适用于新教材2023版高中数学单元素养检测二第七章随机变量及其分布新人教A版选择性必修第三册

PAGE单元素养检测(二)(第七章)(90分钟120分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2022·扬州高二检测)已知P(B|A)=12,P(AB)=15,则P(A)= (A.25 B.35 C.14 【解析】选A.由题意可知P(A)=P(AB)P(2.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),且P(X>0)=0.9,则P(2<X<4)= ()A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6【解析】选C.随机变量X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),且P(X>0)=0.9,P(2<X<4)=P(0<X<2)=P(X>0)-P(X>2)=0.4.3.若随机变量X~B6,23,则D(2X+1)=A.43 B.163 C.173 【解析】选B.因为X~B6,故可得D(X)=6×23×13=故D(2X+1)=4D(X)=1634.(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为 ()A.13 B.25 C.23 【解析】选C.把位置依次标为1到6.总数:先排2个0,有C62=15种,再排4个1,有一种,故共有15种.满足题设的排法:先排4个1,有1种,其间有5个空,选2个空插入有C52=10种.故P=5.某服务性窗口可为顾客办理A,B,C,D四类业务,假设顾客办理业务所需时间相互独立,统计以往数据可得办理A,B,C,D四类业务的平均时间分别是2分钟、3分钟、4分钟、6分钟,频率分别为0.2,0.3,0.4,0.1,办理两项业务之间的间隔时间忽略不计,则工作人员恰好在第7分钟开始办理第三位顾客业务的概率为 ()A.0.25 B.0.16 C.0.34 D.0.09【解析】选A.工作人员恰好在第7分钟开始办理第三位顾客的业务,即在第6分钟末办理完第二位顾客的业务,则工作人员为前两位顾客办理业务的时间都是3分钟,或者一个2分钟、一个4分钟,则所求概率为0.32+C21×0.2×0.4=0.6.(2022·太湖高二检测)有甲、乙两个袋子,甲袋中有2个白球,1个红球,乙袋中有2个红球,1个白球.这6个球手感上不可区别.今从甲袋中任取一球放入乙袋,搅匀后再从乙袋中任取一球,此球是红球的概率为 ()A.712 B.512 C.12 【解析】选A.设A1=“从甲袋放入乙袋的是白球”,A2=“从甲袋放入乙袋的是红球”,B=“从乙袋中任取一球是红球”;P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=12×23+34×17.盒中有5个小球,其中3个白球,2个黑球,从中任取i(i=1,2)个球,在取出的球中,黑球放回,白球涂黑后放回,此时盒中黑球的个数记为Xi(i=1,2),则 ()A.P(X1=2)>P(X2=2),E(X1)>E(X2)B.P(X1=2)<P(X2=2),E(X1)>E(X2)C.P(X1=2)>P(X2=2),E(X1)<E(X2)D.P(X1=2)<P(X2=2),E(X1)<E(X2)【解析】选C.P(X1=2)=C21C51=25,P(X2=2)=C22因为PX1=3=C3所以E(X1)=135因为P(X2=2)=110,PX2=3=C31C21C52=所以E(X2)=165>E(X1)8.甲、乙两人进行飞镖比赛,规定命中6环以下(含6环)得2分,命中7环得4分,命中8环得5分,命中9环得6分,命中10环得10分(两人均会命中),比赛三场,每场两人各投镖一次,累计得分最高者获胜.已知甲命中6环以下(含6环)的概率为13,命中7环的概率为14,命中8环的概率为16,命中9环的概率为16,命中10环的概率为112,乙命中各环对应的概率与甲相同,且甲、乙比赛互不干扰.若第一场比赛甲得2分,乙得4分,第二场比赛甲、乙均得5分,则三场比赛结束时A.83144 B.1116 C.12 【解析】选B.比赛结束,若乙获胜,则第三场比赛乙至多比甲低一分.当乙得2分时,甲得2分,P1=13×13=当乙得4分时,甲可得2分,4分,5分,P2=14×13+当乙得5分时,甲可得2分,4分,5分,6分,P3=16×13+当乙得6分时,甲可得2分,4分,5分,6分,P3=16×13+当乙得10分时,甲可得2分,4分,5分,6分,10分,P4=112×1=1乙获胜的概率为P=P1+P2+P3+P4=1116二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)9.近年来中国进入一个鲜花消费的增长期,某农户贷款承包了一个新型温室鲜花大棚,种植并销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布N(μ,302)和N(280,402),则下列选项正确的是 ()附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827.A.若红玫瑰日销售量范围在(μ-30,280)的概率是0.6827,则红玫瑰日销售量的平均数约为250B.红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C.白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D.白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.34135【解析】选ABD.