计算机图形学CG-6-transformation

GeometricGraphics

Transformation

几何图形变换

基本几何变换

BasicGeometrictransformation

■在方向、尺寸和形状方面的变化是通过几

何变换来完成的。

■基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标

轴进行的。

3

基本几何变换

BasicGeometrictransformation

■平移变换transIation

■旋转变换rotation

■比例变换seaIing

■对称变换refIection

■错切变换shearing

4

Translation

平移距离

translationdistance

tx，ty

5

Translationmatrix

X

p二

!

x=x+LJ

*/v

P'=

j=歹+々

P'=P+T

6

SeaIingtransformation

■比例变换改变物体的尺寸.

■假定物体的比例变换是相对于坐标原点O

X'=xs*y=ysy

sxX方向的比例因子.

SyX方向的比例因子.

7

0

SeaIingtransformationmatrixS

F0x

0sy[y

■PJ=SP

9

Sometips

■比例因子是一个正数positivenumber

■比例因子＜1,物体变小，物体靠近原点.

■比例因子＞1,物体变大，物体远离原点.

■比例变换不是刚体变换

■当S*和相等时，称为均匀变换

(uniform).

■当S*和Sy不等时，称为不等比变换.

■物体经过毋例变换后，改变了物体比例,

同时重定位(repositioned).

旋转变换Rotationtransformation

■2D旋转变换是指物体沿着某个定点转动

某个角度的重定位过程(reposition)。

■定点或成为基准点(pivotpoint)

■旋转角(rotationangIe0)

正值表示逆时针旋转counterclockwise

负值表示顺时针旋转cIockwise

11

Rotationtransformation

(a)(b)

12

Rotationtransformationequation

■假定基准点位于原点,我们有

xf=rcos(0+3)=rcoscos0-rsinsin0

y"=rsin(①+6)=rcos0sin0+rsincos0

因为x=rcos①andy=rsin①

所以x=xcosO-ysinO

y=xsinO+ycosO

13

RotationtransformationmatrixR

■方程可表示为矩阵形式

P'=RP

cos/9—sin/9

sin。cos。

14

对称变换reflectiontransformation

0x

T_J

■关于y轴的对称变换x-10x

X--Xy-y

y01」

15

⑶对X轴(b)对y轴

16

关于坐标原点的对称变换

reflectiontransformationaboutorgin

-10x

0-1y

17

关于对角线(diagonal)的对称变换

■对角线y二x

□X-y

口y-x

■对角线尸-x

x--y

y--x

18

0)

错切变换Sheartransformation

■X方向的错切x1

□x,=x+cy!

口y-yJ0

y

y

错切变换Sheartransformation

■y方向的错切

□X-X

□y,=bx+y

21

矩阵表示与齐次坐标

MatrixRepresentationand

HomogeneousCoordinates

■问题的提出

很多应用包含多个几何变换，如先平移，再进

行旋转变换、比例变换等

矩阵如何表示才能有效处理多个变换?

22

MatrixRepresentationand

HomogeneousCoordinates

■变换可表示成一般矩阵形式

P'二P+M2

这里，

M1是一个2X2矩阵，包含旋转、比例等多个变换.

M2是一个2X1矩阵，包含平移变量.

■使用这个表达式，我们必须每步都计算变换坐标.

23

MatrixRepresentationand

HomogeneousCoordinates

■一个更有效的方法是将这些变换矩阵组合成一个,

最后根据初始坐标和坐标变换直接计算最终坐标.

■为了达到这个目标，必须重新规整上述方程，消

除平移矩阵M2

■将2D变换矩阵2X2模式扩展成3*3模式可解决上述

问题，所有变换矩阵可转换成矩阵连乘形式.

24

齐次坐标HomogeneousCoordinates

■将每个笛卡尔坐标(X,力表示成三元组的坐标形

式优，外,〃，其中二者之间的关系满足

X-x/h,y=y/h

■我们把它称为齐次坐标，也可表示为(hx,hyf

h).

