绵阳市人教版-初三数学-竞赛专题：平行线分线段成比例(含答案)

人教版初三数学竞赛专题：平行线分线段成比例（含答案）【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝，BC＝，E，F分别是AD，BC的中点，且AF交BE于P，CE交DF于Q，则PQ的长为＿＿＿＿．【例2】如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，M是AC的中点，BM交AD，AE于G，H，则BG︰GH：HM等于（）A．3︰2︰1 B．4︰2︰1 C．5︰4︰3 D．5︰3︰2【例3】如图，□ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作一直线分别交BA，BC的延长线于Q，R，交CD，AD于S，T．求证：PQ•PT＝PR•PS．【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．（1）如图1，如果P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB＝PE＋PF；（2）如图2，如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．图图2图1【例5】如图，已知AB∥CD，AD∥CE，F，G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB，AD，CD，CE于点M，N，P，Q．求证：MN＋PQ＝2PN．【例6】已知：△ABC是任意三角形．（1）如图1，点M，P，N分别是边AB，BC，CA的中点，求证：∠MPN＝∠A；（2）如图2，点M，N分别在边AB，AC上，且＝，＝，点P1，P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N＋∠MP2N＝∠A是否正确？请说明你的理由；图图1图2图3能力训练A级1．设K＝＝＝，则K＝＿＿＿＿．2．如图，AD∥EF∥BC，AD＝15，BC＝21，2AE＝EB，则EF＝＿＿＿＿．第第2题第3题第4题第5题3．如图，在△ABC中，AM与BN相交于D，BM＝3MC，AD＝DM，则BD︰DN＝＿＿＿＿．4．如图，ABCD是正方形，E，F是AB，BC的中点，连结EC交DB，交DF于G，H，则EG︰GH︰HC＝＿＿＿＿．5．如图，在正△ABC的边BC，CA上分别有点E，F，且满足BE＝CF＝，EC＝FA＝（＞），当BF平分AE时，则的值为（）A． B． C． D．6．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且AF︰FD＝1︰5，连结CF并延长交AB于E，则AE︰EB等于（）A．1︰10 B．1︰9 C．1︰8 D．1︰7第第6题第7题第8题7．如图，PQ∥AB，PQ＝6，BP＝4，AB＝8，则PC等于（）A．4 B．8 C．12 D．16

8．如图，EF∥BC，FD∥AB，BD＝BC，则BE︰EA等于（）A．3︰5 B．2︰5 C．2︰3 D．3︰29．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）第第9题第10题第11题10．如图，已知在□ABCD中，E为AB边的中点，AF＝FD，FE与AC相交于G．求证：AG＝AC．11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD．（1）求证：OE＝OF；（2）求＋的值；（3）求证：＋＝．12．如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上的一点，CE的延长线与BC的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，MB与AD交于点N．求证：∠AFN＝∠DME．B级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB，CD，它们相距15cm，分别自两杆上高出地面4m，6m的A，C处，向两侧地面上的E，D和B，F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为＿＿＿＿m．第第2题第3题第1题2．如图，□ABCD的对角线交于O点，过O任作一直线与CD，BC的延长线分别交于F，E点．设BC＝，CD＝，CF＝，则CE＝＿＿＿＿．3．如图，D，F分别是△ABC边AB，AC上的点，且AD︰DB＝CF︰FA＝2︰3，连结DF交BC边的延长线于点E，那么EF︰FD＝＿＿＿＿．4．如图，设AF＝10，FB＝12，BD＝14，DC＝6，CE＝9，EA＝7，且KL∥DF，LM∥FE，MN∥ED，则EF︰FD＝＿＿＿＿．第第5题第4题第6题5．如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，CD＝80，那么EF的值是（）A．10 B．12 C．16 D．186．如图，CE，CF分别平分∠ACB，∠ACD，AE∥CF，AF∥CE，直线EF分别交AB，AC于点M，N．若BC＝，AC＝，AB＝，且＞＞，则EM的长为（）A． B． C． D．7．如图，在□ABCD的边AD延长线上取一点F，BF分别交AC与CD于E，G．若EF＝32，GF＝24，则BE等于（）A．4 B．8 C．10 D．12 E．168．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3CD，E是对角线AC的中点，直线BE交AD于点F，则AF︰FD的值是（）A．2 B． C． D．1第第7题第8题第9题9．如图，P是梯形ABCD的中位线MN所在直线上的任意一点，直线AP，BP分别交直线CD于E，F．求证：＝．10．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于O，直线平行于BD且与AB，DC，BC，AD及AC的延长线分别交于点M，N，R，S和P．求证：PM·PN＝PR·PS．第第11题第10题11．如图，AB⊥BC，CD⊥BC，B，D是垂足，AD和BC交于E，EF⊥BD于F．我们可以证明：＝成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB∥CD∥EF，那么，（1）＝还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC的关系式，并给出证明．12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过D点的直线PQ交边AC于点P，交边AB的延长线于点Q．（1）如图1，当PQ⊥AC时，求证：＝；（2）如图2，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；（3）如图3，若∠BAC＝60°，其它条件不变，且＝，则＝＿＿＿＿（直接写出结果）图图1图2图3参考答案例1提示：由,推得PQ∥AD。例2D例3提示：例4（1）略（2）结论仍然成立提示：.例5延长BA，EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形，不妨设QP=a，MN=b，PG=x,GN=y.∵F是AC的中点，∴DF的延长线必过O点，且.∵AB∥CD，∴，即，，∵AD∥CE，∴，即，，由①②可得，即例6（1）∵点M，P，N分别是AB，BC，CA的中点，∴线段MP，PN是△ABC的中位线，∴MP∥AN，PN∥AM，∴四边形AMPN是平行四边形，∴∠MPN=∠A。（2）∠MP1N+∠MP2N=∠A正确.如图所示，连接MN，∵，∴△AMN∽△ABC，∴∠AMN=∠B，，∴MN∥BC，，又∵点P1,P2是边BC的三等分点，∴MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，MN与P2C平行且相等，∴四边形MBP1N，MP1P2N,MP2CN都是平行四边形，∴MB∥NP1,MP1∥NP2,MP2∥AC,∴∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A。（3）∠A.A级1.-2或12.173.7：14.5：4：65.C6.A7.C8.C9.略10.提示：延长FE交CB的延长线于H，易证△AEF≌△BEH，.11.（1）略（2）1（3）提示：,EF=2OE。12.延长 BF和CM交于点P，延长ME和BC交于点Q。∵ME∥BA，∴，∴,∵AD∥BC，∴，∴，得FN∥PM，故∠AFN=∠P=∠DME.B级1．2．提示：延长FO交AB于G，则△OAG≌△OCF