一讲导数概念与常用函数平均变化率新课来

第一讲导数的概念与常用函数的导第一讲导数的概念与常用函数的导．(1x)2(1x)31-2】yx2xx0附近的平均变化率2x0解：2-1】求函数y=3x2x=1处的导数lim3x2lim3(x212)lim3(x1)解：yxx1/f(x0h)f(x03h)fx3,3-1】.0hf(x0h)f(x0的值为 (ab)则f(x在区间(ab内可导,0h2f'''f(x2f0ABCf(x0h)f(x03h)fx3,3-1】.0hf(x0h)f(x0的值为 (ab)则f(x在区间(ab内可导,0h2f'''f(x2f0ABC000f(x0h)f(x0h)lim2[f(x0h)f(x0]〖解〗 hf(x0h)f(x0h)2f'2)0f(x0axf(x0bx)x0aA.(ab)f(x B.f(xC.(ab)f(xf(x00002【例4-1】根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导（1）y2x1)(3x2)(1)y'12xcos2xsin21（2）ytany'〖解〗cos2cos2x1x1xy'yx(x (xx(4)y x2x2x5 xsin3〖解〗y3x x2 sinx cos22（5）y（4）f(x)(x31)(2x28x5)〖解〗f(x)10x432x315x24xxcos；sinxcosx〖解y（3）yxsin(1cossinx(cosx2)2（4）f(x)xtanxf(xcos2cos2/【例4-2】(1)已知f1(x)cosx，且fn1(x)fn(x)(nN*)，则f2012(x) (2)f1(xsinxcosx,f(xf【例4-2】(1)已知f1(x)cosx，且fn1(x)fn(x)(nN*)，则f2012(x) (2)f1(xsinxcosx,f(xfx),f(xf......,f(x) (x),(nN,n2f2 2n ++=.f2(42010(4 f1(4〖解〗【例4-3】(1)已知函数f(x)f )cosxsinx,4f )的值 4(2)已知函数f(x)2xf'()cosx,则f'() 2(3).已知函数fxf'x，且满fx3x22xf'2f'5【例5】求下列函数的导e21〖解〗y' lnx e(2lnx （1）y ln222xx（2）ysin3x3〖解〗 cos1sin1xx（3）y＝sin4x＋cos4x〖解〗－sin4（4）ysin3xsinx3y3sin2xcosx3x2cos（5）ysin5xcos5x)5〖解y25(sin5xcos5x)4sin5xcos9719（6）ycoslog2(x21)〖解〗y' (x5x2)2(5x4 x2223x4y135(3x4)2(6x（7）y.6x73/（8）yf(xxlnx,f'(x0)2,则x0 6】e1)则f(x是7（8）yf(xxlnx,f'(x0)2,则x0 6】e1)则f(x是7】f(xlnx）DA．奇函〖解〗导数的概念与常用函数的导数练习1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是()A．在[x0，x1]上的平均变Cx1Bx0D() ()A.vB.v C.vD.vt1C．2一物体的运动方程 s＝3＋t2，则在[2,2.1]时间内的平均速度()()率k＝ 率 ，则m的值 31的 π 4/312．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是 3πr0.01)？此结论可说明什么意义？ABBC处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言5/答1．A2．C πsin6－sinπ310．解0到6π πsin32－.＝ π3答1．A2．C πsin6－sinπ310．解0到6π πsin32－.＝ π32－.∵2－π32－ππ π11．解因为12．解33(2)函数r(V)在区间[0,1]3＝1函数r(V)在区间[1,2]上的平均33＝－6/13．解AB 13．解AB 导数的概念与常用函数的导数练习))等于)(())23)曲线f(x)＝x在点(4,2)处的瞬时变化率 ，在t＝1时的瞬时加速度是 2在x＝1处的导数 7/2答 4 410．解＝lim11．解∴ ＝limΔx→0 12．解8/＝lim(aΔx＋＝lim(aΔx＋2a)＝213．(1)t∈[3,5]Δt＝5－3＝2， Δt＝2＝24＝limΔs＝limΔt→0 即物体的初速度为－18(3)t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1＝limΔs＝limΔt→0 9/导数的概念与常用函数的导数练习Ay＝3)1C．若y＝－x＋x，则 Dy＝sinx＋cosxy′＝cosx＋sin导数的概念与常用函数的导数练习Ay＝3)1C．若y＝－x＋x，则 Dy＝sinx＋cosxy′＝cosx＋sin2 2y＝1－cosx()A.1－cosx－xsinB.1－cosx－xsin C.1－cosx＋sinD.1－cosx＋xsin1－cos1－cos1－cos1－cos等于)()a11 (2)y＝(x－2)2； (3)y＝x－sin2cos8．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲(1，f(1))处切线的斜率为y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲)y＝f(x)43cos2sin2)32B．[2，C．[D．[1 10/bb11/答 26．0.47．解(1)方法一答 26．0.47．解(1)方法一方法二(2)∵y＝(x－2)2＝x－4 1∴y′＝x′－(4x)′＋4′＝1－ 1(3)∵y＝x－sin2cos2＝x－2sin1(2sin2cos [∵f′(x)＝x2sinθ＋x·3cosπ1∴f′(1)＝sinθ＋3cosθ＝2(2sinθ＋2cosθ)＝2sin(θπ ∴3≤θ＋3≤4∴ππ2132 [∵f(x)＝3x－f′(－1)·x11．解f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，f′(x)＝2ax＋b.12/∴判别式Δ＝4－4c＝0，∴判别式Δ＝4－4c＝0，712．(1)解7x－4y－12＝0y117 . 3(2)证明P(x，y)为曲线上任一点＋x2 曲线在点P(x0，y0)处的切线方程y－y＝(1＋2)(x－x0x003y－(x－)＝(12)(x－x0x0x00x＝0y＝－xx＝0的交点坐标为(0x00P(x，y)x＝0，y＝x1－||2x 0解1112 或13/第二讲导数的几何 第二讲导数的几何 y3x21-2】f(x)x3f`2)x2xf(x的图像在2,f23 〖解〗27x27y4．【例2-1】与直线2xy40的平行的抛物线yx2的切线方程 解2xy1＋1（2－x 2解【例2-3】已知直线yx1与曲线yexa相切，则a的值 20x解：xy20. 