江苏省南通市海门区2021-2022学年九年级下学期数学期中试卷（含答案与解析）

江苏省南通市海门区2021〜2022学年下学期期中试卷

九年级数学

（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）

注意事项：

1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答。

2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项。

3.考试结束，由监考人员将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有

一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.如果水位升高3m时水位记作+3m,那么水位下降4m时水位变化记作（）

A-3mB.+3mC.-4mD.+4m

2.现阶段新型冠状病毒奥密克戎的最大直径约有0.00000014米.将0.00000014用科学记数法表示为

（）

A.14X10.8B.1.4X10-7C.0.14X10-9D.14X10

2

3.分式——有意义的条件是（）

x-3

A.x>3B.x<3C.xr0D.+3

4.下列计算中，正确的是（）

A.V2+V3=V5B.2V2-V2=2

C.（20）2=8D.V84-V2=V6

5.如图，在用△ABC中，ZC=90°,AB=\0,BC=6,则sinA的值为（）

K

3434

A.-B.-C.-D.一

4355

6.如图，AB//CD,AD与3c相交于点0,OB=2,C7c=5,AB=4,则CO的长为（）

D

A.7B.8C.9D.10

7.若用一个圆心角为90°,半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（）

A.1B.2C.3D.4

8.《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一

尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正

方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好

到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为（）

A.f+52=（x+1）2B.x2+102=:（x+1）2

C.JC2-52=（x-1）2D,x2-102=（x-1）2

9.若关于x的不等式mx-n>0的解集为xV2,则关于x的不等式（〃?+〃）x>m-n的解集是（）

1111

A.xv—B.x>—C.x<—D.x>—

3333

10.如图，等边△ABC中，AB=4,是8c上一个动点（不与点B,C重合），交AC于点E.设

B£>=x,AAOE的面积是y,则y与x的函数图象大致为（）

解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）

11.因式分解：a2-9=

12.计算：-厉+|6-2|-（；尸=

13.如图，在。。中，弦AB的长为8cm,圆心。到AB的垂线段0E长为3cm,则半径0A的长为

cm.

14.已知二次函数y="2+fer+c（tz,b,c是常数，aWO）的y与x的部分对应值如表

X-114

y3-33

当》=2时-，函数值为

15.如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子里

看到楼的顶部，如果王青身高1.55m,她估计自己眼睛距地面1.50m.同时量得ZJW=30cm,MS=2m,则

这栋楼高m.

16.若方程利有两个不相等的实数根，则实数机的取值范围为

k

17.如图，在平面直角坐标系X。），中，直线y=x+4与反比例函数y=—（ZWO）的图象相交于点AB,若

x

N4O8=120°,贝心的值为—

18.如图，等边△OAB中08=3,将同一平面内边长为2的等边△OC。绕点。旋转一周的过程中，点8

到直线CD的距离最大值为.

D

三、解答题(本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤)

19.

(1)计算[x(x2_y2-xy)-y(x2-x37)]-?x2y；

2%-5<3x,

(2)解不等式组：\x-2x

----->—

I23

20.如图，平行四边形4BC£>的对角线4C,8力相交于点O,且AB=5,AO=4,BO=3.

(1)求证：平行四边形ABC。是菱形；

(2)求点C到AB边的距离.

21.受新冠疫情的影响，某区决定所有中小学暂停线下教学，改为线上教学.该区教研室为了解线上“课

堂有效提问”的现状，从全区所有线上课堂教学中随机抽取了40节课，它们的课堂有效提问的次数分别

为：

4,5,5,5,12,13,14,14,1,2,

18,20,19,24,3,4,4,6,10,10

10,10,11,14,6,7,7,8；15,16

8,8,9,9,10,10,10,9,14,14,

(1)根据上述数据完成下表:

次数X0«55«1010WxV1515WxV2020«25

节数6—15—2

(2)估计全区课堂有效提问的次数在10Wx<20范围的节数占总节数的百分之几？

(3)若教研室对线上“课堂有效提问”的次数作出规定，你认为规定次数定为多少时比较合理？并说明

理由.

