适用于新教材2023版高中数学课时素养检测十八列联表与独立性检验新人教A版选择性必修第三册

PAGE十八列联表与独立性检验(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.分类变量X和Y进行独立性检验的零假设为 ()A.H0:分类变量X和Y独立B.H0:分类变量X和Y不独立C.H0:P(Y=1|X=0)≠P(Y=1|X=1)D.H0:分类变量X和Y相关联【解析】选A.在判断两个分类变量之间是否有关联时,需要判断假定关系H0:P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)是否成立,通常称H0为零假设或原假设.零假设H0:分类变量X和Y独立.2.独立性检验中,假设变量X与变量Y没有关系,则在上述假设成立的情况下,算得χ2=6.9,已知P(χ2≥6.635)≈0.01,表示的意义是 ()A.变量X与变量Y有关系的概率为1%B.变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%C.变量X与变量Y没有关系的概率为99%D.变量X与变量Y有关系的概率为99%【解析】选D.根据独立性检验的意义判断即可.【补偿训练】移动支付已经成为现如今流行的电子支付方式,某市通过随机询问100名居民(男、女居民各50名)喜欢移动支付方式甲还是移动支付方式乙,得到如下的2×2列联表:性别支付方式合计支付方式甲支付方式乙男401050女252550合计6535100附表及公式:χ2=n(n=a+b+c+d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828则χ2约为 ()A.9.89 B.8C.0.013 D.0.099【解析】选A.由2×2列联表得到a=40,b=10,c=25,d=25,则代入χ2=n(得χ2=100×(1000-3.某大学为调查毕业学生的就业状况,抽查了100名学生毕业一个月能否就业的情况,得到2×2列联表如下:性别就业合计能就业不能就业男生401050女生302050合计7030100如果该大学认为毕业学生一个月能否找到工作与性别有关,那么犯错误的概率不会超过 ()α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.0.1B.0.05C.0.005D.0.01【解析】选B.由列联表数据可得:χ2=10040×20-10×30250×故犯错误的概率不会超过0.05.4.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算χ2=6.705,则所得到的统计学结论是:有的把握认为“学生性别与支持该活动有关系” ()

α0.1000.0500.0250.0100.001xα2.7063.8415.0246.63510.828A.1% B.0.1% C.99% D.99.9%【解析】选C.因为K2=6.705>6.635,所以有99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”.5.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年在北京举办,为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况进行了一次调查统计,根据独立性检验,处理所得数据之后发现,若依据α=0.001的独立性检验,则认为关注冰雪运动与性别无关;若依据α=0.01的独立性检验,则认为关注冰雪运动与性别有关,则χ2的值可能为 ()α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828A.3.448 B.6.537C.6.677 D.10.934【解析】选C.由题知χ2的范围为[6.635,10.828),因此χ2可能为6.677.6.(多选题)下列说法正确的是 ()A.事件A与B独立,即两个事件互不影响B.事件A与B关系越密切,则χ2就越大C.χ2的大小是判定事件A与B是否相关的唯一根据D.若判定两事件A与B相关,则A发生B一定发生【解析】选AB.由事件的独立性知,A选项正确;由独立性检验的意义知,B选项正确;χ2的大小是判定事件A与B是否相关的一种方法,不是唯一依据,C选项不正确;若事件A与B相关,则A发生B可能发生,也可能不发生,D选项不正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.某医疗机构为了了解肝病与酗酒是否有关,对成年人进行了一次随机抽样调查,调查结果如表:酗酒肝病合计患肝病未患肝病酗酒30170200不酗酒20280300合计50450500从直观上你能得到的结论是,依据最小概率值α=的独立性检验,认为患肝病与酗酒有关.

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【解析】由已知数据可求得χ2=500×(30×280-20×170)所以在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为患肝病与酗酒有关系.答案:患肝病与酗酒有关系0.0058.为了了解高中学生对乡村音乐的态度与性别的关系,现随机抽取50名学生,根据调查数据得到χ2≈4.844,若由此认为“喜欢乡村音乐与性别有关”,则此结论出错的概率不超过.