14/xy20，或5x4y10解f(xax3xy20，或5x4y10解f(xax33x26ax11g(x3x26x12和直线mykx4】已知函.f(1)0.(Ⅰ)求a的值；又yf(xyg(xf(x)6x6a,f(1)0所以a(Ⅱ)因为直线m恒过点（0，9）.先求直线myf分的切线.设切点为(x0,3x12) g(x6x6.y(3x2 12)(6x6)(xx)00 00将点（0，9）x01.x01y=9,x01y=12x9fx06x26x120，即有x1,xx1yf(xy18x2时，yf(x)的切线方程为y6x26x1212x0xy9是公切线，又由fx得x0yf(xy12x11，当x1yf(x的切线为y12x100y9y12x9k导数的几何意义练习1．下列说法正确的是)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存(A．f′(xA)>f′(xB)D．不能确)π3y＝x2上切线倾斜角为4的点是)15/ C．(1，1D． C．(1，1D． ()22，则曲线 )21()1 P横坐标的取值范围 (1)(2)求a的值．16/(3)导数的几何意义练习()1＝x2，y′|(3)导数的几何意义练习()1＝x2，y′|x③y＝2，则y′＝2ln2，④y＝logx，则 2xln1()11 ))A．1B．2C．3D．不确5．若f(x)＝10x，则 417/5(2)y＝(4)y＝－2sin5(2)y＝(4)y＝－2sin －a()2 ee1 312．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f218/答 5．10ln 47．解(1)y′＝1′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－4353 3.答 5．10ln 47．解(1)y′＝1′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－4353 3.3(2)y′＝(x′＝551(3)∵y＝logx2－logx＝logx，∴y′＝(log 2222xln ＝sin － (4)∵y＝－2sin1－2cos2 ∴y′＝(sinx)′＝cos221 3 (a，a 9 [y′＝ex，设切点为(x0，y0)①②③10．ln2－111．解＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x2)y′|x＝x＝2x0 1 77 88213．解f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinf3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinf6(x)＝f2(x)，…，fn＋4(x)＝fn(x)，可知19/答 10．解f(x)＝3x2－4x＋2M(1,1)答 10．解f(x)＝3x2－4x＋2M(1,1)＝lim(3Δx＋2)＝2.P(－1,2)或11．解(1)由.2(2)∵y＝x＝＝limΔx＋2x)＝2x.x＝－212．解∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) 2233x2＋2ax－9＋(3x＝(3x＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)000000ΔxΔx3x2＋2ax－9.f′(x)＝3x2＋2ax00 0aa)13．解20/导数的几何意义练习1．下列函数不是复合函数的是 1πA．y＝－x3ln 的导数的几何意义练习1．下列函数不是复合函数的是 1πA．y＝－x3ln 的导数是)66663232y＝ex2－1的导数是(C．y′＝x2cos2x－2xsin))D．y′＝2xcos2x＋2x2sin( ππ6．曲y＝cos(2x 7．函数f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f′(2)＝5，则实数a的值 1()292222 (3)y＝sin2x－cos2x；(4)y＝cos21/s＝s(t)＝525－9t2.t＝15s22/答 5．－24(2011－8x)2答 5．－24(2011－8x)210．解(1)1(2)y＝u1 3＝(sin2x)′－(cos＝2cos2x＋2sinπ＝22sin(2x(4)y＝cos11．解＝，12．解s＝5－25－9t2s＝5－xx＝25－9t2x1x223/11 11 s′()＝0.875t＝15s0.87513．证明y＝f(x)是奇函数，得f′(－x)·(－x)′＝－f′(x)，第六讲函数的单调与导数的关 题型一求函数的单调区间【例1】求下列函数的单调区增1,3减(31.f(x)3x22x2.f(x)x33x增(1,),(减3.f(x)xln增(1,减(x4.f(x)〖解〗增(1),(减(5,(x5.f(x)xcosxsin【练习1】求下列函数的单调增(3),(333 3 f(x)3x22x减324/增(3),(333 3 2.f(x)3x22x减3.f(x)ln(x2x2)的增区间〖解〗增(2,【例增(3),(333 3 2.f(x)3x22x减3.f(x)ln(x2x2)的增区间〖解〗增(2,【例2-1】求下列函数的单调(1)f(x)1x2ax(a1)lnx(a1)〖解〗当a2，在(0,减增b,3f(x)ln(3x2-2】f(x)axa1ln(x1),其中a1,求f(x的单调区间〖解〗f(x)的定义域为(1,),且f(x)ax1(ax（1）当1a0时,f(x0,函数f(x)在(1,（2）当a0时,由f(x0解得x1af(xf(x)随x(1,1a(1a1axf—0+f11时,f(x0,函数f(x)在当x1,1,)上单调递减aa当x(,)时,f(x)0,函数f(x)在1)上单调递增1,a综上所述a当1a0时,函数f(x)在(1,)上单调递减11a当a0时,函数f(x)在()上单调递减,函数f(x)在a2xtx22-3】xx2tx30(t为实数)的两实根为a,b(ab,f(x在区间(ab上的单调性,并加以证明f(x)〖解〗f(x)在区间(ab上单调递增x0时，f(x)x2kx3k2-4】f(x是定义在R25/（Ⅰ）f(xx2kx3(xf(x)（Ⅰ）f(xx2kx3(xf(x)（Ⅱ）由（Ⅰ）x,0)时f(xx2x2kx3(xk0f(x)2x，在区间,0f(x)0，f(x当k0∴f(x)2xkx2，令f(x)2xkx20得x 或x22∴在区间 )上，f(x)0，f(x)是减函数2 ，0）上，f(x)0，f(x)是增函数〖解〗(I)f(x的递减区间是,0与(1,（II）4,03【练21.x1f(x)mx33(m1)x2nx1的一个极值点，其中mn（Ⅰ）当m＝－2f(x（Ⅱ）若m0x1,1时yf(x的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求2.f(x1xeax(a0)的单调区间13f(xg(xR上的奇函数和偶函数.x0时，f(x)g(xf(x)g(x)且g(3)0则不等式f(x)g(x)0的解集 .