22.不透明袋子中装有红球、黄球、绿球各一个，除颜色外无其它差别.

(1)随机摸出一个小球是红球的概率为;

(2)随机摸出一个小球后，放回并搅匀，再随机摸出一个小球，求摸到一个黄球、一个绿球的概率.

23.如图，A8为。。的直径，C为。。上一点，过点C作。。的切线交54的延长线于点。，NABC=

30°.

(1)求/2OC的度数；

(2)作NBOC的平分线分别交4C、BC于点、E、F,。。的半径为4,求CF的长.

24.某网店打出促销广告：最潮新款球鞋20双，每双售价240元.若一次性购买不超过10双时，售价不

变；若一次性购买超过10双时，每多买1双，则购买的所有球鞋的售价均降低10元.已知该球鞋进价是

每双120元，设某顾客一次性购买该款球鞋x双时，该网店获利y元.

(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)当顾客一次性购买多少双时，该网店从中获利最多？

25.如图，ZVIBC中，ZACB=90°,AC=BC=4,点。BC边上一点(与B,C不重合)，连接AO,过

点C作CE_LAO交AB于点E,设CD=a,

(1)求证：NCAD=NBCE；

4

(2)当“=一时，求BE的长；

3

An

(3)探究k值(用含。的代数式表示).

CE

26.定义：在平面直角坐标系xQy中，若某函数图象上存在点尸(x,y),满足机为正整数,

则称点尸为该函数的“加倍点”例如：当机=2时，点(-2,-2)即为函数y=3x+4的“2倍点”.

(1)在点A(2,3),8(-2,-3),C(-3,-2)中，是函数y=9的“1倍点”；

X

(2)若函数y=-f+法存在唯一“4倍点”,求匕的值;

（3）若函数y=-x+2m+1的“,〃倍点”在以点（0,10）为圆心，半径长为2m的圆外，求机的所有值.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，恰有

一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.如果水位升高3m时水位记作+3m,那么水位下降4m时水位变化记作（）

A.-3mB.+3mC.-4mD.+4m

【答案】C

【解析】

【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，水位上升记为正，可得水位下降的表示方法.

【详解】解:如果水位升高3根时，水位变化记作+3加,那么水位下降4田时,水位变化记作：4”，

故选：C.

【点睛】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示.

2.现阶段新型冠状病毒奥密克戎的最大直径约有0.00000014米.将0.00000014用科学记数法表示为

（）

A.1.4X108B.1.4X107C.0.14X109D.14X10-8

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表现形式为ax10"的形式，其中"为整数，确定〃的值时，要看把原

数变成。时.，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，

〃是正数，当原数绝对值小于1时，”是负数；由此进行求解即可得到答案.

【详解】解:0,00000014=1.4xio-7

故选：B.

【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义.

2

3.分式——有意义的条件是（）

x—3

A.x>3B.x<3C.x#0D.x#3

【答案】D

【解析】

【分析】根据分式的分母不能为0,判断即可；

【详解】解：分式乌有意义的条件是片3#0,即尤#3,

x—3

故选：D.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不能为0是解题关键.

4.下列计算中，正确的是()

A.V2+V3=V5B.272-72=2

C.(20)2=8D.而+&=&

【答案】C

【解析】

【分析】根据二次根式的加减，以及二次根式的乘除法则，逐项判断即可求解.

【详解】解：A、、4和G不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意;

B、2V2-V2=V2＞故本选项不符合题意；

C、修也『=8,故本选项符合题意；

D、囱+夜=2夜+及=2，故本选项不符合题意；

故选：C

【点睛】本题主要考查了二次根式的加减，以及二次根式的乘除法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关

键.

5.如图，在MZVLBC中，ZC=90°,AB=10,BC=6,则sinA的值为（）

4

D.

5

【答案】C

【解析】

【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可.

【详解】解：在RraABC中，ZC=90°,AB=10,BC=6,

,si*63

ABio5

故选：C.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键.