■对于2D几何变换，可把齐次参数力设为任意非零

值。最常用的是设置A=1,则每个2D坐标可表

示成齐次坐标6GK1).

■齐次坐标可使得所有几何变换表示成矩阵连乘形

O25

平移齐次坐标变换TransIation

■或表示成：P'=T

■平移变换的逆变换TT用负位移代替-勺，F.

26

旋转齐次坐标变换Rotation

一sin。0X

cos。0

01i

■旋转变换的逆变换R7用-。值代入.

27

比例齐次坐标变换SeaIe

X5丫00X

0邑0J

10011

■Or,P'二S⑸㈤P

■比例变换的逆变换ST用1/Sx，^Sy值代入.

28

对称齐次坐标变换RefIection

!

■关于X轴x-10oT%

□X-X

—0-1°y

口y--y100ij[i

■关于y轴-10oT%

X=­x010y

口

y-y100山

29

对称齐次坐标变换RefIection

■关于原点x-100x

□x'=-x0-10

y'=-y

iooii

■关于尸X轴xoioX

□x'=y

□y'=x100

iooii

■关于y二一x轴

x-iX

nx'=-yoo

□yz=-x-100y

iooii30

错切齐次坐标变换Shear

■沿X轴"1ooTx

□x5=x+cy—0Coy

□y-y1001£1

ooT%

■沿y轴ari

□X-Xy=bIOy

□y-bx+y1J[o0山

31

ompositeTransformations

田使用齐次坐标表示，多个变换的组合可计

算单个变换矩阵的连积，用复合矩阵来表

示。这个过程称矩阵串联或矩阵复合

concatenationorcompositionof

matrix.

叱如果点坐标采用列向量，复合矩阵由右到

左顺序连乘排列，也就是说，后续变换左

乘前续变换。如果是行向量，则右乘。

32

组合平移CompositeTranslation

先平移ty1,然后再平移出2W

P'=T(tx2fty2){T(tx1fty1)P}

=仃%“T(tx1fty1)]P

10x2101°^x\+tx2

01y20101tx2+ty2

001001001

T72,ty2)T(tx13tyl)一丁(如+'x2,ty1+^y2)

33

组合旋车专CompositeRotation

■先旋转。7,再旋转多,相当于一次旋转为+e2

P'=R(%){R(%)P}

={R(%)R(4)1P

R(%)R(%)=R(仇+e2)

,

p=R(%+e2)p

34

组合比例JCompositeScale

■先缩放Sxi,S1,再缩放Sx2,S2，相当于一次

缩放SRSSX2,Sy1SSy2

P,=S(sx2,sy2){S(sx1,sy1)P}

0

%*/V乙oo%00%%°

0500Syl0=011%0

001001001

S(Sx2，Sy?)S(Sx1,Syl)—S(Sx1Sx2，Sy1Sy2)

35

基准点是任意点的旋转

GeneraIPivot-PointRotation

■平面图形绕任意固定点pivotpoint(x〃

%)的旋转可由通过平移-旋转-平移操作来

实现：

1.平移物体及固定点，使得固定点移到原

占

2.围绕原点旋转物体.

3.再将物体及固定点平移回原来位置.

36

绕任意点（Xr，y）的旋转矩阵

10xrCOS。一sin。010—xr

o1Ksin。cos。001f

R=

001001001

cos。—sin。x(l-cos0)+ysin3

rr

sin。cos。j;(l-cos。)—x〃sin。

001

可以表示成

T(xr?yr)R(0)T(-xr9-y)=R(xpyr?0)

37

基准点是任意点(xr,yr)的旋转方程

可表示为

J

x=xr+(x-xr)cos0-(y—yr)sin0

J

y=yr+(x-xr)sin0+(y-yr)cos0

(xr,y，为任意点的坐标

基准点是任意点的旋转可以看作先平移到原

点，旋转后再平移回任意点。

38

基准点是任意点的比例缩放

GeneraIFixed-PointSeaIing

■基于任一固定点J/J的比例缩放也可通

过三个步骤实现：

1平移物体，使得固定点与原点位置相符.

