适用于新教材2023版高中数学课时素养检测一分类加法计数原理与分步乘法计数原理新人教A版选择性必修第三册

PAGE一分类加法计数原理与分步乘法计数原理(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2022·天津高二检测)书架的第1层放有5本不同的计算机书,第2层放有4本不同的文艺书,第3层放有3本不同的体育书.从书架上任取1本书,不同的取法有 ()A.5种 B.9种 C.12种 D.60种【解析】选C.根据题意可得从书架上任取1本书,有5+4+3=12种不同的取法.2.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有5位同学只会用综合法证明,有3位同学只会用分析法证明,现任选1名同学证明这个问题,不同的选法有 ()A.8种 B.15种 C.18种 D.30种【解析】选A.由题意知本题是一个分类加法计数问题,解决问题分成两个种类,一是可以用综合法证明,有5种方法,一是可以用分析法来证明,有3种方法,根据分类加法计数原理知共有3+5=8种.3.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与该平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ()A.48 B.18 C.24 D.36【解析】选D.分类讨论:第1类,对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24(个);第2类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36(个).4.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有 ()A.280种 B.240种C.180种 D.96种【解析】选B.由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人,有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种,因此共有4×5×4×3=240种不同的选派方案.5.已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A,B的值,则可表示出的不同直线的条数为 ()A.19 B.20 C.21 D.22【解析】选D.当A或B中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当AB≠0时,A有5种选法,B有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线.6.某校举办文艺会演,原节目单上有10个节目已经排好顺序,又有3个新节目需要加进去,不改变原来节目的顺序,则新节目单的排法有 ()A.165种 B.286种 C.990种 D.1716种【解析】选D.第一步:10个节目空出11个位置,加入1个新节目,所以加入一个新节目有11种方法;第二步:从排好的11个节目空出的12个位置中,加入第2个新节目,有12种方法;第三步:从排好的12个节目空出的13个位置中,加入第3个新节目,有13种方法.所以由分步乘法计数原理得,加入3个新节目后的节目单的排法有11×12×13=1716种.7.(多选题)如图所示,从A地到B地要经过C地和D地,从A地到C地有3条路,从C地到D地有2条路,从D地到B地有4条路,则下列结论正确的是 ()A.从A地到D地不同的走法有6种B.从C地到B地不同的走法有6种C.从A地到B地不同的走法有9种D.从A地到B地不同的走法有24种【解析】选AD.根据分步乘法计数原理得,从A地到D地不同的走法有3×2=6种,从C地到B地不同的走法有2×4=8种,从A地到B地不同的走法有3×2×4=24种.二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2022·天津高二检测)从1,2,…,19,20中任选一个数作被减数,再从1,2,…,10中任选一个数作减数,然后写成一个减法算式,共可得到不同的算式为个.

【解析】被减数有20种可能,减数有10种可能,则可得到不同的减法算式有20×10=200(个).答案:2009.用0,1,2,3,4,5六个数字,可以组成没有重复数字的三位数的个数是;可以组成有重复数字的三位数的个数为.

【解析】百位的数字可以选择的种数为5种,十位,个位可以选的种数分别为5种,4种,则可组成无重复数字的三位数的种数为5×5×4=100;可组成有重复数字的三位数的种数为5×6×6=180.答案:100180三、解答题10.(10分)有一项活动,需从3位老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.(1)若只需1人参加,则有多少种不同的选法?(2)若需老师、男同学、女同学各1人参加,则有多少种不同的选法?(3)若需1位老师、1名同学参加,则有多少种不同的选法?【解析】(1)选1人,可分三类:第一类,从老师中选1人,有3种不同的选法;第二类,从男同学中选1人,有8种不同的选法;第三类,从女同学中选1人,有5种不同的选法.共有3+8+5=16(种)不同的选法.(2)选老师、男同学、女同学各1人,则分三步进行:第一步,选老师,有3种不同的选法;第二步,选男同学,有8种不同的选法;第三步,选女同学,有5种不同的选法.共有3×8×5=120(种)不同的选法.(3)选1位老师、1名同学,可分两步进行:第一步,选老师,有3种不同的选法;第二步,选同学,有8+5=13(种)不同的选法.共有3×13=39(种)不同的选法.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.由0,1,2,3,5组成的无重复数字的五位偶数共有 ()A.36个 B.42个 C.48个 D.120个【解析】选B.分两类:(1)若五位数的个位数是0,则有n1=4×3×2×1=24种情形;(2)若五位数的个位数是2,由于0不排首位,因此只有1,3,5这3种情形,中间的三个位置有3×2×1=6种情形,依据分步乘法计数原理可得n2=3×6=18种情形.由分类加法计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为n=n1+n2=24+18=42.2.凸八边形的对角线有 ()A.20条 B.28条 C.48条 D.56条【解析】选A.凸八边形过每一个顶点有5条对角线,故共有8×523.用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,则不同的涂色方法共有 ()A.4320种 B.2880种 C.1440种 D.720种【解析】选A.分步进行:1区域有6种不同的涂色方法,2区域有5种不同的涂色方法,3区域有4种不同的涂色方法,4区域有3种不同的涂色方法,6区域有4种不同的涂色方法,5区域有3种不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理可知,共有6×5×4×3×3×4=4320种不同的涂色方法.4.(多选题)(2022·南海中学高二检测)现有不同的红球4个,黄球5个,绿球6个,则下列说法正确的是 ()A.从中任选1个球,有15种不同的选法B.若每种颜色选出1个球,有120种不同的选法C.若要选出不同颜色的2个球,有31种不同的选法D.若要不放回地依次选出2个球,有210种不同的选法【解析】选ABD.对于A.从中任选1个球,有4+5+6=15种不同的选法,所以该选项正确;对于B.若每种颜色选出1个球,有4×5×6=120种不同的选法,所以该选项正确;对于C.若要选出不同颜色的2个球,有4×5+5×6+4×6=74种不同的选法,所以该选项错误;对于D.若要不放回地依次选出2个球,有15×14=210种不同的选法,所以该选项正确.二、填空题(每小题5分,共20分)5.作家马伯庸小说《长安十二时辰》中,靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中,望楼传递信息的方式有一种如下:如图所示,在九宫格中,每个小方格可以在白色和紫色(此处以阴影代表紫色)之间变换,从而一共可以有512种不同的颜色组合,即代表512种不同的信息.现要求每一行、每一列上都有且只有1个紫色小方格(如图所示即满足要求).则一共可以传递种信息.(用数字作答)