6.如图，AB//CD,AD与8c相交于点O,08=2,0C=5,AB=4,则CQ的长为（）

D

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【解析】

【分析】利用8字模型的相似三角形证明△AOBs^ooc,然后利用相似三角形的性质即可解答.

【详解】解：'JAB//CD,

：.ZA=Z£>,ZB=ZC,

^AOB^/XDOC,

.ABOB

••_____一______f

CDOC

•42

••--f

CD5

：.CD=\0,

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握8字模型的相似三角形是解题的关键.

7.若用一个圆心角为90°,半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为()

A1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

分析】先求出扇形的弧长，然后根据弧长等于圆锥的底面周长计算求解即可.

【详解】解：设圆锥的底面半径为「，

904x4

由题意知，扇形的弧长=-------=2万，

180

Inr=In,

•*-r=1•

故选A.

【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图，扇形的弧长公式.解题的关键在于明确：圆锥侧面展开图的弧长等

于圆锥的底面周长.

8.《九章算术》是我国古代数学名著，记载着这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一

尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正

方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好

到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度为x尺，则可列方程为()

A.JT+52=(x+1)2B.d+1()2=(x+i)2

C.%2-5?=(x-1)2D.必-1()2=(x-1)2

【答案】C

【解析】

【分析】首先设芦苇长X尺，则水深为(X-D尺，根据勾股定理可得方程(X-1)2+52=3.

【详解】解：设芦苇长工尺，由题意得：

（x-1）2+52=X2,

即X2-52=0-1）2

故选：C.

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是读懂题意，从题中抽象出勾股定理这一数学模

型.

9.若关于x的不等式"7X-〃>0的解集为XV2,则关于x的不等式（〃?+〃）-拉的解集是（）

11cl1

A.x<—B.元>—C.xV—D.x>—

3333

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的性质，利用不等式"比一〃>0的解集是x<2得到〃2<o，n=2m,然后把

〃=2相代入不等式+加一〃中求解即可.

【详解】解：•.•不等式如—〃>0的解集是x<2,

/.x<一（〃2<0）,——2,

mm

n=2m,

不等式（m+〃）x>加一〃变形为（m+2〃?）x>m-2m,

即3mx>—m,

*.*m<Q,

-_1

••X<3'

故选C.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式.解题的关键在于熟练掌握不等式的性质.

10.如图，等边△ABC中，48=4,。是BC上一个动点（不与点8,C重合），DE〃A8交AC于点E.设

BD=x,AAOE的面积是y,则y与x的函数图象大致为（）

A

/\E

BC

D

【解析】

【分析】解：分别过点尸,G作AC的垂线交于尸,G,先证明ACDGSACB/，得出空="

CDDG

△A8C为等边三角形，AB=4,利用勾股定理求得B/=20，由％>=x,由相似的性质建立等式求出

£>G=—(4-x),根据y=LoG-AE=』x走(4—x)x,整理得出y=—走(x—2y+G,

22224

0<x<4,即可判断.

【详解】解：分别过点£G作AC的垂线交于居G,

BF±AC,DGLAC,

..BF//DG,

ZCDG=ZCBF,ZCGD=ZCFB,

:.ACDGS^CBF,

CBBF

"~CD~~DG'

•.•△ABC为等边三角形，AB=4,

：.BF=>JAB2-AF2=742-22=2G，

•;BD=x,

/.CD=4—x,

.4_26

"4-x~DG

A

解得：DG=—（4-x）»

2

/.y=—DG-AE=­x^-（4-x）x

222

=¥（4-X）X

=-^（X-2）2+V3.0<X<4,

抛物线开口朝下，对称轴为x=2,

y随X增大，先增大后减小，

故D图象满足，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理、相似三角形的判定及性质、二次函数，解题的关

键是掌握相应的知识点，通过数形结合来求解.

二、填空题（本大题共8小题，11、12每小题3分，13--18每小题3分，共30分.不需写出

解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）

H.因式分解：a2-9=____

【答案】3+3）（。-3）

【解析】

【分析】。2-9可以写成/-32,符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可.

