南京市第二十七高级中学2022-2023学年高二上学期9月期初测试数学试题（含解析）

第5页/共25页南京市第二十七高级中学2022-2023年度第一学期9月期初调研试卷高二数学（时间：150分钟；满分150分）一、单选题（每题5分，共40分）1.若复数，其中i为虚数单位，则（）A. B. C. D.2.已知角满足，则（）A. B. C. D.3.若直线与直线平行，则它们之间的距离是（）A.1 B. C.3 D.44.已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（）A. B. C. D.5.过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.6.若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有（）A.B.C.中点的轨迹方程为D.中点的轨迹方程为7.小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到的位置，测得（为水平线），测角仪的高度为1米，则旗杆的高度为（）

A米 B.米 C.米 D.米8.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的体积为（）

图1图2A. B. C. D.二、多选题（每题5分，共20分．少选得2分，错选不得分）9.下列说法中，正确的有（）A.过点且在，轴截距相等的直线方程为B.直线的纵截距是．C.直线的倾斜角为60°D.过点并且倾斜角为90°的直线方程为10.在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（）A.若，则有2解；B.若，则；C.若，则为锐角三角形；D.若，则为等腰三角形或直角三角形.11.如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（）A.，，三点共线B.平面C.直线与平面所成的角为D.到平面的距离为12.点，为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C方程可以是（）A. B.C. D.三、填空题（每题5分，共20分）13.经过点且与直线垂直的直线方程为________.14.在平面内，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是______．15.直线与曲线有且仅有一个公共点．则b的取值范围是__________．16.在平面直角坐标系xOy中，已知直线和点，动点P满足，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于，则实数的取值范围是___________.四、解答题（17题10分，其余各题每题12分）17.某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩(假设考试成绩均在[65，90)内)分组如下：第一组[65，70)，第二组[70，75)，第三组[75，80)，第四组[80，85)，第五组[85，90)．得到频率分布直方图如图.(1)求测试成绩在[80，85)内的频率；(2)从第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有1名学生被抽中的概率．18.在中，角，，的对边分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值，并指出此时三角形的形状．19.设椭圆两个焦点为，若点在椭圆上，且．（1）求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率；（2）求面积；（3）求点的坐标．20.如图，AB是的直径，C是圆周上异于A，B的点，P是平面ABC外一点，且.（1）求证：平面平面；（2）若，点D是上一点，且与C在直径AB同侧，.（ⅰ）设平面平面，求证：；（ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值.21.如图所示，公路一侧有一块空地，其中，，．市政府拟在中间开挖一个人工湖，其中都在边上（不与重合，M在之间），且．

（1）若M在距离A点处，求的长度；（2）为节省投入资金，人工湖的面积尽可能小，设，试确定的值，使的面积最小，并求出最小面积．22.已知圆过点，且与直线相切于点．（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交于两点，若为直角三角形，求直线的方程；（3）在直线上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，使为正三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．第24页/共24页南京市第二十七高级中学2022-2023年度第一学期9月期初调研试卷高二数学（时间：150分钟；满分150分）一、单选题（每题5分，共40分）1.若复数，其中i为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用复数的除法化简，再利用共轭复数的定义求解.【详解】解：因为，所以其共轭复数为．故选：A2.已知角满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式及两角和与差公式可求解.【详解】方法一：因为，所以.等式两边同时平方，得，即，解得.所以.方法二：.故选:D.3.若直线与直线平行，则它们之间的距离是（）A.1 B. C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】先求得m的值，再去求两平行直线间的距离即可.【详解】由直线与直线平行，可得，解之得则直线与直线间的距离为故选：B4.已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由椭圆定义确定点轨迹是椭圆，然后求出，可得其方程．【详解】因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以，所以，而，所以点轨迹是以为焦点，长轴长是4的椭圆．设其方程为，，，，则，所以点轨迹方程是．故选：C．5.过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因为为正三角形，所以结合椭圆的定义可得，所以椭圆的离心率，代入即可得出答案.【详解】图所示，易知，．

