适用于新教材2023版高中数学第七章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.2离散型随机变量的方差探究导学课件新人教A版选择性必修第三册

7.3.2离散型随机变量的方差第七章新课程标准素养风向标1.通过实例理解离散型随机变量方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.1.理解离散型随机变量的方差、标准差的概念与意义.(数学抽象)2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些简单的实际问题.(数学运算、数学建模)3.掌握方差的性质.(数学运算)基础预习初探主题1

离散型随机变量的方差

甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相同,所得次品数分别为X,Y,X和Y的分布列如表.X012PY012P

(2)甲、乙两名工人技术的稳定性如何?提示:作出两名工人的概率分布图如图,比较两个图形发现乙工人的技术水平比较稳定.(3)如何定量刻画两名工人技术的稳定性呢?提示:可通过离散型随机变量的方差来定量刻画两名工人技术的稳定性.结论:离散型随机变量的方差(1)方差:如果离散型随机变量X的分布列如表.Xx1x2…xnPp1p2…pn

【对点练】1.随机变量X的分布列如表,则D(X)= (

)X01P

2.随机变量X的分布列如表,X012Pxyz

结论:(1)若随机变量X服从两点分布,则D(X)=p(1-p);(2)若随机变量X,Y满足Y=aX+b(a≠0)a,b为常数,则D(Y)=D(aX+b)=_______.a2D(X)【对点练】1.已知随机变量ξ,η满足η=2ξ+1,且E(ξ)=1,D(η)=2,则 (

)A.E(η)=2,D(ξ)=1B.E(η)=2,D(ξ)=0.5C.E(η)=3,D(ξ)=1D.E(η)=3,D(ξ)=0.5【解析】选D.因为η=2ξ+1,E(ξ)=1,D(η)=2,所以E(η)=E(2ξ+1)=2E(ξ)+1=3,D(η)=D(2ξ+1)=22D(ξ)=2,所以D(ξ)=0.5.

核心互动探究

所以,随机变量ξ的分布列为ξ04080120160P

【跟踪训练】设随机变量ξ的概率分布列如表所示:ξ123Pabc

探究点二

离散型随机变量方差性质的应用【典例2】已知X的分布列为X010205060P(1)求D(X);(2)设Y=2X-E(X),求D(Y).【思维导引】(1)先根据分布列求期望,再利用方差公式求方差.(2)将E(X)的值代入,利用公式

D(aX+b)=a2D(X)求解.

【类题通法】方差性质的应用对于变量间存在关系的方差,在求解过程中应注意方差性质的应用,如D(aξ+b)=a2D(ξ),这样处理既避免了求随机变量η=aξ+b的分布列,又避免了繁杂的计算,简化了计算过程.

X-101Pab

2.已知随机变量ξ,η满足η=-2ξ+5,若E(ξ)=3,D(ξ)=2,则 (

)A.E(η)=-1,D(η)=8B.E(η)=-1,D(η)=-4C.E(η)=3,D(η)=2D.E(η)=-3,D(η)=1【解析】选A.因为η=-2ξ+5,所以E(η)=-2E(ξ)+5,D(η)=(-2)2D(ξ),又E(ξ)=3,D(ξ)=2,所以E(η)=-1,D(η)=8.3.已知甲口袋中有3个白球,2个黑球,乙口袋中有1个白球,3个黑球,分别从两个口袋中各取2个球,X表示从甲口袋中取出的白球数,Y表示从乙口袋中取出的黑球数,ξ表示两个口袋中取出的球放在一起时的黑球数,则E(X+Y)=

,D(ξ)=

.

故X+Y的分布列:X+Y1234P

2-X012P同理2-X+Y的分布列2-X+Y1234P

ξ300-150P

η5000-300P

【类题通法】方差在实际问题中的应用均值仅体现了随机变量取值的平均大小,如果两个随机变量的均值相等,还要看随机变量的取值如何在均值周围变化,方差大,说明随机变量取值较分散,方差小,说明取值较集中.【定向训练】

为选拔奥运会射击选手,对甲、乙两名射手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ,η,甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,a,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ,η的分布列;(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人.【解析】(1)依据题意知,0.5+3a+a+a=1,解得a=0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.所以ξ,η的分布列分别为ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)结合(1)中ξ,η的分布列,可得:E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.因为E(ξ)>E(η),说明甲平均射中的环数比乙高,又因为D(ξ)<D(η),说明甲射中的环数比乙集中,比较稳定,所以甲的射击技术好,故应选甲.课堂素养达标1.已知随机变量ξ满足P(ξ=1)=0.3,P(ξ=2)=0.7,则E(ξ)和D(ξ)的值分别为 (

)A.0.6和0.7 B