【解析】因为4.844>3.841=x0.05,所以根据小概率值α=0.05的独立性检验,认为“喜欢乡村音乐与性别有关”,此结论出错的概率不超过0.05.答案:0.05三、解答题(每小题10分,共20分)9.某同学为研究“网络游戏对当代青少年的影响”进行了一次调查,共调查了50名同学,其中男生26人,有8人不喜欢玩电脑游戏,而调查的女生中有9人喜欢玩电脑游戏.根据以上数据建立一个2×2的列联表.【解析】2×2列联表如下:玩电脑游戏性别合计男生女生喜欢18927不喜欢81523合计26245010.为了判断高中二年级学生选读文科是否与性别有关,现随机抽取50名学生,得如下2×2列联表:性别科类合计理科文科男1124女9合计2850完成该2×2列联表,试根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析选读文科与性别是否有关系.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【解析】列联表如下性别科类合计理科文科男131124女91726合计222850根据表中数据,经计算得到:χ2=50×13×17-11×9224根据小概率值α=0.05的独立性检验,没有充分的证据推断H0不成立,因此认为选读文科与性别无关.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.针对当下的“运动热潮”,某校团委对“学生性别和喜欢运动是否有关”作了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢运动的人数占男生人数的45,女生喜欢运动的人数占女生人数的35,若认为喜欢运动和性别有关犯错误的概率不大于0.05,则调查人数中男生可能有人 (α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828附:χ2=nadA.25或45 B.45C.45或60 D.75或60【解析】选C.设男生的人数为5nn∈根据题意列出2×2列联表如表所示:运动性别合计男生女生喜欢运动4n3n7n不喜欢运动n2n3n合计5n5n10n则χ2=10n×4因为认为喜欢运动和性别有关犯错误的概率不大于0.05,则3.841≤χ2<6.635,即3.841≤10n21<6得8.0661≤n<13.9335,因为n∈N*,则n的可能取值有9,10,11,12,因此,调查人数中男生人数的可能值为45或50或55或60.【补偿训练】(多选题)某校计划在课外活动中新增攀岩项目,为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关,面向学生开展了一次随机调查,其中参加调查的男女生人数相同,并绘制如下等高条形图,则 ()参考公式:χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.050.01xα3.8416.635A.参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多B.参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多C.若参与调查的男女生人数均为100人,则认为喜欢攀岩和性别有关犯错误的概率不大于0.01D.无论参与调查的男女生人数为多少,认为喜欢攀岩和性别有关犯错误的概率都不大于0.01【解析】选AC.由题意设参加调查的男女生人数均为m人,则性别攀岩合计喜欢攀岩不喜欢攀岩男生0.8m0.2mm女生0.3m0.7mm合计1.1m0.9m2m所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多,A对B错;χ2=2m(0当m=100时,χ2=50m99=50×10099所以当参与调查的男女生人数均为100人,认为喜欢攀岩和性别有关,C对D错.2.(多选题)某机构通过抽样调查,利用2×2列联表和χ2统计量研究秃顶与患心脏病是否有关时,零假设为H0:秃顶与患心脏病无关,经查对临界值表知P(χ2≥2.706)≈0.1,P(χ2≥3.841)≈0.05,下列说法正确的是 ()A.若χ2=3.503,当小概率值α=0.1时,推断H0不成立,即认为“秃顶与患心脏病有关联”B.若χ2=3.503,当小概率值α=0.05时,推断H0不成立,即认为“秃顶与患心脏病有关联”C.若当小概率值α=0.05时推断H0不成立,即认为“秃顶与患心脏病有关联”,是说某人秃顶,那么他有95%的可能性患心脏病D.若当小概率值α=0.1时推断H0不成立,是指在犯错误的概率不大于0.1的前提下,认为“秃顶与患心脏病有关联”【解析】选AD.当小概率值α=0.1时,χ2=3.503>2.706,则推断H0不成立,即认为“秃顶与患心脏病有关联”,故A正确;当小概率值α=0.05时,χ2=3.503<3.841,则没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为“秃顶与患心脏病无关”,故B,C错误;从独立性检验可知,当小概率值α=0.1时推断H0不成立,即认为秃顶与患心脏病有关联,该推断犯错误的概率不大于0.1,故D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)3.在西非,“埃博拉病毒”的传播速度很快,这已经成为全球性的威胁,为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果,现随机抽取100只小鼠进行试验,得到如下列联表:疫苗感染合计感染未感染服用104050未服用203050合计3070100附:χ2=n(α0.10.050.01xα2.7063.8416.635根据上表,依据小概率值α=的独立性检验,认为“小动物是否感染与服用疫苗有关”.

【解析】由题中数据可得:χ2=n=100(10×30-40×20)250×所以认为小动物是否感染与服用疫苗有关犯错误的概率不大于0.05.答案:0.05【补偿训练】1.有两个分类变量X和Y,其中一组观测值为如下的2×2列联表:XY合计y1y2x1a15-a15x220-a30+a50合计204565其中a,15-a均为大于5的整数,则a=时,认为变量X与Y有关犯错误的概率不大于0.01.

附:χ2=n(α0.10.050.010.005xα2.7063.8416.6357.879【解析】由题意知:χ2≥6.635,则65a(30+a)-(解得:a≥8.65或a≤0.58,因为a>5且15-a>5,a∈Z,综上得,8.65≤a<10,a∈Z,所以a=9.答案:92.(2022·临沂高二检测)某校为研究该校学生性别与体育锻炼的经常性之间的联系,随机抽取100名学生(其中男生60名,女生40名),并绘制得到如图所示的等高堆积条形图,则这100名学生中经常锻炼的人数为.

【解析】由等高堆积条形图进行数据分析,这100名学生中经常锻炼的人数为60×0.8+40×0.5=68.答案:684.已知列联表如下:产量温度合计低于30℃高于30℃高15m15+m低51520合计2015+m35+m若χ2=m+354(m>0),则m=(附:χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c【解析】χ2=(35+m)(15×15-答案:5三、解答题(每小题10分,共20分)5.判断两个分类变量是否有关系,可以借助下面的方法来进行粗略判断.其方法为:在2×2列联表中,若aa+b与cc已知某校对高三学生进行了调查,发现在平时的模拟考试中,性格内向的426个学生中有332人在考前心情紧张,性格外向的594个学生中有213人在考前心情紧张.试用本题所述方法以及根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析考前心情紧张与性格类别的关系.【解析】列联表如下,是否内向是否紧张合计紧张不紧张内向33294426外向213381594合计5454751020aa+b=332426≈0.779,cc所以aa+b与cc零假设为H0:考前心情紧张与性格类别无关,χ2=1020×(332×381根据小概率值α=0.001的独立性检验,有充分证据推断H0不成立,所以认为考前心情紧张与性格类别有关.6.(2022·新高考Ⅰ卷)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:项目不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,P(B|A)P(i)证明:R=P(A|(ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|B)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.附:K2=n(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】(1)由已知K2=n=200×又P(K2≥6.635)=0.01,24>6.635,所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