和负整数指数幕的运算，掌握运算法则是解题关键.

15、10

【解析】

连接OC,当C1XLOA时CO的值最小，然后根据垂径定理和勾股定理求解即可.

【详解】

连接OC,当QZLOA时CO的值最小，

V04=13,AB=1,

：.OB=13-1=12,

:衣=庐日=5,

."0=5x2=10.

故答案为10.

【点睛】

本题考查了垂径定理及勾股定理，垂径定理是:垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧.

16、(D0④

【解析】

分析：•..四边形ABCD是正方形，，AB=AD。

•.,△AEF是等边三角形，.*.AE=AF.

,在RSABE和RtAADF中，AB=AD,AE=AF,ARtAABE^RtAADF(HL)o；.BE=DF。

,.,BC=DC,.,.BC-BE=CD-DF。.,.CE=CF.①说法正确。

VCE=CF,.♦.△ECF是等腰直角三角形。...NCEF=45。。

VZAEF=60°,.,.ZAEB=75°o.,.②说法正确。

如图，连接AC,交EF于G点，

.,.AC±EF,且AC平分EF。

VZCAD#ZDAF,ADF#FGo

.♦.BE+DF=EF。.I③说法错误。

VEF=2,/.CE=CF=V2o

设正方形的边长为a,在RtAADF中，a2+（a-A/2）'=4,解得a=

Aa2=2+^.

:.S.E方形ABCD=2+G。...④说法正确。

综上所述，正确的序号是①②④。

三、解答题（共8题，共72分）

17、⑴为y=x2+2x—l；（2）点Q的坐标为（―3,-2）或（1,一2）.

【解析】

（1）依据抛物线的对称轴方程可求得b的值，然后将点B的坐标代入线y=f-2x+c可求得c的值，即可求得抛物线

的表达式；（2）由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离,故此QP=4,然后由点QO=PO,QP//y

轴可得到点。和P关于x对称，可求得点。的纵坐标，将点。的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，

则可得到点Q的坐标.

【详解】

（1）•.・抛物线y=X?+bx+c顶点A的横坐标是—1,

b-b

・・.x=一—=-l,即——=-1,解得b=2.

2a2x1

/.y=x2+2x+c.

将B（0,—l）代入得：c=-l,

抛物线的解析式为y=x2+2x-l.

（2）•.•抛物线向下平移了4个单位.

二平移后抛物线的解析式为y=x?+2x-5,PQ=4.

,.,OP=OQ,

，点O在PQ的垂直平分线上.

又•.・QP//y轴，

，点Q与点P关于x轴对称.

二点Q的纵坐标为-2.

将y=-2代入y=x?+2x-5得：X2+2X-5=-2,解得：x=-3或x=l.

点Q的坐标为（一3,-2）或（1,一2）.

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移规律、

线段垂直平分线的性质，发现点Q与点P关于x轴对称，从而得到点Q的纵坐标是解题的关键.

18、（1）AD2=AC«CD.（2）36°.

【解析】

试题分析：（1）通过计算得到二二」三，再计算ACCD,比较即可得到结论；

（2）由二二：=二二•二二得到二二：=二二・二二即三=三，从而得到AABCs^BDC,故有三=三，从而得到

BD=BC=AD,故NA=NABD,ZABC=ZC=ZBDC.

设NA=NABD=x,贝!!NBDC=2x,ZABC=ZC=ZBDC=2x,由三角形内角和等于180。，解得：x=36。，从而得到结论.

币-1

试题解析：（1）VAD=BC=2,二二：=（三）；=—.

(2)二二即三=三,又•.•/C=NC,.♦.△ABCsaBDC,.,.三=三,又；AB=AC,

；.BD=BC=AD,.•.NA=NABD,ZABC=ZC=ZBDC.

设NA=NABD=x,贝UNBDC=NA+NABD=2x,/.ZABC=ZC=ZBDC=2x,NA+NABC+NC=x+2x+2x=180。，解

得：x=36°,，NABD=36°.

考点：相似三角形的判定与性质.

19、绳索长为20尺，竿长为15尺.

【解析】

设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二

元一次方程组，解之即可得出结论.

【详解】

设绳索长、竿长分别为％尺，y尺，

-x=y+5

依题意得：\x„

—=y-5

12'

解得：x=20,y=15.

答:绳索长为20尺，竿长为15尺.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

3

20、(1)y=-x+331;(2)1724m.

【解析】

(1)先设函数一般解析式，然后根据表格中的数据选择其中两个带入解析式中即可求得函数关系式(2)将x=23带入

函数解析式中求解即可.

【详解】

8=331

解：(1)设丫=1«+1),

5k+b=334

._3

••KL—f

5

.3

..y=—x+331.

5

3

(2)当x=23时，y=-x23+331=344.8

.••5x344.8=1724.

•••此人与烟花燃放地相距约1724m.

【点睛】

此题重点考察学生对一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数解析式的求法是解题的关键.

21、1

【解析】

本题涉及绝对值、特殊角的三角函数值、负指数幕、二次根式化简、乘方5个考点，先针对每个考点分别进行计算,

然后根据实数的运算法则求得计算结果即可.

【详解】

解：原式=2-6+2x――-3+1

2

=1.

【点睛】

本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型，解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值、特殊角的

三角函数值、负指数塞、二次根式化简、乘方等考点的运算.

22、(1)小芳上山的速度为20m/min,爸爸上山的速度为28m/min：(2)爸爸下山时CD段的函数解析式为y=12x-

288(24<x<40)；(3)二人互相看不见的时间有7.1分钟.

【解析】

分析：(1)根据速度=路程+时间可求出小芳上山的速度；根据速度=路程+时间+小芳的速度可求出爸爸上山的速度；

(2)根据爸爸及小芳的速度结合点C的横坐标(6+24=30),可得出点C的坐标，由点D的横坐标比点E少4可得出

点D的坐标，再根据点C、D的坐标利用待定系数法可求出CD段的函数解析式；

(3)根据点D、E的坐标利用待定系数法可求出DE段的函数解析式，分别求出CD、DE段纵坐标大于120时x的取

值范围，结合两个时间段即可求出结论.

详解：(1)小芳上山的速度为1204-6=20(m/min),

爸爸上山的速度为120+(21-6)+20=28(m/min).

答：小芳上山的速度为20m/min,爸爸上山的速度为28m/min.

(2)V(28-20)x(24+6-21)=72(m),

...点C