适用于新教材2023版高中数学第七章随机变量及其分布7.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布探究导学课件新人教A版选择性必修第三册

7.4二项分布与超几何分布

7.4.1二项分布第七章新课程标准素养风向标1.理解n重伯努利试验模型及二项分布.2.会求满足二项分布的随机变量的期望和方差.1.会求n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率.(数学运算)2.能用二项分布的概率模型解决实际问题.(数学建模)3.会求服从二项分布的随机变量的期望和方差.(数学运算)基础预习初探主题1

二项分布连续掷一枚图钉3次,用Ai(i=1,2,3)表示事件“第i次掷得针尖向上”,且每次针尖向上的概率为p,Bk(k=0,1,2,3)表示出现k次针尖向上,回答下列问题:(1)事件A1,A2,A3是否是相互独立事件?提示:是相互独立事件.

结论:1.n重伯努利试验的特征(1)同一个伯努利试验重复做n次;(2)各次试验的结果相互独立.2.二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=_____________,k=0,1,2,…,n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作_____________.

X~B(n,p)

主题2

二项分布的期望与方差若随机变量X~B(n,p),(1)当n=1时,E(X)=

,D(X)=

.

提示:当n=1时,X的分布列为:P(X=0)=1-p,P(X=1)=p,所以E(X)=p,D(X)=p(1-p).答案:p

p(1-p)(2)当n=2时,E(X)=

,D(X)=

.

提示:当n=2时,X的分布列为P(X=0)=(1-p)2,P(X=1)=2p(1-p),P(X=2)=p2,所以均值和方差分别为E(X)=0×(1-p)2+1×2p(1-p)+2×p2=2p,D(X)=02×(1-p)2+12×2p(1-p)+22×p2-(2p)2=2p(1-p).答案:2p

2p(1-p)结论:

一般地,若X~B(n,p),那么E(X)=___,D(X)=_____________.np(1-p)np

2.已知随机变量ξ+η=8,若ξ~B(10,0.4),则E(η),D(η)分别是 (

)A.4和2.4 B.2和2.4 C.6和2.4 D.4和5.6【解析】选A.因为ξ~B(10,0.4),所以E(ξ)=10×0.4=4,D(ξ)=10×0.4×0.6=2.4,因为η=8-ξ,所以E(η)=E(8-ξ)=4,D(η)=D(8-ξ)=2.4.核心互动探究探究点一

二项分布【典例1】现有一款智能学习APP,学习内容包含文章学习和视频学习两类,且这两类学习互不影响,已知该APP积分规则如下:每阅读一篇文章积1分,每日上限积5分;观看视频累计3分钟积2分,每日上限积6分,经过抽样统计发现,文章学习积分的概率分布表如表1所示,视频学习积分的概率分布表如表2所示.表1文章学习积分12345概率表2视频学习积分246概率(1)现随机抽取1人了解学习情况,求每日学习积分不低于9分的概率;(2)现随机抽取3人了解学习情况,设积分不低于9分的人数为ξ,求ξ的概率分布.【思维导引】(1)根据表格,文章学习积分与视频学习积分之和不低于9,计算相应的概率,然后求和,可得结果.(2)根据ξ服从二项分布,写出ξ的所有取值,并计算相应的概率,列出分布列.【解析】(1)由题意,获得的积分不低于9分的情况有:文章学习积分3455视频学习积分6646

ξ0123P【延伸探究】

本题条件不变,求随机变量ξ的均值和方差.【解析】由随机变量ξ的概率分布列为ξ0123P

【类题通法】二项分布的解题步骤(1)判断随机变量X是否服从二项分布:看两点:①是否为n重伯努利试验;②随机变量是否是这n重伯努利试验中某事件发生的次数;(2)建立二项分布模型;(3)确定X的取值并求出相应的概率;(4)写出分布列.【定向训练】1.某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X,其概率分布如下表,数学期望E(X)=2.(1)求a和b的值;(2)某同学连续玩三次该智力游戏,记积分X大于0的次数为Y,求Y的概率分布.X036Pab

Y0123P

X01234P

Y05101520P

【类题通法】(1)二项分布的均值求解方法首先根据二项分布的特点判断随机变量的分布属于哪一类分布,若属于二项分布,则代入二项分布的均值公式,计算出变量的均值.(2)常见分布列方差的求法①用定义:用方差的定义求解,适用于所有概率模型.②用公式:若明确随机变量服从二项分布,可直接利用方差的计算公式求出.

ξ的分布列为ξ0