高考数学总复习 第四章第3课时 平面向量的数量积及应用举例课时闯关（含解析）

一、选择题1．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b| B．a·b＝eq\f(1,2)C．a∥b D．(a－b)⊥b解析：选D.|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，|a|≠|b|，A项错误；a·b＝(2,0)·(1,1)＝2≠eq\f(1,2)，B项错误；因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，且2×1－0×1≠0，所以C项错误；因为(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，所以(a－b)⊥b，选D.2．(2012·洛阳调研)已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝()A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(－1,2) D．(1,2)解析：选D.由物理知识知：f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．3．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，－6)，|c|＝eq\r(10)，若(a＋b)·c＝5，则a与c的夹角为()A．30° B．60°C．120° D．150°解析：选C.由a＝(1,3)，b＝(－2，－6)得b＝－2a，因此(a＋b)·c＝－a·c＝5，设a与c的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(－5,\r(12＋32)×\r(10))＝－eq\f(1,2)，因此θ＝120°.4．在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满足eq\o(BM,\s\up6(→))＝2eq\o(MA,\s\up6(→))，则eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．2 B．3C．4 D．6解析：选B.由题意可知，eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0＋eq\f(1,3)×3eq\r(2)×3cos45°＝3.5．(2012·石家庄调研)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上，满足2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0(其中O为坐标原点)，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|，则向量eq\o(BA,\s\up6(→))在向量eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影为()A．1 B．－1C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：选C.由2eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0得，eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OC,\s\up6(→))，即O，B，C三点共线．又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，故向量eq\o(BA,\s\up6(→))在向量eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影为|eq\o(BA,\s\up6(→))|coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2).二、填空题6．若A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是________．解析：由已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3,3)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，故△ABC为直角三角形．答案：直角三角形7．(2011·高考江西卷)已知两个单位向量e1，e2的夹角为eq\f(π,3)，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.解析：b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3eeq\o\al(2,1)－2e1·e2－8eeq\o\al(2,2).又因为e1，e2为单位向量，〈e1，e2〉＝eq\f(π,3)，所以b1·b2＝3－2×eq\f(1,2)－8＝3－1－8＝－6.答案：－68.(2010·高考天津卷)如图，在△ABC中，AD⊥AB，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\a\vs4\al(\r(3))eq\a\vs4\al(\o(BD,\s\up6(→)))，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝________.解析：eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝[eq\o(AD,\s\up6(→))＋(eq\r(3)－1)eq\o(BD,\s\up6(→))]·eq\o(AD,\s\up6(→))＝[eq\o(AD,\s\up6(→))＋(eq\r(3)－1)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))]·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2＋(eq\r(3)－1)eq\o(AD,\s\up6(→))2－(eq\r(3)－1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1＋eq\r(3)－1＝eq\r(3).答案：eq\r(3)三、解答题9．已知平面上三点A，B，C满足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝5，求eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值．解：由题意知△ABC为直角三角形，eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，cos∠BAC＝eq\f(3,5)，cos∠BCA＝eq\f(4,5)，∴eq\o(BC,\s\up6(→))和eq\o(CA,\s\up6(→))夹角的余弦值为－eq\f(4,5)，eq\o(CA,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))夹角的余弦值为－eq\f(3,5)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝20×(－eq\f(4,5))＋15×(－eq\f(3,5))＝－25.10．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(5－m，－3－m)．(1)若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．解：(1)若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2－m,1－m)，故知3(1－m)≠2－m，∴实数m≠eq\f(1,2)时，满足条件．(2)若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m＝eq\f(7,4).11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksinθ，t)(0≤θ≤eq\f(π,2))．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥a，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(5)|eq\o(OA,\s\up6(→))|，求向量eq\o(OB,\s\up6(→))；(2)若向量eq\o(AC,\s\up6(→))与向量a共线，当k>4，且tsinθ取最大值为4时，求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→)).解：(1)由题设知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(n－8，t)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))⊥a，∴8－n＋2t＝0.又∵eq\r(5)|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.当t＝8时，n＝24；t＝－8时，n＝－8，∴eq\o(OB,\s\up6(→))＝(24,8)，或eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－8，－8)．(2)由题设知eq\o(AC,\s\up6(→))＝(ksinθ－8，t)，∵eq\o(AC,\s\up6(→))与a共线，∴t＝－2ksinθ＋16，tsinθ＝(－2ksi