【详解】解：屋一9=（a+3）（a-3）,

故答案：（4+3）（67-3）.

点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键.

12.计•算：-V27+IV3-21-（1）-'=.

【答案】

【解析】

【分析】根据二次根式的性质，绝对值的意义，负整数指数累的运算法则计算求值即可；

【详解】解：原式=-36+2-6-3=-46-1，

故答案为：-48-1，

【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键.

13.如图，在。。中，弦A8的长为8cm,圆心。到A8的垂线段。£长为3cm,则半径04的长为

____cm.

【答案】5

【解析】

【分析】由在。。中，弦AB的长为8c、〃?，圆心。到A8的距离OE=3a〃，根据垂径定理即可求得AE的

长，然后由勾股定理求得答案.

【详解】解：•••在。。中，弦A8的长为8的，圆心。到AB的距离OE=3cw,

AE=；AB-4（cm）,

，OA=ylAE2+OE2=A/42+32=5（cm）«

故答案为：5.

【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理.注意掌握垂径定理的应用是解此题的关键.

14.已知二次函数尸层+历计。（a,b,c是常数，aWO）的y与x的部分对应值如表

X-114

y3-33

当x=2时，函数值为.

【答案】-3

【解析】

【分析】根据表格中的数据可以求得二次函数的解析式，再将户2代入求y的值即可;

【详解】解：由题意，把（-1,3）、（1,-3）、（4,3）、代入y=42+/zr+c得，

a-b+c-3

<a+b+c=-3,

16a+4Z?+c=3

a=1

解得：-b--3,

c=-1

.••此二次函数关系式为：y=f—3x—1,

当x=2时，y=22-3x2-l=-3,

故答案为：-3.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及给出自变量的值求函数值，求出二次函数的解析

式是解决问题的关键.

15.如图，为了测量一栋楼的高度，王青同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子里

看到楼的顶部，如果王青身高1.55m,她估计自己眼睛距地面1.50m.同时量得LW=30cm,MS=2m,则

【解析】

【分析】如图，根据镜面反射的性质，AKLM^ATSM,再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.

【详解】解：如图,

□□□□-

□□□□、

□□□

□□

□□

□□

□-

□口□

□

□口

□□口

□□□

□□口

□□

□□□□

□□口

□□

□

a口

根据题意，KL=1.5m,LM=0.3m,

-.-ZKLM=ZTSM=90°,ZKML=ZTMS（反射角等于入射角）,

.-.AKLM^ATSM,

KLLM即工交

~TS~~SM0.32

.-.rs=io（m）

所以这栋大楼高为10m.

故答案为10

【点睛】本题考查了相似三角形的应用.应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形

对应边成比例即可解答.

16.若方程如2+6^+3=0有两个不相等的实数根，则实数机的取值范围为.

【答案】，"<3且mWO##"层0且/n<3

【解析】

【分析】利用一元二次方程根的判别式计算求值即可；

【详解】解：若方程后+6x+3=0有两个不相等的实数根，

则A=36-，*<3,

故答案为：，"<3且,"WO；

【点睛】本题考查了一元二次方程加+法+c（a#0）根的判别式△=/A4“C：△>（）时方程有两个不等的实

数根：△=（）时方程有两个相等的实数根；△<（）时方程没有实数根.

17.如图，在平面直角坐标系尤0），中，直线y=x+4与反比例函数y=&（20）的图象相交于点AB,若

NA08=120°,则％的值为

【答案】8

【解析】

【分析】运用直线与反比例函数的解析式表达A,8两点的坐标，从而证得OA=OB,再根据图象的几何性

质求得k值.