〖解〗【练31.f(x是定义在(0,xf(xf(x0.对任意的ab，若ab（）A.af(b)bfB.af(b)bf26/2.f(xg(x在（c,d）f(x)g(xc<a<b<d,a<x<b f(x) 2.f(xg(x在（c,d）f(x)g(xc<a<b<d,a<x<b f(x) f(x) f(x)g(a)g(x)ff(x)g(b)g(x)f f(x)是定义在R上的偶函数,当x0时f(xxf(x0,且f(4)0xf(x)0的解集为）D．(,4)B．(4,0) C．(,4)A．(4,0)题型二利用函数的单调性证明不等4-1证x0时，有ex1x【例4-2】求证：当0x 时，tanxx22【例4-3】求证：当0x x24-5】fxx1,x2,nN.fnxnxnn1f(x) xax(a21)lnx(1a，证明；x(0,xx5-1】已知函 2f(x1)f(x2)x15-2】已mnN且1mn，求证(1m)n(127/5-3】f(x)x2ln(x1)，其中b0.若b1,证明对任意的正整数nn1 1f() n3kk 3x3(x〖解〗令函数h(xx3f(xx3x2ln(x1)，则h'(x3x22x。xxx5-3】f(x)x2ln(x1)，其中b0.若b1,证明对任意的正整数nn1 1f() n3kk 3x3(x〖解〗令函数h(xx3f(xx3x2ln(x1)，则h'(x3x22x。xxx[0,h'(x)0，所以函数h(x在[0,上单调递增，又h(0)x[0,)）时，恒有h(xh(0)0x2ln(x1)故当x(0,)时，有ln(x1)x211 11对任意正整数n，取x (0,)，则有 1) f()n nnnkf(1) 1 k【练4,51.f(x1xlnx①若a1n1②当a11的正整数nn 11ax1x1且a1，ax10，又ax21 ②当a1n设x1，则f(x)f(1)0，当n1时，设x 则x1n1nn1n ．f(x) ）n10，所以nnn nn n2.fxxalnxa∈R2(Ⅰ)f(x)的单调递增区间eπ (Ⅱ)求证：e.＞e〖解〗(1)f(x)=x–alnx的定义域是a2x)，f(x)1 2a0f(x0x(0,恒成立，即单调增区间是(0,);a0f(x028/aa2,xe1xe【证明】(2)g(xxee(lnxlne)(x0)g(x1 xe时，g(x0g(x)xe在[e,上是单调增函数因为π>eeπe0，所πe>ln， 所以g(πg(e0，即πeaa2,xe1xe【证明】(2)g(xxee(lnxlne)(x0)g(x1 xe时，g(x0g(x)xe在[e,上是单调增函数因为π>eeπe0，所πe>ln， 所以g(πg(e0，即πee(lnπe2(πe)eπef(x)x(x6)alnxx(2,)3.（Ⅰ）求实数a2（Ⅱ）若f(x)是f(x)的导函数设g(x)f(x)6 试证明对任意两个不相等正数x、， 不等式|g(xg(x|38|xx|12 a2x26x（I）f(x2x6，…2xxf(xx(2,x(2,f(xy2x26xax(2,y2x26xax3y22262a2的实数a的取值范围（II）由（I）g(x)2xa 2x方法1：g(x)f(x) 62xa (x0)227x 2x34x ∵a4，∴g(x)2 2 8 8124(2x 设h(x)2 ，h(x) h(x在(0,3是减函数，在3x3h(x222g(x)38(g(x38x)0yg(x38xx、xxxg(x38xg(x38 22110，∴g(x1)g(x2)∴g(x)g(x)38(xx)，∵x21 x 29/g(x1)g(x238，即|g(xg(x|38|xx∴x12 2：M(x1g(x1N(x2g(x2yg(xg(x1)g(x222(x1x2)axxax，，x 1x2x 1122(x1x2)4a44122t,t0x2x(g(x1)g(x238，即|g(xg(x|38|xx∴x12 2：M(x1g(x1N(x2g(x2yg(xg(x1)g(x222(x1x2)axxax，，x 1x2x 1122(x1x2)4a44122t,t0x2x(x(xxxx1111111u(t)24t34t2，u(t)4t(3t2)k由u(t0，得t2由u(t0得0t23322u(t在(0,)上是减函数，在(,33u(t)在t2处取极小 ，u(t)38，∴所g(x1)g(x2x3 即|g(xg(x|38|xx…1212 （xx1x2A(xyB(xyyF(xM(x, 02得F(x1F(x2F(x0x1x2成立，则称函数具备性质L”f(x是不是具备性质“L”，并说明理由.解：设函数f(x具备性质“L”M处地切线斜率等于kAB0x1x2y1y2a(x1x2)(lnx1lnx2)alnx1ln xxx lnx1lnf(x)f(x1x2)a20xxx2 2(x1x12(x1x2) 4，令t 20即 x1t (t42F(t)1F(tlntt (t t(t4F(t)F(1)0，即方程lnt20f(x不具备性质Lt30/5.已知f(x2x1x2g(x5.已知f(x2x1x2g(x)logx(a0且a1h(xf(xg(x在定义域上为减函数a2且其导函数h'(x)（II）yp(xyg(x的图象关于直线y=xyp'(xy1y2yp(x的导函数A(xyB(xyp(x)(xp'(x)是函1 0x x0x1,x2的大小，并证明你的结论题型三利用ex1xxln1x证明不6-1】f(x)exax(a31/11121n1n1(nN〖解（Ⅰ）若a f(x)在(0,1)上递增.若011121n1n1(nN〖解（Ⅰ）若a f(x)在(0,1)上递增.若0a f(x)在(0,1)上递增.若1af在(0,lna(lnae上递增.若ae，f(x在(0,1)上递减fx1ln(x1)(x0)6-2】已x3fx；x（ln(16-3】f(x)(xx（Ⅰ）f(x（Ⅲ）(11)nenNn（Ⅱ）a(其中e为自然对数的底数6-4】fxln1x2axa（Ⅰ）fxx0处取极值，求a（Ⅱ）讨论fx的单调性（Ⅲ）证明：1 1 1 111 9e （Ⅱ）当a0(0)(0,11 111 1当1a0减减,)aaaa32/增当a1时减6-5】已知函f(xlnxag(x1x3b直线lyx与yf(x相切6（Ⅰ）求a的值（）若方程f(增当a1时减6-5】已知函f(xlnxag(x1x3b直线lyx与yf(x相切6（Ⅰ）求a的值（）若方程f(x)g(x)在(0,)上有且仅有两个解x1x2b的取值范围，并比较ln2ln3lnn（Ⅲ）设n2时，nN* 16（Ⅱ）0bln21【例6-6】已知函数f(x)n∈N+a(1（Ⅱ）当a1nx≥2f(xx1f(x)2a(1x)21n=2f(xaln(x1),(1(12＞1，2a12aa(xx)(xx12.