高二数学寒假讲义练习（新人教A专用）第13讲 二项式定理（学生卷）

第13讲二项式定理【【考点目录】【【知识梳理】知识点1二项式定理概念公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做二项式定理.二项式系数各项的系数Ceq\o\al(k,n)(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数.通项Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－k·bk(k＝0，1，2，…，n).二项展开式Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式.知识点2二项式系数的性质二项式系数是一组仅与二项式的幂指数n有关的n＋1个组合数，与a，b无关.其性质如下：(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)__得到.直线r＝eq\f(n,2)将函数f(r)＝Ceq\o\al(r,n)的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.(2)增减性与最大值：当k<eq\f(n＋1,2)时，Ceq\o\al(k,n)随k的增加而增大；当k>eq\f(n＋1,2)时，Ceq\o\al(k,n)随k的增加而减少.如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项，即Teq\f(n,2)＋1的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项T与Teq\f(n＋1,2)＋1的二项式系数相等且最大.(3)各二项式系数的和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.知识点3杨辉三角杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表(如下)，是我国数学史上一个伟大成就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论.(1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1，2，3，4，…，第三层(含1，3)是三角形数列1，3，6，10，15，….(2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(n－r,n).(3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r－1,n－1)＋Ceq\o\al(r,n－1).(4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋….(5)第n行所有数的和为2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数.知识点4赋值法求和①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法.对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f（1）＋f（－1）,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f（1）－f（－1）,2).【【考点剖析】考点一展开式的特定项（一）二项展开式1．（2023秋·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）在二项展开式中，常数项是_______.2．（2023秋·山东临沂·高二统考期末）二项式展开式中的常数项为（

）A． B． C．40 D．803．（2023秋·广东东莞·高二校联考期中）若的二项展开式共有8项，则n=___________.4．（2023秋·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的第3项为（

）A． B． C． D．5．（2023·高二课时练习）已知二项式，求展开式中的：(1)第6项；(2)第3项的系数；(3)含的项；(4)常数项．6．（2023·高二单元测试）若展开式中含有常数项，则的最小值是______．（二）两个多项式积的展开式7．（2023春·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．8．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知的展开式中的系数为10，则实数a的值为（

）A． B． C． D．29．（2023秋·湖南·高二校联考期末）的展开式中的常数项为（

）A．40 B．60 C．80 D．12010．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期中），则_________.11．（2023秋·黑龙江佳木斯·高二校联考期末）的展开式中项的系数为（）A． B． C．80 D．200（三）三项展开式12．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）的展开式中，共有多少项？（

）A．45 B．36 C．28 D．2113．（2023·高二课时练习）的展开式中，的系数是（

）A．120 B．-120 C．60 D．3014．（2023秋·广东佛山·高二校考阶段练习）在的展开式中，含项的系数为（

）A．21 B．15 C．9 D．-615．（2023·高二课时练习）在的展开式中的系数为________．16．（2023秋·山东济宁·高二邹城市第二中学校考阶段练习）在的展开式中，含项的系数为（

）A． B．480 C． D．24017．（2023秋·江苏·高二校联考阶段练习）展开式中的系数是___________.18．（2023秋·辽宁朝阳·高二建平县实验中学校考期中）的展开式中各项系数之和为______；展开式中含项的系数为______．（用数字作答）19．（2023·高二课时练习）的展开式的所有项的系数和为243，则展开式中的系数为______.考点二二项式系数的性质与各项的和（一）二项式系数和与系数和20．（2023·高二课时练习）如果，则______.21．（2023·高二课时练习）已知，则等于（）A． B． C． D．22．（2023秋·江苏扬州·高二扬州市江都区丁沟中学校考期末）若二项式的展开式中所有项的系数和为1024，则展开式中的常数项为（

）A．25 B． C．15 D．23．（2023秋·湖南长沙·高二统考期末）已知．（1）求的值；（2）求的值．24．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期末）已知．求：(1)；(2)；(3)．25．（2023秋·广东江门·高二校联考期中）已知，则（

）A．224 B． C． D．44826．（2023秋·河北沧州·高二沧县中学校考阶段练习）已知.(1)求的值；(2)求的值.27．【多选】（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）若，则下列选项正确的是（

）A．B．C．D．28．【多选】（2023秋·重庆万州·高二校考阶段练习）若，则正确的是（

）A．B．C．D．29．【多选】（2023秋·广东佛山·高二校考阶段练习）已知展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992，则下列结论正确的为（

）A．展开式中偶数项的二项式系数之和为16B．展开式中二项式系数最大的项只有第三项C．展开式中没有常数项D．展开式有理项为第四项、第六项30．（2023·高二课时练习）已知，下列命题中，不正确的是（

）A．展开式中所有项的二项式系数的和为B．展开式中所有奇次项系数的和为C．展开式中所有偶次项系数的和为D．（二）二项式系数的最值问题31．（2023秋·浙江温州·高二温州中学校联考期末）在二项式的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中的第项系数为（

）A． B． C． D．32．（2023·高二课时练习）已知在二项式的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展开式中，有理项的项数是（

）A．1 B．2 C．3 D．433．（2023秋·全国·高二专题练习）已知的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．求展开式中二项式系数最大的项．34．（2023秋·广东深圳·高二校考期中）已知的展开式的二项式系数和为64(1)求n的值；(2)求展开式中二项式系数最大的项．35．（2023春·湖南长沙·高二湘府中学校考阶段练习）若二项式展开式中所有项的系数的绝对值之和为，则展开式中二项式系数最大的项为______．考点三整除和余数问题36．（2023秋·山东·高二校联考阶段练习）若n是正整数，则除以9的余数是____________.37．（2023秋·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）设为奇数，那么除以13的余数是（

）A． B．2 C．10 D．1138．（2023·高二单元测试）已知．求证：当为偶数时，能被64整除．【【过关检测】一、单选题1．（2023秋·广东广州·高二统考期末）已知二项式展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（

）A． B． C．15 D．202．（2023秋·吉林·高二校联考期末）在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（

）A．16 B．32 C．1 D．3．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）若，则（

）A． B． C． D．二、多选题4．（2023春·江苏宿迁·高二沭阳如东中学校考期末）对任意实数x，有则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．5．（2023秋·云南曲靖·高二校考期末）若，则（

）A．B．C．展开式中的各项系数之和为0D．展开式中所有项的二项式系数之和为6．（2023秋·山东泰安·高二统考期末）已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．三、填空题7．（2023秋·上海黄浦·高二上海