【详解】解：设直线AB与x轴交于点C,与y轴交于点。，过。作于E,

对于直线y=x+4,令y=0,得C（-4,0）,

令1=0,得0(0,4),则CO=OD=4,

故△CO。是等腰直角三角形,

•・•OE_LABf

，OE=—OD=2y[l,

2

联立直线y=x+4与反比例函数y=-的解析式，得,

x

iy=x+4

\k整理得,x?+4x—%=0，

\y=-

1X

故/+4=-4,

设与=。，则A(a,a+4),6(-4-a,-a),

:04=也2+(<+4)2,。8=业+"+4)2,

OA=OS,

VZAOB=\20°,OA=OB,

：.ZABO=30°,

・.・OE.LABf

：.ZOEB=90°,

,：0E=2梃,ZABO=30°,

0B=20E=A6>

•/OB=荷+(4+4)2,

/.加+"+4)2=472,解得a=-2±2y/3»

,:a<0,

•••a=-2-26,即B（-2+2疯2+26）

在反比例函数y=与图象上，

X

Z=（2+26）?（226）=8,

故％值为8.

答案为：8.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，通过数形结合的方法分析函数图象的特征点，是

解题的关键.

18.如图，等边△0A8中08=3,将同一平面内边长为2的等边△08绕点。旋转一周的过程中，点8

到直线CD的距离最大值为

D

0A

ZY

A£-----------------

【答案】3+百##6+3

【解析】

【分析】如图1,OG_LC。于G,。。的半径为OG,OB的半径为08+0G,利用直线与圆相交时，圆心

到直线的距离小于半径，便可解答；

【详解】解：如图1,OGJ_C£＞于G,。。的半径为0G,。8的半径为08+0G,

OGLCD,△OCD是等边三角形，OC=2,则CG=goC=l,由勾股定理可得0G=6，

当边CD绕。点旋转时，C。的中点G在。。上运动，当G点不在BO延长线上，则CD所在直线必定与

。8相交，即8点到直线CO的距离小于。B的半径；当点G在8。延长线上时，CO所在直线与相

切，此时B点到直线CD的距离等于。8的半径；

点B到直线CD的最大距离为O8+OG=3+V3，

故答案为：3+6；

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，旋转的特征等知识；掌握直线

与圆相交的性质是解题关键.

三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤）

19.

(1)计算[x(x2y2-xy)-y(3-x3>)]-rx2y；

2x-5<3x,

(2)解不等式组：\x-2x

----->—

I23

【答案】(1)2xy-2

(2)x>6

【解析】

【分析】(1)根据整式乘除运算法则进行计算即可.

(2)分别求解两个不等式，根据不等式组解集的求法即可求得结果.

【小问1详解】

解：原式=(dy2-_y%2+%3y2)?尤2丁

=^2x3y2-2x2yj?x2y

=2xy-2

【小问2详解】

|2x-5V3您

不等式①解得，x>-5,

不等式②解得，x>6,

故不等式组的解集为：x>6

【点睛】本题考查了整式乘除混合运算以及一元一次不等式组的解法，正确计算是解题的关键.

20.如图，平行四边形A8CD的对角线AC,相交于点O,且AB=5,AO=4,30=3.

(1)求证：平行四边形A8C£>是菱形；

(2)求点C到AB边的距离.

24

【答案】(1)见解析(2)不

【解析】

【分析】(1)根据已知数据，先求证△ABO是RA,即进而根据菱形的判定定理即可得证；

(2)过。作OELAB于E,由可求。E的值，再根据三角形的中位线可求点C到AB边的

距离.

【小问1详解】

证明：・.乂8=5,A0=4,B0=3,

"2=52=25，AO2+BO2=42+^=25，

AB2=AO2+BO2，

:.AABO是Rt4,

ZAOB=90°,

即AC1BD,

•：四边形ABCD是平行四边形，

...四边形ABC。是菱形.

【小问2详解】

解：过C作CAB交AB的延长线于凡过。作。48于E,如图,

VAA0E+ZBOE=N40E+ZOAE=90。,

ZOAE=ZBOE,

■：NAEO=NBEO=90。,

：.△AOEsXBOE,

,A0__0E__AE_

''~0B~~BE~~0E'

4OE5-BE

即H一=——=-----,

3BEOE

解得。£=5，

'JOEVAB,CF1AB,

J.OE//CF,

•••。是AC的中点，

24

:.CF=20E=——，

5

24

即C到AB的距离是二.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，菱形的判定定理，相似三角形的判定与性质，利用勾股定理证得

△ABO为/?/△是解题的关键.