(13当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减2a2a(1ln2a≤0时，f(x)a＞0时，f(x)xf a极值33/1ln(x(11ng(xxln(x(1 x2nn(x 1ln(x(11ng(xxln(x(1 x2nn(x x x (xx∈[2,+∞]时，g(x)单调递增，又1g(xx(x1nf(x≤x-1,＜0，所以只需证ln(x-1)x-(1x21 x x所 当x∈[2，+∞]时，h(x)x1ln(x1)单调递增，又)1a=1f(xln(x(11(1h(xx11ln(x1))x2ln(x1x2, x2h(x)x xh(x)在2,因 1故(16-7】f(xlnxg(x)1x22f(x1)gx)（gx是g(x的导函数）,h(x（1）设h(x)34/b（2）证明:当0baf(abf(2a；（3）设kZ,x1时,不等式k(x1)xf(x3gx4恒成立,kb（2）证明:当0baf(abf(2a；（3）设kZ,x1时,不等式k(x1)xf(x3gx4恒成立,k的最大值解:(1h(xf(x1)g/(x)ln(x1)x2,x1所以h(x1．xx当1x0h(x0x0h(x0h(x在(1,0)上单调递增，在(0x0h(x取得最大值h(0)2b（2）当0ba10由（1）知：当1x0h(x2，即ln(1xxf(abf(2alnabln1babaxlnxx（3）不等式k(x1)xf(x3gx4化为kxxxln所以kxgxxlnx2，令hxxlnx2x1gxxxlnx2xxx10，所以函数hx在1,上单调递增hx11 因为h31ln30,h422ln20所以方程hx0在1,上存在唯一实x0，且满x03,当1xx0时，h(x0g(x0xx0时，h(x0g(x0xln1x上单调递减，在x上单调递gx所以函x00x01lnx0x01x02x025,62xx00所以kg x025,6．故整数k的最大值是535/题型四利用函数单调性解决有关参数问7-1】函fx1x3ax23a2x4在(3,上是增函数，则a3〖解〗3a【例7-2】函数fxax22题型四利用函数单调性解决有关参数问7-1】函fx1x3ax23a2x4在(3,上是增函数，则a3〖解〗3a【例7-2】函数fxax22ln(2x)在(0,2)上是减函数，则a的取值范围 〖解〗ax2（Ⅱ）实数kf(x在区间(2k,4k1) ，f(x)a(x2b)(Ⅰ)已知函f(x).f(xx=1(x2x2a(1b)2aa即f(x).bx2(Ⅱ)f(x4(x214(1x2)0x1(x2(x2f(x)的单调增区间为[1,1]x22k1若(2k,4k1)f(x的单调增区间，则有4k1解得 k24k1k(1,0(2k,4k1)f(x的单调增区间27-4】f(x1x3a1)x2b2x，其中ab3（Ⅰ）当a6,b3f(x（Ⅱ）若任取a[0,4],b[0,3]f(xR（Ⅱ）f(xx22(a1)xb2f(xRxRf(x0恒4(a1)24b20，即(ab1)(ab1)0，设“f(xR上是增函数”A，A{(a,b|(ab1)(ab1)0}36/x(,1(1,f－0+0－f{(a,b)|0a4,0b3411113S7 3【练71.fxx3ax2x1在(21内是减函数，则a {(a,b)|0a4,0b3411113S7 3【练71.fxx3ax2x1在(21内是减函数，则a 〖解〗ax3axa0,a1在区间(10)内单调递增，则fx2.若函数a的取值范围是a2 〖解〗[43.f(x)1x2bln(x2)在(1,上是减函数,则实数b2〖解〗(14.f(x)ln（Ⅰ）f(x在[1,上为增函数，求正实数a（Ⅱ）当a0f(x在1,2)的单调性2〖解〗解：（）a1（Ⅱ）∵f(x)ax1f(x在定义域(0,f(x在(0,1上是减函数，在1,aa当a21,2)1,f(x在1,2)2当0a121a(1,2)221]f(x在1,2)a21111当a2(2)f(x在,]上是减函数f(x)在 2 2a5.f(x)x2bln(x1)，其中b0.f(xb〖解〗1,2)A．有最大值15B．有最大值C．有最小值2D．有最小值—22237/7.fxx2a(x0,aRx（Ⅰ）判断fx的奇偶（Ⅱ）若fx在区间2,是增函数，求实数a的取值范围xaaa7.fxx2a(x0,aRx（Ⅰ）判断fx的奇偶（Ⅱ）若fx在区间2,是增函数，求实数a的取值范围xaaa，（2）设xx≥2，fxfxx x2xxx2 1 1 2xxx121xx≥2xxxx16xx0,x0.fx在区间2, 1 12fx1fx20x1x2x1x2a0恒成立，则a≤16a另解（导数法：f'x2x ，要使fx在区间2,是增函数，只需当x≥2时，f'xa即2x ≥0，则a≤2x316,恒成立，故当a≤16时，fx在区间2,是增函数a8.已知函数f(x) xx（Ⅰ）ylog1[8f(x在[1,上是单调减函数，求实数a3f(x)f(y)(（Ⅱ）设a1xyk实数k的取值范围 (8xa在[1,上为减函数，g(x)xa8在[1,13xx大于0ax8，即ax(x8，则a9又根据题意，g(x)xa8在[1,上xxa增函数，即g/(x)1 0在[1,)上恒成立，ax2，则a1，综上，a[1x1kxk411 f(x)f(y) y)xyxy)2（Ⅱ又xy2kxy(0 41kkm(t)t，t(0 4t38/k1当1 0，即k1时，m(t)在(0 ]上为增函数，无最小值，舍去02420当1k20，即0k1k4kk21k，即0k252时，m(t) ) k1当1 0，即k1时，m(t)在(0 ]上为增函数，无最小值，舍去02420当1k20，即0k1k4kk21k，即0k252时，m(t) ) )，恒成立2①当4 kkk2当 1k4，即 52k1时，m(t)minm(1k)m() )，则不2224 52题型五利用函数的单调性解有关函数的值域8-1】x0时，f(x)x21x3g(xf(x在区间[0,311,[2a〖解〗g(x)f(x2xx2(x1)21，又a1g(x)在区间[，ax1时g(x2 g(1)3，由 得：a当1a3时g(x)3424 当a 时2g(a)2aa25由2aa21解得：a1a5或a1224或a135∴存在满足题意的实数a2际函数具有相同的值域，则我们说这两个函数“”f(x1x3x23x2,g(x)lnxax2a为常数339/(Ⅱ)若函数f(x)的边际函数Mf(x)在区间0,m上有最大3，最小值2，试求实数m的取值范围Mf(x)的值域(Ⅱ)若函数f(x)的边际函数Mf(x)在区间0,m上有最大3，最小值2，试求实数m的取值范围Mf(x)的值域为Mf(xf(xx22x3x1)222，所1又g(x)lnxax2，所以Mg(x)g(x)(lnxax2) 2ax,其中x0x若a0，则易知函数Mg(x) 2ax,在x0上是减函数，其值域为R，不合题意x111若a0，则易知函数Mg(x) 2ax ，x0，其值域为0,，不合题意xxMg(x)12ax212ax2a，由题意得22a2，所以a12xx(Ⅱ)因为Mf(x)f(x) 2x3(x1)22，由二次函数图象可知x若0m1Mf(x在区间0mMf(mMf(1)2，不合若1m2，则函Mf(x)在区间0,1上单调递减，在区间1,m上单调递增，函数最小值在区间1mMf(1)2Mf(mMf(2)3，不合题意；m取值范围为m1m28-3】对于定义域为Dyf(x)，如果存在区间nDf(x在②当定义域是nf(x的值域也是n]．