【解析】分3步分析:第一步,在第一行中,有且只有1个紫色小方格,有3种情况;第二步,在第二行的3个方格中,要求每列上都有且只有一个紫色小方格,则第二行有2种情况;第三步,在第三行,只有1种情况,则有3×2×1=6种情况.答案:66.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游,实名制购票,每人一座,恰在同一排A,B,C,D,F五个座位(一排共五个座位),上车后五人在这五个座位上随意坐,则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种.

【解析】先选出坐对位置的人,即从5人中选1人,有5种可能;剩下四人进行错排,设四人座位为1,2,3,4,则四人都不坐在自己位置上有2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321这9种可能;所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有5×9=45种.答案:457.如图,从A→B→C,有种不同的走法;从A→C,有种不同的走法.

【解析】A→B→C分两步.第一步,A→B,有2种走法;第二步,B→C,有2种走法.所以A→B→C共有2×2=4种走法.A→C分两类.第一类,A→B→C共有4种走法;第二类,A→C(不经过B)有2种走法.所以A→C共有4+2=6种走法.答案:468.x+y+z=10的正整数解的组数为.

【解析】可按x的值分类:当x=1时,y+z=9,共有8组;当x=2时,y+z=8,共有7组;当x=3时,y+z=7,共有6组;当x=4时,y+z=6,共有5组;当x=5时,y+z=5,共有4组;当x=6时,y+x=4,共有3组;当x=7时,y+z=3,共有2组;当x=8时,y+z=2,共有1组.由分类加法计数原理可知:共有8+7+6+5+4+3+2+1=8×92=36(答案:36三、解答题(每小题10分,共20分)9.一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个没有重复数字的四位数的号码?【解析】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成:第一步,有10种拨号方式,即m1=10;第二步,去掉第一步拨的数字,有9种拨号方式,即m2=9;第三步,去掉前两步拨的数字,有8种拨号方式,即m3=8;第四步,去掉前三步拨的数字,有7种拨号方式,即m4=7.根据分步乘法计数原理,共可以组成N=10×9×8×7=5040(个)没有重复数字的四位数的号码.【补偿训练】已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},若a,b,c∈M,则:(1)y=ax2+bx+c可以表示多少个不同的二次函数?(2)y=ax2+bx+c可以表示多少个图象开口向上的二次函数?【解析】(1)y=ax2+bx+c表示二次函数时,a的取值有5种情况,b的取值有6种情况,c的取值有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示5×6×6=180个不同的二次函数.(2)当y=ax2+bx+c的图象开口向上时,a的取值有2种情况,b,c的取值均有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示2×6×6=72个图象开口向上的二次函数.10.现有高三四个班的学生共34人,其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?(3)推选二人作发言,这二人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?【解析】(1)分四类:第一类,从一班学生中选1人,有7种选法;第二类,从二班学生中选1人,有8种选法;第三类,从三班学生中选1人,有9种选法;第四类,从四班学生中选1人,有10种选法.所以,共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种).(2)分四步:第一、二、三、四步分别为从一、二、三、