2.再使物体做相对于原点的比例缩放.

3.再使用步骤1的逆操作，使物体和固定点回到原

来位置.

39

基准点是任意点的缩放

100oTi°~xf

010%001~yf

001001001

S'oX/(l-sQ

°Sy丹(JS>)

001

T(Xf，yf)S(sx9sy)T(-xf9-yf)=S(xf9yf9sx9sy)

40

对任意直线作对称变换

■设任意直线的方程为Ax+By+C=O,直线在x轴和y轴上的截距

分别为-C/A和-C/B,直线与x轴的夹角为

a.a=arct虱一A/B)

41

对任意直线作对称变换步骤

1.X轴方向平移，使直线通过原点

-ioaA

T(-G=010

001

42

对任意直线作对称变换步骤

2.绕原点旋转角度，使直线与X轴相重合

cosasin。0

R(-a)=一sin。cos。0

001

43

对任意直线作对称变换步骤

3.绕X轴对称变换

100

F(reflection)=0-10

001

对任意直线作对称变换步骤

4.绕原点旋转角度，使直线转回原来的角度

coso-sma0

R(a)=sin。cosa0

001

45

对任意直线作对称变换步骤

5.X轴方向平移回原来的位置

"10-C/A

7(4)=010

001

46

对任意直线作对称变换复合矩阵

M=T(tx)R{a}F(reflection)R(-a)T(-tx)