则称（1）yg(x)35不存在“和谐区间x(a2a)xnan（aRa0有“和谐区间a2（3）yx是以任一区间]bx40/， n](n]x0)：（1） n )y35在xg(m)若， n](n]x0)：（1） n )y35在xg(m)若g(n)m、n是方程35xxx23x50无实数根，y35不存在“和谐区间x（2）设 n]是已知函数定义域的子集．x， n](0)(a2a)xa1 n )y在a2 a2f(m)若f(n)a1 x，即a2xa2a)x10m、n是方 a21mn 0，mn同号，只须a2a3)(a1)0，即a1或a3a(nm)24mn 3(1 n]，nm， 23（3）yx2和谐区间为2]、3]，当ab2的区间ysinx和谐区间为[0,1]2y1x2和谐区间为[ 函数的单调与导数的关系练习．充要条件)2f(x)＝(x－3)ex)A．(－∞，2)41/(()A．增函数BD4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是A．y＝sin )D．y＝ln3记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集 ．)()．42/(1)y＝x－ln(1)y＝x－lnx；(2)y＝143/答 1 3答 1 37．解y＝f′(x)的图象可以得到以下信息：x<－2或x>2时，f′(x)<0，－2<x<2 111．解(1)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－x，由y′>0，得x>1；(2)函数的定义域为1x≠0时，y′＝－1<012．解(1)y＝f(x)的图象经过点P(0,2)d＝2，f′(x)>0x<1－2x>1＋f′(x)<01－2<x<1＋44/f(x)＝x3－3x2－3x＋2在(－∞，12)和(1＋2，＋∞)内是增函数，在(1－2)f(x)＝x3－3x2－3x＋2在(－∞，12)和(1＋2，＋∞)内是增函数，在(1－2)内是13．解(1)f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.当m<0时，解得0<x<2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2)．第六的极值和最值与导数的关系题型一判断函数是否有极值、求函数极值的问题【例1】求下列函数的1.yx2〖解〗x1y有极小值3x1y有极大值2.yx3(x〖解〗x5y有极小值0x3y极大值108x0y的极值点3.y3x2(2x〖解〗x1y有极小值3x0y极大值0x0y的极值点4.y|x22|x|3〖解〗x3y极小值0x0y有极小值3,x1y极大值45.f(x)2axa1(a0,x2x2〖解〗当a0f(xf(1)a2f(xf(aaa0f(xf(1)a2f(xf(aa45/【练习1】求下列函数1.y2x36x218x〖解〗x1y有极小值7x3y有极大值2.y3(2xx2【练习1】求下列函数1.y2x36x218x〖解〗x1y有极小值7x3y有极大值2.y3(2xx2〖解〗x0,2y有极小值0x1y极大值3.y3(2xx2〖解〗x0,2y有极小值0x1y极大值14.y1〖解〗x0时，y极大值05.f(xx(xa)2（xR），其中aR．当a0f(x〖解〗f(xx(xa)2x32ax2a2xf(x3x24axa2(3xa)(xaf(x0xaxa．由于a03（1）若a0xf(xf(xxafa，fa4f(xxa333 f(af(a0（2）若a0xf(x46/xaa 3a3 3 f00x 3a3a，a af00a3f(x)xa处取得极小值f(a)，且f(a0；函数f(x)xfa3 fa4a33 6.fxx12blnx，其中b1（1）当b a3f(x)xa处取得极小值f(a)，且f(a0；函数f(x)xfa3 fa4a33 6.fxx12blnx，其中b1（1）当b 2（2）若函数fx有极值点，求b的取值范围及fx的极值点112x2bbx x fxx22x1blnx,f'x2x22（2）设gx2x22xb由11b1时，gx0，f(x)0，f(x)22b1时，gx0,f(x0，f(x)23b1时,由gx0得x212b,即x112bx11122422若0b1,则x，x（0，+），f(x)，f(x)在（0，+）上随x的变化情况如 2f(x)的极大值点是112b，f(x)的极小值点是122 1 1若b0,0122247/x(x1,x2(x2,)f'x00fx增减增f(x)无极大值点，f1111当0b 时，f(x)的极大值点是 ，f(x)的极小值点222当b0时，f(f(x)无极大值点，f1111当0b 时，f(x)的极大值点是 ，f(x)的极小值点222当b0时，f(x)无极大值点，f(x)的极小值点是127.f(xx3mx2nx2的图象过点（-1，-6）g(xf(x6x(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值（－1，－62于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).f′(x)>x>2x<0,f(x)的单调递增区间是（－∞，0（2，＋∞(Ⅱ)由（Ⅰ）f′(x)＝3x(x-2),f′(x)＝0x=0x=2.x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下48/X02(2,++0－0＋x(-∞,-0+0-0+↗↘↗x(0,x2(x2,f'x0a=1a≥3时，f(x)无极值8.f(x)1x3x223（Ⅰ）设{an}nSn，其中1=3.若点(a, 2)(n∈N*) y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也y=f′(x)的图象上〖解〗(Ⅰ)f(x1x3x22,f′(x)=x2+2x,由点(aa2)(nN)在函 3y=f′(x)的图象上, an0(nN以(an1an)(an1an2所所3nn(nf(n,故点(nSSSn,f′(n)=n2+2n,nnn2(Ⅱ)解f(xx22xx(x2,f(x0x0或x2x变化时,f(x)﹑f(x的变化情况如下表(a1)12,①当a12a,即2a1时,f(x)的极大值为f(2)2,f(x3②当a10a,即0a1时,f(xf(0)2,f(x③当a2或1a0或a1时,f(x既无极大值又无极小值题型 利用函数的极值求有关参数问2函数f(x)2x33x2a极大值是6，则a f(xax5bx3c(a0)x140f〖解〗f(x3x55x32(a153.f(x)ax4bx2x,当且仅当x1,x1时取得极值49/1（Ⅱ）若极大值与极小值的和为，求a，b8（2）a1118 ,2b14.