对于选项A:μ+30=280,μ=250,正确;对于选项BC:利用σ越小越集中,30小于40,B正确,C不正确;对于选项D:P(280<X<320)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827×12=0.34135,正确10.甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体,每个面都是正三角形,甲四个面上分别标有数字1,2,3,4,乙四个面上分别标有数字5,6,7,8,同时抛掷这两个四面体一次,记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”,事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”,事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”,则下列结论正确的是 ()A.P(A)=P(B)=P(C)B.P(BC)=P(AC)=P(AB)C.P(ABC)=1D.P(A)·P(B)·P(C)=1【解析】选ABD.由已知P(A)=24×24+24×24=12,P(B)=P(C由已知有P(AB)=P(A)P(B)=14P(AC)=14,P(BC)=1所以P(A)=P(B)=P(C),则A正确;P(BC)=P(AC)=P(AB),则B正确;事件A,B,C不相互独立,故P(ABC)≠18,即C错误P(A)·P(B)·P(C)=18,则D正确11.若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=14,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是 (A.P(X=1)=E(X) B.E(4X+1)=4C.D(X)=316 D.D(4X【解析】选ABC.因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=14,所以P(X=1)=3E(X)=0×14+1×34=34,所以P(X=1)=E(X),故A正确;E(4X+1)=4E(X)+1=4×34+1=4,故B正确;D(X)=0-342×14+1-342×34=316,故C正确;D(4X+1)=42D(X)=16×312.甲箱中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙箱中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,分别以A1,A2,A3表示由甲箱中取出的是红球,白球和黑球的事件;再从乙箱中随机取出一球,以B表示由乙箱中取出的球是红球的事件,则下列结论正确的是 ()A.P(B)=2B.P(B|A1)=5C.事件B与事件A1相互独立D.A1,A2,A3两两互斥【解析】选BD.因为每次取一球,所以A1,A2,A3是两两互斥的事件,故D正确;因为P(A1)=510,P(A2)=210,P(A3)=所以P(B|A1)=P(BA1)P(A1同理P(B|A2)=P(BA2)P(B|A3)=P(BA3)所以P(B)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)=510×511+210×411+310×411=三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.甲、乙两人被随机分配到A,B,C三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位).记分配到A岗位的人数为随机变量X,则随机变量X的数学期望E(X)=.

【解析】由题意可得X的可能取值有0,1,2,P(X=0)=2×23×3=49,P(X=1)=C21×23则数学期望E(X)=0×49+1×49+2×19答案:214.一个盒子里有2个红球,1个绿球和2个黄球,从盒子中随机取球,每次拿一个,不放回,拿出红球即停,设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量ξ,则E(ξ)=.

【解析】根据题意可知,ξ可取0,1,2,Pξ=0=25+15×1(此时取球情况是:第一次取红球;第一次取绿球,第二次取红球)Pξ=1=25×12+15×12×23+25(此时取球情况是:第一次取黄球,第二次取红球;第一次取绿球,第二次取黄球,第三次取红球;第一次取黄球,第二次取绿球,第三次取红球)P(ξ=2)=1-P(ξ=1)-P(ξ=0)=16故E(ξ)=0×12+1×13+2×16答案:215.(2022·华南师大附中高二检测)在A,B,C三地暴发了流感,这三个地区分别有350,3100,340的人患了流感.假设这三个地区人口数的比为6∶5∶4,现从这三个地区中任选一人,【解析】设D表示这个人患流感,A1,A2,A3表示这个人分别来自A,B,C三地,由已知P(D|A1)=350,P(D|A2)=3100,P(D|A3)=340,P(A1)=615=25,P(A2P(A3)=415,P(D)=P(D|A1)P(A1+P(D|A2)P(A2)+P(D|A3)P(A3)=350×25+3100×13+340×答案:0.05416.某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教.选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为,设X为选出的3名同学中女同学的人数,则X的数学期望为.