21.受新冠疫情的影响，某区决定所有中小学暂停线下教学，改为线上教学.该区教研室为了解线上“课

堂有效提问”的现状，从全区所有线上课堂教学中随机抽取了40节课，它们的课堂有效提问的次数分别

为：

4,5,5,5,12,13,14,14,1,2,

18,20,19,24,3,4,4,6,10,10,

10,10,II,14,6,7,7,8；15,16,

8,8,9,9,10,10,10,9,14,14,

(1)根据上述数据完成下表:

次数X0«55«1010«1515WxV2020W元V25

节数6—15—2

(2)估计全区课堂有效提问的次数在10WXV20范围的节数占总节数的百分之几？

(3)若教研室对线上“课堂有效提问”的次数作出规定，你认为规定次数定为多少时比较合理？并说明

理由.

【答案】(1)见解析；

(2)47.5%；(3)10次，理由见解析；

【解析】

【分析】(1)统计满足次数的数据补全列表即可；

(2)计算样本中次数在10<x<20范围的节数与总节数的比即可；

(3)计算平均数，众数和中位数判断即可；

【小问1详解】

解：根据给定数据补全列表如下：

次数X0«55«1010«1515«2020«25

节数613_154_____2

【小问2详解】解：样本中次数在10Wx<20范围的节数占总节数的百分比为：

(15+4)^40xl00%=47.5%,

估计全区课堂有效提问的次数在10WXV20范围的节数占总节数的47.5%；

【小问3详解】

解：经计算该组数据的平均数为398+40=9.95次，

由调查数据可知：10出现的次数最多，该组数据的众数为10次，

由列表数据可得：数据整理后第20个和21个数据都为10,(10+10)-2=10,该组数据的中位数为10次,

•.•平均数、中位数和众数都反应出提问次数在10次，

规定次数定为10次时比较合理，

【点睛】本题考查了数据整理，由样本估计总体，平均数、众数和中位数的计算；掌握相关概念的计算

方法是解题关键.

22.不透明袋子中装有红球、黄球、绿球各一个，除颜色外无其它差别.

（1）随机摸出一个小球是红球的概率为；

（2）随机摸出一个小球后，放回并搅匀，再随机摸出一个小球，求摸到一个黄球、一个绿球的概率.

【答案】（1）-

3

⑵羡

【解析】

【分析】（1）根据袋子中总的球数是3个，随机摸出一个小球，由概率公式即可求出摸出一个小球是红球

的概率；

（2）列表，先确定出袋子中总随机摸出两个小球可能会出现的9个等可能的结果，其中摸到一个黄球、

一个绿球的结果是2个，利用概率公式求解.

【小问1详解】

解：因为不透明袋子中装有红球、黄球、绿球各一个共3个球，

所以随机摸出一个小球是红球的概率为2.

3

故答案为：--

3

【小问2详解】

解：红色小球用数字1表示，黄色小球用数学2表示，绿色小球用数字3表示，列表如下：

123

1(1.1)(2,1)(3,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)

3(1.3)(2,3)(3,3)

由上表可知，从袋子总随机摸出两个小球可能会出现9个等可能的结果，其中摸到一个黄球，一个绿球的

结果有2个，

...摸到一个黄球、一个绿球的概率为1.

【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出

所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=

所求情况数与总情况数之比.

23.如图，48为。。的直径，C为。。上一点，过点C作。。的切线交BA的延长线于点。，ZABC=

30°.

(1)求NBOC的度数；

(2)作/BDC的平分线分别交AC、BC于点E、F,。0的半径为4,求CF的长.

【答案】⑴30°⑵3-6

【解析】

【分析】(1)首先根据圆周角定理可得NACB=90。，可得NB4c=60。，再根据弦切角定理及三角形外角的

性质，即可求得；

(2)首先根据直角三角形的性质及勾股定理，可求得AC、8c的长，可证得可得

竺=百，再根据角平分线的定义及三角形外角的性质，可证得CE=CF,可证得△BDFs^CDE,据

CD

此即可求得.