已知函数f(x)4x33x2cos ，其中xR,为参数，且02(Ⅰ)当cos0（Ⅱ）f(x的极小值大于0θ1（Ⅱ）若极大值与极小值的和为，求a，b8（2）a1118 ,2b14.已知函数f(x)4x33x2cos ，其中xR,为参数，且02(Ⅰ)当cos0（Ⅱ）f(x的极小值大于0θ求实数a的取值范围〖解〗解：（1）cos0时,f(x12x2总大于或等于0,f(x为增函数,故无极值f(x12x26xcos,f(x0,xcos0.由0及（1）考虑cos0的情况2xf(xf(x2f(xxcosf(cos)1cos3 12242有1cos310，可得0cos1,,(3)由（2）f(x在(,04 2cos,内都是增函数.由题设，函数在(2a1,a内是增函数，则a22a12a1或2a1.a22 2a且∴32cos2155a ，则0cos ∴a ∴a.32288函数，则实数a的取值范围是(,0][58利用函数的极值证明【例3】证明下列不等50/x0(0,cos2(cos,)f0-0fx1.x1ln(1xx成立1x1.x1ln(1xx成立1 3f(x)x(x1)(xa),(a3.设函f/(x)x,x （Ⅱ）f(x1f(x20成立，求a的取值范围〖解〗（1）f(x)3x22(1a)x令f(x)03x22(1a)xa因4(a2a1)4a0,故方程有两个不同实根x1x不妨设x1x2由f(x3(xx1xx2可判断f(x)的符号如下当xx1时,f(x当x1xx2时,f(x当xx2时,f(x)x1是极大值点x2是极小值点（II）f(x1f(x20,x3x3(1a)(x2x2)a(xx) 即(x1x2)[(x1x2)23x1x21a)[(x1x2)22x1x2a(x1x2)x2(1 3又由（I）知axx 3（1+a2a25a2解不等式 a2或a1(舍去2因此,当a2时,不等式f(x1f(x20成立4.已知函数fxexkxx（1）若kefxf(|x|0恒成立，试确定实数k（2）若k0xRn（3）Fxfxf(xF(1)F(2)F(n(en12)2nN解：（1）fxexefx0xx(1,fx0，fx在(1,单调递51/x(,1fx0，fx在(1,单调（2）x(,1fx0，fx在(1,单调（2）f(|x|为偶函数，f(|x|0fx0x0x0时fxexk，令fx0xln（1）当lnk0，即k1fx在(0,lnk)减，在(lnk,fx)minf(lnkkkllnk0，解得1ke，1k（2）当lnk0，即0k1时，fxexk0，fx在[0,上单调递增fx)minf(0)10，符合，0k综上0k（3）F(x)exex,F(1)ee1,F(n)enF(1)F(n)en1e1nen1F(2)F(n1)en1e2ne2ne1nen1F(n)F(1)en1nF(1)F(2)F(n)(en12)Te1ne.∴不等n1对一切nN*都成立∴ 函数的极值和最值与导数的关系练习.)A．1B．2C．3)D．42点52/)A．极大值)A．极大值5，极小值 D．极小值－27f(x)，x∈Rx＝1f(x)存在极小值，则当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0 ) 2；(2)f(x)＝xe22)()D．a>4.153/1 153 (1)f(x)的极值；(2)a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)x13f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其a∈R.2(2)a≠3时，求函数f(x)54/答 答 7．解(1)函数的定义域为，(2)当x＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e－2. 11．解255/115212．解1 5极小值是f(1)＝a－1.(2)由此可知，xf(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0， 55＋a<013．解(1)a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)exf′(1)＝3e.256/22数．函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.2数．函数f(x)x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.函数的极值和最值与导数的关系练习1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别())ln()x357/()43()43222函数f(x)＝xex的最小值 已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围 8y＝x2＋1A2，无最小值)D．无最()221 58/(1)f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1](1)f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值答 7．解由0<lg(2－2x)－lg(x＋1)＝lgx＋1<11<x＋11 11．解(1)f′(x)＝3x2－2ax＋b，2－1＋3＝3b3，.59/要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，c<012．解f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，x＝－2f(x)min＝－40＋a＝－37，得a＝3.当x＝0时，f(x)最大值为3.13．解所以所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；60/所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.函数的极值和最值与导所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.函数的极值和最值与导数的关系练习1f(x＝3x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()B.)()A.33B.3C.D．23)A．24B．72C．144D．2885.512 和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 61/MDABM为顶点且开口256x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．62/答 5．32米，168．解xkm/hax200 x2200)∴f(x)＝a(200xx答 5．32米，168．