由椭圆的定义可得，则该椭圆的离心率．故选：A.6.若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有（）A.BC.中点的轨迹方程为D.中点的轨迹方程为【答案】C【解析】【分析】两圆方程相减求出直线AB的方程，进而根据弦长求得，即可判断A、B选项；由圆的性质可知直线垂直平分线段，进而可得到直线的距离，从而可求出AB中点的轨迹方程，因此可判断C、D选项；【详解】两圆方程相减可得直线AB的方程为，即，因为圆的圆心为，半径为1，且公共弦AB的长为1，则到直线的距离为，所以，解得，故A、B错误；由圆性质可知直线垂直平分线段，所以到直线的距离即为AB中点与点的距离，设AB中点坐标为，因此，即，故C正确，D错误；故选：C7.小明在学完《解直角三角形》一章后，利用测角仪和校园旗杆的拉绳测量校园旗杆的高度，如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等，小明先将PB拉到的位置，测得（为水平线），测角仪的高度为1米，则旗杆的高度为（）

A.米 B.米 C.米 D.米【答案】C【解析】【分析】由题设可得，即可得结果.详解】由题设，，而，所以，可得米.故选：C8.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的体积为（）

图1图2A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，计算体积即可.【详解】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的体积为；故选：D.二、多选题（每题5分，共20分．少选得2分，错选不得分）9.下列说法中，正确的有（）A.过点且在，轴截距相等的直线方程为B.直线的纵截距是．C.直线的倾斜角为60°D.过点并且倾斜角为90°的直线方程为【答案】BD【解析】【分析】根据直线的截距的定义，倾斜角和斜率的关系，结合直线的方程，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A：因为直线也过点且在，轴截距相等，故错误；：对直线方程，令，可得，则其纵截距，故B正确；C：直线的斜率，设其倾斜角为，则，又，故该直线的倾斜角为，故C错误；D：过点并且倾斜角为90°的直线为，故正确.故选：.10.在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（）A.若，则有2解；B.若，则；C.若，则为锐角三角形；D.若，则为等腰三角形或直角三角形.【答案】BCD【解析】【分析】利用正余弦定理都每项逐一判断即可【详解】对于A，由正弦定理可得：，，此时无解，A错误；对于B，，，根据同角三角函数基本关系式可知，故B正确；对于C，，，可知均锐角，故为锐角三角形，故C正确；对于D，，由余弦定理可得：,整理得：，或即或，为等腰三角形或直角三角形，故D正确故选：BCD11.如图所示，在棱长为1的正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（）A.，，三点共线B.平面C.直线与平面所成的角为D.到平面的距离为【答案】ABC【解析】【分析】利用正方体的特征证得点在上可知项正确；利用线面垂直的判断定理可得平面，故项正确；首先找到线面角，然后利用三角函数值确定线面角的大小即可；由三棱锥的等体积法可得点面距离．【详解】由于为正方体的体对角线，在平面内，据此可得平面平面于，又交平面于点，故点在上，故项正确；很明显平面，平面，故，同理，，于点，故平面，故项正确；设正方体的棱长为1，直线与平面的夹角为，则，点到平面的距离为，故，，故项正确；设到平面的距离为，，，解得，故D项错误；故选：ABC．12.点，为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C方程可以是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】设椭圆上顶点为B，由题满足，即，可得，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为，设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，则需，，即，，，则，所以选项AC满足.故选：AC.三、填空题（每题5分，共20分）13.经过点且与直线垂直的直线方程为________.【答案】【解析】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线的斜率为，则与直线垂直的直线的斜率，因此，所求直线的方程为，即.故答案为：.【点睛】结论点睛：已知直线的一般方程为.（1）与直线平行的直线的方程可设为；（2）与直线垂直的直线的方程可设为.14.在平面内，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是______．【答案】【解析】【分析】求得点关于轴的对称点为，结合圆的性质，即可求解.【详解】由圆，得圆心坐标，半径为，求得点关于轴的对称点为，可得.如图所示，可得爬到的最短路程为.故答案为：15.直线与曲线有且仅有一个公共点．则b的取值范围是__________．【答案】或.【解析】【分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【详解】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为的右半圆，是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况：（1）直线与半圆相切，根据，所以，结合图像可得；（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知.