烟台市2022-2023学年高一下学期期中数学试题

试卷第=page22页，共=sectionpages44页试卷第=page11页，共=sectionpages44页烟台市2022～2023学年度第二学期期中学业水平诊断高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若，则（

）A． B． C． D．2．已知向量、的夹角为，，，则（

）A． B． C． D．3．已知，，则的值为（

）A． B． C． D．4．故宫是世界上规模最大，保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫“乾清宫”宫殿房檐的设计在夏至前后几天屋檐遮阴，在冬至前后几天正午太阳光就会通过地砖反射到“正大光明”匾上，惊艳绝伦．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角为73°，冬至前后正午太阳高度角为，如图，测得，则房檐A点距地面的高度为（

）A． B．C． D．5．在中，点D为BC中点，E为AD中点，记，，则（

）A． B． C． D．6．设，，，则（

）A． B． C． D．7．设函数，，若存在，使得，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．8．在锐角中，角所对的边分别为．若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知复数，则（

）A．z的虚部为 B．在复平面内对应的点在第四象限C． D．z是关于x的方程的一个根10．已知向量，，，则下列说法正确的是（

）A．若，则与夹角的余弦值为 B．若，则C．若，则与的夹角为锐角 D．向量在上的投影向量是11．函数的部分图象如图所示，则（

）A．函数在区间上单调递增B．是函数的一个对称中心C．函数在区间上的最大值2D．若，则12．在中，角所对的边分别为，，，O为外接圆圆心，则下列结论正确的有（

）A． B．外接圆面积为C． D．的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，，则的值为______．14．写出一个同时满足以下三个性质的函数：______．（写出一个符合条件的即可）①对于任意，都有；②的图象关于直线对称；③的值域为．15．在中，，，D是边AB上一点，且满足，则的值为______．16．赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大的正方形．如图所示，正方形ABCD的边长为，正方形EFGH边长为1，则的值为______；______．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（1）已知复数是纯虚数，求的值；（2）已知，，，求与夹角的大小．18．已知向量，向量与的夹角为，且．(1)求向量的坐标；(2)设向量，，向量，若，求的最大值并求出此时x的取值集合．19．在中，角所对的边分别为，且．(1)求角C的大小；(2)若，，求的周长．20．观察以下各式：；；．分析以上各式的共同特点，写出一个能反映一般规律的等式，并证明该等式．21．绿水青山就是金山银山．近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业蓬勃发展．某景区有一直角三角形区域，如图，，，，现准备在中间区域打造儿童乐园，M，N都在边AC（不含A，C）上且，设．(1)若，求的值；(2)求面积的最小值和此时角值．22．设函数，将函数的图象向右平移个单位长度后图象关于原点对称．(1)求函数的单调递增区间；(2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，①若，求的值；②若，，求c的取值范围．答案第=page44页，共=sectionpages99页答案第=page33页，共=sectionpages99页答案部分1．B依题意，，所以.故选：B2．B因为向量、的夹角为，，，则，因此，.故选：B.3．C因为，且，则，所以，所以.故选：C4．D设点A在地面的射影为D，由已知得，，则；在三角形ABC中，由正弦定理，得.在直角三角形ABD中，.故选：D5．A因为点D为BC中点，所以；因为E为AD中点，所以；所以.故选：A.6．C，，，因为，则，即.故选：C.7．C，，显然，当时，，当时，，因此，，，而，则当，即时，，当，即时，，即，依题意，，所以实数m的取值范围为是.故选：C8．B因为，由正弦定理可知，，又，所以所以，所以即，又是锐角，则，则，，所以，即，所以，解得，所以.，则，则，故选：B.9．BCD依题意，复数，复数z的虚部为，A错误；在复平面内对应的点在第四象限，B正确；，，则，C正确；，即z是关于x的方程的一个根，D正确.故选：BCD10．ABD对于A选项，当时，，则，A对；对于B选项，因为，，，则，若，则，解得，B对；对于C选项，若与夹角为锐角，则，解得，且与不共线，所以，，所以，当且时，与的夹角为锐角，C错；对于D选项，向量在上的投影向量，D对.故选：ABD.11．AC观察图象知，，，即，而，解得，，有，因为点与在函数图象上相邻，因此，解得，于是，对于A，当时，，而正弦函数在上单调递增，所以函数在区间上单调递增，A正确；对于B，当时，，不是函数的一个对称中心，B正确；对于C，当时，，当，即时，取得最大值2，C正确；对于D，取，有，此时有，而，D错误.故选：AC12．ACD在中，由正弦定理及得：，而，则有，即，又，，则，所以，即，A正确；由正弦定理得外接圆半径，该圆面积，B错误；如图，，C正确；由余弦定理得：，当且仅当时取等号，因此，D正确.故选：ACD13．因为，两边平方得：，解得，又，即，则，所以,故答案为：14．（答案不唯一）任意，，即函数是周期为的周期函数，则由性质①，可令，由性质②知，，而，则，由性质③知，，解得，于是，所以同时满足给定三个性质的函数可以为.故答案为：15．2因为，故即，故为边上的高，故.又可化为，而，所以，整理得到：，故，故即,故答案为：2.16．

6

依题意，全等，在中，，由得：，即，又，解得，；，所以.故答案为：6；17．（1）因为复数是纯虚数，所以，即且，所以，又因为，所以，则，所以.（2）因为，所以，即，所以，整理得，所以，，设与夹角为，,因为，所以，故与夹角为.18．（1）设，依题意，，，而，因此，解得或，所以向量的坐标是或.（2）向量，且，当时，，不符合题意，舍去，当时，，符合题意，即，则，，因为，则当，即时，，所以的最大值是3，此时x的取值集合是.19．（1）在中，由正弦定理及得：，整理得：，而，则，又，所以.（2）由（1）知，依题意，，解得，由余弦定理得：，解得：，所以的周长.20．，其中，证明：，则，则左边右边.故等式成立.21．（1）依题意，，则，而，.（2）在中，由正弦定理得，而，，则，在中，，，，在中，由正弦定理得，，而，，，，显然，有，，则当，即