解xkm/hax200 x2200)∴f(x)＝a(200xxx＝1030<x<10320时，f′(x)<0；1020<x<10031020km/h9．解xa－231V＝3·4(a－23ax2＋12x3)0<x<3＝(a6∴V′＝12(a2－8V′>036x2－8x<3ax>3∴V6a3 3a6∴Vx＝18a63/答截去三个面积都为108a2的四边形时，盒子的容积最答截去三个面积都为108a2的四边形时，盒子的容积最1∴矩形游乐园的面积为S＝|PQ|×|PN|＝(2＋－4y＋4S′＝02 2 |PQ|＝2＋y＝2|PN|＝4－y2＝4－22 max＝3×9＝ 即游乐园的两邻边分别为 256km311．解(1)n个桥墩，964/mn＝xy＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x(2＋ ＋mx256m m(x(2)(1) mn＝xy＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x(2＋ ＋mx256m m(x(2)(1) 2f′(x)＝0，得m求定积分的方曲边梯形的面积牛顿莱布尼茨公式积分公式的性质12 3dx.0lnxe(2)定积 0xdx= 248xdx 30sinxdx.2．21 (1x2dx 34x2dx(2) ；1 65/33-32 2x1dx .〖解 sinxcosxdx 20111121〖解〗 tdt t2|1 2sinxcosxdx 2sinxdsinx sin2x|22002200【例4】 tanxdx44 (0x(133-32 2x1dx .〖解 sinxcosxdx 20111121〖解〗 tdt t2|1 2sinxcosxdx 2sinxdsinx sin2x|22002200【例4】 tanxdx44 (0x(1x5】f(x f(x)dx2.20 〖解〗2f(x)dx1x2dx22x)dx1x3|22x1x2|200111326求定积分的方法练习1.设函数f(x)ax2c(a0). f(x)dxf(x)，0≤x0≤1,则x0的值1.0033a2.已知函数f(a) sinxdx,则f[f()]2 D．0 B．13.已知f(x)为一次函数，且f(x)x21f(t)dt，则f(x) 0x4.已知函数f(x) sintdt,则f[f )] 20〖解〗1x3x2dx的值为）2x54t(2x1)dx，则 02(3xk)dx10,则k 2,0166/2(42x)(43x)dx 20x9.计算 2 02 10.已知f(x) (12t4a)dt,F(a)x0〖解 f(x) (12tx(6t24at)|x6x24ax2(42x)(43x)dx 20x9.计算 2 02 10.已知f(x) (12t4a)dt,F(a)x0〖解 f(x) (12tx(6t24at)|x6x24ax(6x24a2)6x24aF(a) 1[f(x)3a2]1(6x24axa2000a22a2(a1)21当a1时，F(a24x2dx 04x2dx 〖解 0 9x2dx 9〖解〗4ax214.0〖解〗xasintdxacostdt,,x0时t0；当xa时t220a4a2sin2t2aa2x2dx (cost)dtt．22032xt32dx3t2dtx1t0x3x22t323t32x2dx2dt 2063t0 x2sinx．x267/3 |x2|dx 21 (x|x|)dx 2444110〖解〗；解析：(x|x|)dx4xdx (xx)dx x| 2303 |x4|dx 20233ln3e20.求1e|xlx3 |x2|dx 21 (x|x|)dx 2444110〖解〗；解析：(x|x|)dx4xdx (xx)dx x| 2303 |x4|dx 20233ln3e20.求1e|xlxln3ln3l3xlxe|〖解 e|dx ee1e1e1xln3xxx1xx(ln4x)ln34xln4344444|x|dxx|elnx|eln1 elneln1e1e1e1x4444442x[2,x(2,2x321.f(x),当k 时 f(x)dx 21x3〖解〗(1)当2k3时k1舍去(2)当2k2时k0或k第六讲定积分的1】一物体沿直线以速度v(tcost（t的单位为:秒v的单位为:米/秒）动，该物体从时刻t=0秒至时刻 6322-1】yx2y2xx2所围图形的面积68/〖解〗13y2xyx4所围图形的面积2-2】求曲〖解〗182-3】ycosx与ysinx在区间[0,]上所围平面图形的面积〖解〗223】y2xx2〖解〗13y2xyx4所围图形的面积2-2】求曲〖解〗182-3】ycosx与ysinx在区间[0,]上所围平面图形的面积〖解〗223】y2xx2y0xy轴所得旋转体的体积.解(1)x轴:x为积分变量,积分区间为[0,2,在[0,2]上任取一个小区间[xxdx],dVxy2dx(2xx2)2dxVx2(2xx)dx1620(2)y轴dVy(11y2dy(11y2dy41ydy,181ydy 3Vy0定积分的应用练f(x) 3sinxcosxcos2x1.（I）f(x32（II）当x 时，函数f(x)的最大值与最小值的和f(xy63轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积3k(kZ231x1（2）S sin(2x ) dx cos(2x ) |22. 0626469/2.yf(xf(x0f(x2xf(x(Ⅰ)yf(xyx24x1(Ⅱ）求2.yf(xf(x0f(x2xf(x(Ⅰ)yf(xyx24x1(Ⅱ）求函〖解〗解：（）f(xax2bxc.(a0)b24ac得a1,b2,cf(x)x2x22axb2x20 [(x4x1)(x2x22 x33x2)|03由曲线ye2x,x2,y1围成的平面图形的面积等 f(x)ax2bxc，直线l1x2，直线l2y3tx（其中1tt为常数）；.若直线l2与函数f(x)的图象以及直线l1l2与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如阴（Ⅰ）求yf（Ⅱ）求阴影面积stys(t（Ⅲ）若过A(1mm4ys(t),tf(x)3x(x1)3x2y3x2x1t)x0,x10,x21（Ⅱ）由2y2s(t)[3tx(3x23x)]dx[(3x23x)0t23(13(1x2x3[x3x222t01t(1t)326t70/（III）∵s(t)(1t)326ttRs(t)3(1t)26（III）∵s(t)(1t)326ttRs(t)3(1t)26y01x0326x,s(x3(1x)26，故切线的000(1x0)36x0233(1x0)62，整理得2x06x0m0x03A(1,mx0方程2x06x0m0g(x2x36xm，则0x0000000x0,1)1,)时g(x00g(x0在(,1),(1,x01,1)时g(x00g(x0在(1,1)上单调递减x01，∴关x0方程2x36xm0有三个∴函数g(x2x36xm的极00000，解得4m4m的取值范围是4m4g(1)5.