故答案为：或.【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果或有限制，需要数形结合进行分析.16.在平面直角坐标系xOy中，已知直线和点，动点P满足，且动点P的轨迹上至少存在两点到直线l的距离等于，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】设点，根据列式求解得动点P的轨迹，再代入点到直线的距离公式列不等式即可求解.【详解】设点，则，即，所以动点P的轨迹为以为圆心，为半径的圆，要在圆上至少存在两点到直线的距离等于，则需圆心到直线的距离，解得.故答案为：四、解答题（17题10分，其余各题每题12分）17.某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩(假设考试成绩均在[65，90)内)分组如下：第一组[65，70)，第二组[70，75)，第三组[75，80)，第四组[80，85)，第五组[85，90)．得到频率分布直方图如图.(1)求测试成绩在[80，85)内的频率；(2)从第三、四、五组学生中用分层抽样的方法抽取6名学生组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名学生中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有1名学生被抽中的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由所有频率的和为，易得测试成绩在[80，85）内的频率；（2）先分别求出第三组、第四组、第五组的人数，再由分层抽样方法得各组应该抽取的人数．用字母表示所研究的事件，用列举法得基本事件的总数以及所研究事件含多少个基本事件，最后利用古典概型公式求得概率．【详解】（1）测试成绩在[80，85）内的频率为：（2）第三组的人数等于,第四组的人数等于，第五组的人数等于，分组抽样各组的人数为第三组3人，第四组2人，第五组1人.设第三组抽到的３人为，第四组抽到的２人为,第五组抽到的１人为.这6名同学中随机选取2名的可能情况有15种，如下：.设“第四组2名同学至少有一名同学被抽中”为事件,事件包含的事件个数有9种，即：,,,,.所以,事件的概率即第四组至少有一名同学被抽中的概率为．考点：1、考查频率分布；2、频率分布直方图；3、古典概型．18.在中，角，，的对边分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值，并指出此时三角形的形状．【答案】（1）（2）最大值为，为正三角形【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合三角形恒等变换即可求解；（2）利用余弦定理可得，结合基本不等式可得，利用三角形的面积公式即可求解.【小问1详解】解：∵，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴，从而，即，∵，∴．【小问2详解】解：∵，，由余弦定理得：，即，由于（当且仅当时取等号）所以，即（当且仅当时取等号）∴（当且仅当时取等号）∴当时，的面积最大，且最大值为，由于，所以此时为正三角形．19.设椭圆的两个焦点为，若点在椭圆上，且．（1）求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率；（2）求的面积；（3）求点的坐标．【答案】（1）长轴长为，短轴长为，焦点为，，离心率为（2）（3）或或或【解析】【分析】（1）由椭圆方程可求得，由此可依次求得结果；（2）利用椭圆定义和勾股定理可构造方程求得，由此可求得三角形面积；（3）利用面积桥可求得点纵坐标，代入椭圆方程可得点横坐标，由此可得结果.【小问1详解】由椭圆方程得：，，则，椭圆的长轴长为；短轴长为；焦点坐标为，，离心率.【小问2详解】由椭圆定义知：，，，即，解得：，.【小问3详解】设，则，解得：，，解得：；点坐标为或或或.20.如图，AB是的直径，C是圆周上异于A，B的点，P是平面ABC外一点，且.（1）求证：平面平面；（2）若，点D是上一点，且与C在直径AB同侧，.（ⅰ）设平面平面，求证：；（ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值.【答案】（1）证明见解析（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）.【解析】【分析】（1）先利用线面垂直判定定理去证明平面ABC，再利用面面垂直判定定理去证明平面平面ABC；（2）（ⅰ）先利用线面平行判定定理证明平面，再利用线面平行性质定理去证明；（ⅱ）先作出平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角，再去求其正切值即可.【小问1详解】如图，连接OC，∵，∴.又∵C是以AB为直径的圆周上一点，∴.∵，∴，∴.∵，平面，∴平面ABC.又∵平面PAB，∴平面平面ABC.【小问2详解】（ⅰ）由题意，四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴.∵，∴.又点D在圆O上且与C在直线AB的同侧，∴.又∵平面PAB，平面PAB，∴平面PAB.设平面平面，∵平面PCD，∴.（ⅱ）连接PD，则，取CD的中点E，连接PE，OE，则，，由（ⅰ）知，平面平面，.∴，.又∵平面PAB，平面PCD，∴是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面