【小问1详解】

解：:AB为。。的直径

ZACB^90°

ZBAC=900-ZABC=90°-30°=60°

••,C。是。O的切线

ZACD^ZABC=30°

/BDC=/BAC-ZACD=60°-3O°=3O°

【小问2详解】

解：•.•AB=4，ZACB=9Q°,ZABC=30°

AC=gA6=2，BC=dAB。-ACfU-2?=2百

•;/DBC=NDCA,/BDC=/CDA

:ABDCSACDA

生=些=空域

CACD2

••,D尸是N8OC的平分线

/BDF=/CDE

;ZCFE=ZABC+ZBDF,ZCEF=ZACD+ZCDE

NCFE=NCEF

:.CF=CE

ZDBF=ZDCE,ZBDF^ZCDE

:.△BDFsMDE

CDCE

得生工后捶-竺=6

CFCF

解得CE=3-百

【点睛】本题考查了弦切角定理，三角形外角的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，相似

三角形的判定与性质，结合题意和图形准确找到相关角的关系是解决本题的关键.

24.某网店打出促销广告：最潮新款球鞋20双，每双售价240元.若一次性购买不超过10双时，售价不

变；若一次性购买超过10双时，每多买1双，则购买的所有球鞋的售价均降低10元.已知该球鞋进价是

每双120元，设某顾客一次性购买该款球鞋X双时，该网店获利y元.

(1)求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)当顾客一次性购买多少双时，该网店从中获利最多？

(120^,0<x<10

【答案】(1)v=<、

■(-10^2+220X,10<X<20

(2)当顾客一次性购买11双时，该网店从中获利最多

【解析】

【分析】(1)根据题意，可以写出丫与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)根据题意和(1)中的结果，可以得到两种情况下获得的最大利润，然后比较大小，即可解答本题.

【小问1详解】

解：由题意可得，

当噫/10时，y=(240-120)x=120x,

当0<XW20时，y=[240-120-10(x-l0)]x=-10x2+220x,

120^,0<x<10

由上可得,y与x的函数关系式为y=<

-10%2+220X,10<%<20

【小问2详解】

解：・••当噫/10时，y=120x,

当x=10时，取得最大值1200,

•.•当10<%,20时，y=-10/+220x=-10(x-11)?+1210,

，当x=ii时，y取得最大值1210,

V1200<1210,

・・・当x=ll时，该鞋店获利最多，

答：当顾客一次性购买II双时，该网店从中获利最多.

【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

25.如图，ZUBC中，NAC8=90。，AC=BC=4,点。为BC边上一点（与8,C不重合），连接40,过

点C作CE_LA。交AB于点E,设CD=a,

备用图

（1）求证：ZCAD=ZBCE；

4

（2）当。=一时，求BE的长；

3

An

（3）探究二的值（用含。的代数式表示）.

CE

【答案】（1）证明见解析；

⑵及；

【解析】

【分析】（1）设AO、CE交于点F,根据同角的余角相等即可证明；

（2）过E作E〃_LBC于H,则aHEB是等腰直角三角形，设EH=x,则CH=4-x,由△ECHS4D4c根据

对应边成比例列方程求解即可解答；

（3）根据（2）的解答由△ECHS^DAC对应边成比例，求得相似比即可解答；

【小问1详解】

解：如图，设AO、CE交于点F,

：△AC。是直角三角形,

・・・NC4O+NCD4=90。，

VCE1AD,

，/?/△CDF中，ZCDF+ZDCF=90°,

ZCDF=ZCDA,

：.ZCAD^ZBCE；

【小问2详解】

解：如图，设A。、CE交于点、F,过E作EH_L8C于”,

•••△ABC是等腰直角三角形，

/.ZB=45°,

'JEHLBC,

是等腰直角三角形，

：.EH=BH,

设EH=x,则CH=4-