47

矩阵合并特性

Concatenationproperties

■矩阵相乘满足结合律

D4"L'J/JLJ'4JL/

■矩阵一般不满足交换律

48

Fmol

Posibon

FlgurrVIi

ReversingIh?orderinwhicha<equcnceofIraibtomutloiViis

performedmayaffecttheiranslormcdjwitionufanobjectIn(4an

ubjertBfir5tIrarvldled,thenn)Utcd.In(b)Jhe0峰式grotatttifirsts

thentramhhd

几何变换中满足交换律的矩阵

■二次连续平移

□TJT2=T2*TI

■二次连续旋转

□R1*R2=R2*RI

■二次连续比例缩放

□S1*S2=S2*S1

50

Summary

■基本几何变换（平移、旋转、比例、对称）

■齐次坐标的概念和目的

■复合变换，对任意点/直线的变换可转换为

基本几何变换问题来处理

■矩阵连乘及其顺序排列规则

■矩阵运算规则

51

3DTransformation

图形变换

52

3D基本几何变换

3DGeometrictransformation

■3D几何变换可由2D几何变换扩展而来，包

括：

3D平移

3D旋转

3D比例缩放等

■同样，我们用齐次坐标来表示3D几何变换

矩阵

54

3D平移变换transIation

z'=z+tz

orP=TP

55

一个三棱锥的平移

X

56

3D比例变换

oooTx

VoSy00J

z'o0邑0z

10001£1

P'=SP

57

3D比例变换

■当sx=sy=sz>1时，图形相对于原点作等比

例放大。

■当SX=sy=sz<1时，图形相对于原点作等比

例缩小。

■当sx〈>sy〈>sz时，图形作非等比例变换。

58

全比例变换

■当sx二sy二sz是称全比例变换

当s<1时，3D物体等比例放大

当s>1时，3D物体等比例缩小

59

一个正方体的等比例变换

F

60

一个三棱锥的不等比例变换

61

3D旋转Rotation

■3D旋转可以是绕3D空间中任意一条直线旋

转。

■和2D一样，绕坐标轴逆时针方向旋转为正

角，假定我们从坐标轴的正向朝着原点观

看。

62

3D旋转Rotation

(01

63

3D旋转Rotation

64

绕Z轴旋转

xcos。—sin。0oT%

V,sin。cos。00

z0010z

100011

or,P'=Rz(0)90旋转角

65

绕Z轴旋转

x'=xcos0-ysin0

y'=xsin0+ysin0

zJ=z

■用Y替代X,用Z替代Y,用X替代Z：x->y-

>z->x可以给出绕X,Y轴的循环变换

66

绕X轴旋转

V'=ycos0-zsin0

z,=ysin9+zcos0

p'=Rx(0)Px'=x

X1100oT%

0cos。-sin。0

z，0sin。COS0oz

10001」U

67

绕Y轴旋转z'=zcos0xsin0

xJ=zsin0xcos0

P'=Ry(0)Py，=y

x!cos。0sin。0x

0100J

一sin。0cos。0z

100011

68

旋转变换示例

(a)(b)

69

逆旋转

■逆旋转用-。替换0O

■替换后，有逆旋转变换矩阵就是旋转变换

矩阵的转置矩阵:

R-1=RT

70

3D对称变换

■关于XOY平面对称

f「X,

X-XioooTx

0100

y'=y

z*=—zz，00-10z

10001£1

71

3D对称变换

■关于YOZ平面对称

f「X,

X--loooTx

0100

y1=y

z'=Z2'0010z

10001£1

72

3D对称变换

■关于xoz平面对称

,「X,

X=XioooTx

y1=-yy，0-100

z'=Z2'0010z

10001£1

73

对称变换不总图

6T

(b)

74

3D对称变换

■关于x轴对称

x!ioooTx

y'=-y0-100J

z'=-zz'00-10z

0001£1

75

3D对称变换

■关于丫轴对称

f「X’

X--100OTx

y,=y0100j

z'=-zz'00-10z

0001£1

76

3D对称变换

■关于z轴对称

x!—1oooT%

X二一X

y'=-y0-100J

z'=zz'0010z

0001£1

77

3D错切变换

■沿x轴错切

!

x)=x+dy+gzx1dg0x

y'=yy0100

z'=zz'0010z

10001£1

78

3

3D错切变换

■沿丫轴错切

x!ioooTx

X二X

b1h0

Y=bx+y+hz

2’0010z

Z=Z

1OOO1£1

80

3D错切变换

■沿z轴错切

XioooTx

X=X

0100

y,=y

Z10z

z!=cx+fy+zCf

10001£1

81

三维组合变换

■与二维图形的组合变换一样，三维立体图

形也可通过三维基本变换矩阵，按一定顺

序依次相乘而得到一个组合矩阵（称级联），

完成组合变换。同样，三维组合平移、组

合旋转和组合比例变换与二维组合平移、

组合旋转和组合比例变换具有类似的规律。

82

相对于空间任意一点的3D变换

■D先将物体连同参考点平移回原点

-2)相对于原点作几何变换

■3)再进行平移逆变换

M=T(txtytz)S(sxsysz)T(~tx>-ty^-tz)

图形变换矩阵s可以是旋转、比例等变换

83

绕空间任意轴线旋转

可由以下步骤实现

■平移物体使得旋转轴通过坐标原点

■旋转物体使得旋转轴和坐标轴相吻合

■再围绕相吻合的坐标轴旋转相应的角度

■逆旋转回原来的方向角度

■逆平移回原来的位置

我们可以将旋转轴变换到3个坐标轴的任意一个。

但直观上看，变换到Z轴，和2D情况相似，容易被

接受。

84

Y

Initial

Step1

Position

Translate

totheOriginStep2

RotateP；

ontothezAxis

Step4Step5

Step3RotatetheAxisTfansleuthe

RotatethetotheOriginalRotationAxis

ObjectAroundtheOrientationtotheOriginal

/AxisPosition

绕过原点的直线ON旋转

(a)(b)

86

绕过原点的直线旋转

■设ON为过原点的任意直线，其单位矢量为

n—{/,m.n}

■则该直线的方程为

xyz

mn

87

绕过原点的直线旋转。角