【解析】设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)=C31C随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.PX=0=C40PX=1=C41PX=2=C42PX=3=C43所以X的分布列为X0123P1131所以X的数学期望E(X)=0×16+1×12+2×310+3×1答案:4960四、解答题(本大题共4个小题,共40分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类标准得到的数据如表:等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020(1)若将频率视为概率,从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率;(结果用分数表示)(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,X表示抽取的是精品果的数量,求X的分布列及数学期望E(X).【解析】(1)设从100个水果中随机抽取一个,抽到礼品果的事件为A,则P(A)=20100=1现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为X,则X~B4,所以恰好抽到2个礼品果的概率为P(X=2)=C424(2)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个,则其中精品果4个,非精品果6个,现从中抽取3个,则精品果的数量X服从超几何分布,所有可能的取值为0,1,2,3,则P(X=0)=C63CP(X=1)=C62CP(X=2)=C61CP(X=3)=C43C所以X的分布列如表:X0123P1131所以E(X)=0×16+1×12+2×310+3×1【补偿训练】(2022·深圳高二检测)已知甲箱的产品中有2件正品和3件次品,乙箱的产品中有3件正品和2件次品.(1)若从甲箱中取出2件产品,求在2件产品中有一件是正品的条件下,另一件是次品的概率;(2)若从两箱中随机选择一箱,然后从中取出1件产品,求取到一件正品的概率.【解析】(1)设A=两件产品中至少有一件是正品,B=两件产品中有一件是次品,P(B|A)=n(AB)n((2)设C=取到甲箱,D=取到一件正品,P(D)=P(C)P(D|C)+P(C)P(D|C)=12×25+12×318.(10分)(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.0001)【解析】(1)平均年龄x=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9(岁).(2)设A={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)},所以P(A)=1-P(A)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1-0.11=0.89.(3)设B={任选一人年龄位于区间[40,50)},C={任选一人患这种疾病},则由条件概率公式可得P(C|B)=P(BC)P(B)=0.【补偿训练】(2020·江苏高考)甲口袋中装有2个黑球和1个白球,乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复n次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为Xn,恰有2个黑球的概率为pn,恰有1个黑球的概率为qn.(1)求p1,q1和p2,q2;(2)求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示).【解题指南】本题主要考查概率的求法及数学期望的求法.重点考查学生利用所学知识解决实际问题的能力.【解析】(1)p1=13×1=13,q1=23p2=13p1+23×13q1q2=23p1+23×23(2)当n≥2时,pn=13pn-1+23×13qn-1=13pn-1+2qn=23pn-1+23×23+13×13qn-1+23×(1-pn-1所以2pn+qn=13(2pn-1+qn-1)+2则2pn+qn-1=13(2pn-1+qn-1又2p1+q1-1=13所以2pn+qn=1+13所以Xn的分布列如表:Xn012P1-pn-qnqnpn则E(Xn)=qn+2pn=1+1319.(10分)为了普及安全教育,某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人,每人回答一个问题,答对得1分,答错得0分.在竞赛中,甲、乙两个中学代表队相遇,假设甲队每人回答问题正确的概率均为23,乙队每人回答问题正确的概率分别为12,23,3(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率;(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.【解析】(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,记“甲队总得分为1分”为事件B,甲队得3分,即三人都回答正确,其概率为P(A)=23×23×23甲队得1分,即三人中只有1人回答正确,其余两人都答错,其概率为PB=23×1-23×1-23+1-23×23所以甲队总得分为3分与1分的概率分别为827,2(2)记“甲队总得分为2分”为事件C,记“乙队总得分为1分”为事件D,事件C即甲队三人中有2人答对,其余1人答错,则P(C)=23×23×1-23+23×1-23×2事件D即乙队3人中只有1人答对,其余2人答错,则PD=12×1-23×1-34+1-12×23×1-3由题意得事件C与事件D相互独立,所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率P(