高考数学 等差数列课后作业 文 新人教A版

课后作业(三十)等差数列一、选择题1．(2012·福建高考)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}中的公差为()A．1B．2C．3D．42．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝()A．8B．7C．6D．53．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8D．94．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．275．(2012·浙江高考)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()A．若d<0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d<0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列6．(2013·济南模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2012，其前n项和为Sn，若eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，则S2012的值等于()A．－2011B．－2012C．－2010D．－2013二、填空题7．(2012·江西高考)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________．8．等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.9．(2012·安徽示范高中联考)在数列{an}中，若aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝p(n≥2，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：①若{an}是等方差数列，则{aeq\o\al(2,n)}是等差数列；②已知数列{an}是等方差数列，则数列{aeq\o\al(2,n)}是等方差数列；③{(－1)n}是等方差数列；④若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列；⑤若数列{bn}是公差为m的等差数列，则“m＝0”是“数列{bn}是等方差数列”的充分必要条件．其中正确命题的序号为________．三、解答题10．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．11．(2013·西安模拟)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求通项an；(2)若数列{bn}满足bn＝eq\f(Sn,n＋c)，是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．12．(2013·临沂模拟)在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．(1)证明数列{eq\f(1,an)}是等差数列；(2)求数列{an}的通项；(3)若λan＋eq\f(1,an＋1)≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．解析及答案一、选择题1．【解析】法一利用基本量法求解．设等差数列{an}的公差为d，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＋4d＝10，,a1＋3d＝7，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝2.))∴d＝2.法二利用等差数列的性质求解．∵在等差数列{an}中，a1＋a5＝2a3＝10，∴a3又a4＝7，∴公差d＝7－5＝2.【答案】B2．【解析】∵数列{an}是等差数列，a1＝1，d＝2.∴an＝2n－1，又Sk＋2－Sk＝24，∴ak＋2＋ak＋1＝2(k＋2)＋2(k＋1)－2＝4k＋4＝24，∴k＝5.【答案】D3．【解析】设{an}的公差为d，∵a1＋a9＝a4＋a6＝－6，且a1＝－11，∴a9＝5，从而d＝2.所以Sn＝－11n＋n(n－1)＝n2－12n，∴当n＝6时，Sn取最小值．【答案】A4．【解析】∵S3、S6－S3，S9－S6成等差数列，且S3＝9，S6＝36，S6－S3＝27，∴a7＋a8＋a9＝S3＋18×2＝45.【答案】B5．【解析】设{an}的首项为a1，则Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d＝eq\f(d,2)n2＋(a1－eq\f(d,2))n.由二次函数性质知Sn有最大值时，则d<0，故A、B正确；因为{Sn}为递增数列，则d>0，不妨设a1＝－1，d＝2，显然{Sn}是递增数列，但S1＝－1<0，故C错误；对任意n∈N*，Sn均大于0时，a1>0，d>0，{Sn}必是递增数列，D正确．【答案】C6．【解析】∵Sn＝An2＋Bn知eq\f(Sn,n)＝An＋B，∴数列{eq\f(Sn,n)}是首项为eq\f(S1,1)＝－2012的等差数列，又eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，∴{eq\f(Sn,n)}的公差为1，∴eq\f(S2012,2012)＝－2012＋(2012－1)×1＝－1，S2012＝－2012.【答案】B二、填空题7．【解析】设两等差数列组成的和数列为{cn}，由题意知新数列仍为等差数列且c1＝7，c3＝21，则c5＝2c3－c1＝2×21－7＝【答案】358．等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________.【解析】∵6S5－5S3＝5，∴6(5a1＋10d)－5(3a1＋3∴a1＋3d＝eq\f(1,3)，即a4＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)9．【解析】对于①，由等方差数列的定义可知，{aeq\o\al(2,n)}是公差为p的等差数列，故①正确．对于②，取an＝eq\r(n)，则数列{an}是等方差数列，但数列{aeq\o\al(2,n)}不是等方差数列，故②错．对于③，因为[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0(n≥2，n∈N*)为常数，所以{(－1)n}是等方差数列，故③正确．对于④，若aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n－1)＝p(n≥2，n∈N*)，则aeq\o\al(2,kn)－aeq\o\al(2,k（n－1）)＝(aeq\o\al(2,kn)－aeq\o\al(2,kn－1))＋(aeq\o\al(2,kn－1)－aeq\o\al(2,kn－2))＋…＋(aeq\o\al(2,kn－k＋1)－aeq\o\al(2,k（n－1）))＝kp为常数，故④正确．对于⑤，一方面，由数列{bn}是公差为m的等差数列及m＝0得bn＝b1，beq\o\al(2,n＋1)－beq\o\al(2,n)＝0，所以数列{bn}是等方差数列；另一方面，由数列{bn}是公差为m的等差数列及数列{bn}是等方差数列得beq\o\al(2,n＋1)－beq\o\al(2,n)＝(b1＋nm)2－[b1＋(n－1)·m]2＝2b1m＋(2n－1)m2＝d(d为常数)，对任意的n∈N*都成立，令n＝1与n＝2，分别得2b1m＋m2＝d，2b1m＋3m2＝d，两式相减得m＝0.综上所述，“m＝0”是“数列{bn}是等方差数列”的充分必要条件，故⑤正确．【答案】①③④⑤三、解答题10．【解】(1)由题意知S6＝eq\f(－15,S5)＝－3，a6＝S6－S5＝－8.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5a1＋10d＝5，,a1＋5d＝－8.))解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)∵S5S6＋15＝0，∴(5a1＋10d)(6a1＋15即2aeq\o\al(2,1)＋9da1＋10d2＋1＝0.由于关于a1的一元二次方程有解，所以Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0，解得d≤－2eq\r(2)或d≥2eq\r(2).11．【解】(1)由等差数列的性质，得a2＋a5＝a3＋a4＝22，∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的根，且a4＞a3，∴a3＝9且a4＝13，从而a1＝1，公差d＝4，故通项an＝1＋4(n－1)＝4n－3.(2)由(1)知Sn＝eq\f(n（1＋4n－3）,2)＝2n2－n，所以bn＝eq\f(Sn,n＋c)＝eq\f(2n2－n,n＋c).法一所以b1＝eq\f(1,1＋c)，b2＝eq\f(6,2＋c)，b3＝eq\f(15,3＋c)(c≠0)．令2b2＝b1＋b3，解得c＝－eq\f(1,2).当c＝－eq\f(1,2)时，bn＝eq\f(2n2－n,n－\f(1,2))＝2n，当n≥2时，bn－bn－1＝2.故当c＝－eq\f(1,2)时，数列{bn}为等差数列．法二当n≥2时，bn－bn－1＝eq\f(2n2－n,n＋c)－eq\f(2（n－1）2－（n－1）,n－1＋c)＝eq\f(2n2＋（4c－2）n－3c,n2＋（2c－1）n＋c（c－1）)，欲使{bn}为等差数列，只需4c－2＝2(2c－1)且－3c＝2c(c－1)(c≠0)，解得c＝－eq\f(1,2)故当c＝－eq\f(1,2)时，数列{bn}为等差数列．12．【解】(1)证明由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)得，eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝3(n≥2)，∴数列{eq\f(1,an)}是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得，eq\f(1,an)＝1＋3(n－1)＝3n－2.∴an＝eq\f(1,3n－2).(3)λan＋eq\f(1,an＋1)≥λ对n≥2的整数恒成立，即eq\f(λ,3n－2)＋3n＋1≥λ对n≥2(n∈N*)恒成立．整理得λ≤eq\f(（3n＋1