已知二次函数f(xax2bxc,直线lyt28t,其中(0t2t为常数l2:x2.1（Ⅱ）求阴影面积St的函数St（Ⅲ）g(x6lnxmmy=fxy=gx的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；得x28xt(t8)0x1tx28t（Ⅱ）由71/l1f（x）的图象的交点坐标为(tt28t)t2S(t) t8t)(x8x)]dx x8x)t22220t[(t28tl1f（x）的图象的交点坐标为(tt28t)t2S(t) t8t)(x8x)]dx x8x)t22220t[(t28t)x(x34x2)]|t[(x34x2)(t28t)x]4t310t216t33303t（Ⅲ）令(x)g(xf(x)x28x6lnxmx＞0f（x）g（x）2个不同的交点，则函数(x)x28x6lnxmx(x2x862x28x62(x1)(x3)(x0).x∈（0，1）(x)xxxx∈（1，3）时，(x0,(x是减函数;x∈（3，+∞）时，(x0,(x是增函数x=1x=3时，(x0(x)极大值为(1)m7;(x)极小值为(3)m6ln315或(3)m7即或m6ln315m6ln315 m7(3)'∴m=7,或m156lnm=7或m156ln3f(xg(x1f6.f(xx(x0)g(xaf(x)(x（Ⅰ）x0yg(x（Ⅱ）若a0yg(x在(0,2，求a（Ⅲ）在（Ⅱ）y2x7yg(x 〖解〗解：（Ⅰ）f(x)lnx,v当x0，f(x)ln 当x0时，f(x)当x0时，f(x)＝1;当x0时，f(x) (1)11x当x0时，函数yg(xxaxx由（1）知当x>0时，g(xxa.当a0x0时，g(x2axax72/y2x221,直线y2x7与函数yg(x) 26（Ⅲ）由解得1xyyx22717S2 x )(x )dx 32y2x221,直线y2x7与函数yg(x) 26（Ⅲ）由解得1xyyx22717S2 x )(x )dx 32 x17.过曲线yx2(x0)上某一点A作一切线l，使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积 ，（Ⅱ）过切点A的切线l ya22a(xa)y2axa2y0xa2411a则 a2 x2dx |a ，∴S ， 02 030 1211∴a1或解：S[a y]dy(ay a ，∴a 3 y2 y2x3011211(2xlx轴的交点为10)，故V1111 xdx (2x1)dx42512 502第七讲导数的综合利用导数研究函数零点的问〖解〗a0a4a0a44a0方程有三个不等实数根，有图像可知原方程不可能无实根.2.x3是函数fxaln1xx210x的一个极值点。（Ⅰ）求a（Ⅱ）求函数fx的单调区间73/yfx3b'3a610 a因此4a（Ⅰ）因为fx'2x101yfx3b'3a610 a因此4a（Ⅰ）因为fx'2x1012x24x（Ⅱ）由（Ⅰ）fx16ln1xx210xx1,f'x1当x 3,时，f'x0，当x1,3时，f'x0所以fx的单调增区间fx的单调减区间是（Ⅲ）由（Ⅱ）知，fx在1,1内单调增加，在1,3内单调减少，在3,上单调增f'x所以fxf116ln29，极小值为当x1或x3时，f3f1f2因此，fe21321121ffx的三个单调区间1,1,1,33,ybyfxf3bf1b的取值范围为32ln221,16ln293.已知函f(x)x28xg(x)6lnxm的图像有且只有两个交点，则实数m〖解〗7或156lnf(x)1x42x32在区间1,1上单调递减，在区间1,22x43（Ⅰ）求实数a的值（Ⅱ）xf(2xm有三个不同实数解，求实数m（Ⅲ）ylogf(xpp2解：（）f(x)在区间1,1上单调递减，在区间1,2上单调递增x1f(1)0a32121f(x) x x x2x432432f(x)x32x2x2x1x2x74/f(1)f(1)5,f(2)8f(x3f(2xm有三个不同实数解，令2xt(t0)，即关于tf(tm∵关xt0,yf(1)f(1)5,f(2)8f(x3f(2xm有三个不同实数解，令2xt(t0)，即关于tf(tm∵关xt0,yf(tym在t0,f(t的图像，观察可得37m35p5.f(x)2a2lnxx2(常数a0)(Ⅱ)当a1时，求曲线yf(x)x1处的切线方程；f(x在区间(1,e2上零点的个数（e为自然对数的底数f(1)2a2ln11011∴无论af(x1)．(Ⅱ)y102a22x2a22(xa)(x(Ⅲ)f(x2a2lnxx2，所以f(x.xxx因为x0，a0，于是当0xa时，f(x)0当xa时，f(x)0 所以f(x)在0,f(aa(2lna1).f(xf2①当a2(2lna ，即0aef(x)(1,e2a2(2lna1)0，即a e时，函数f(x)在(0,)内有唯一零点a，而1af(x在(1,e2ee2③当a2(2l 1)，即a e时，由于f(1)10，f(a)a2(2lna1)0f(e2)2a2lne2e44a2e4(2ae2)(2ae2)，当2ae20时，即ea 时21 ea ),2内有唯一零点x2满足，f(x)在(1,e2)内有两个零点；当2ae20时，即a e时2f(e20，而且f(e2a21ea2e0f(1)10由单调性可知，无ae22ae2f(x在(1,e内有唯一的一个零点，在[ee2f(x在(1,e2内只（f(e0来说明唯一零点在(1,去这2分）e2当0a e时函数f(x)无零点当ae或a 时函数f(x)有一个零点当ea275/f(xfxxa(aR),gxlnxx求函数Fx xgx的单调区间fgf(xfxxa(aR),gxlnxx求函数Fx xgx的单调区间fgxfx2e(ea若关xFx的单调递增区间为0,解:(Ⅰ)当a0114aF当a0函数2114a,2lnaxlnxfx2ex2e2exa解由得hxlnx其值为he1xe时,函数hx取得最大值xemxx22exaxe2ae2xe时,mx取得最小值meae211fx2e当ae2 ,即ae2 eef(x)xg(x)f(xsinx是区间[-1，1求的最大值g(xt2t1在x[1,1]tlnx22exm（3）讨论关于xf7.（1）f(xx,g(xxsinx，g(x)在[1,1]单调递减，g'(x)coxs01，故的最大值为g(1sin1,只需sin1t2t（2）由题意76/(t1)t2sin10（其中1）h(t1)t2sin110(1t(t1)t2sin10（其中1）h(t1)t2sin110(1t1t,而t2tsin10则t1t2sin11 t2tsin1tlnxlnx2ex f(xlnx,f(xx22ex12f xf(x)',1x x0,e)时,'(x)0,f(x)在11xe,f'(x0,f(x)在e,11当xe时,[f f(e)1f(x)xe)2me2 2e当me21,即me21时eeme21,即me21eeme21时me21ee8.已知函数f(xaxx2xlna(a0,a1（Ⅰ）当a1f(x在(0,（Ⅱ）y|f(xt|1有三个零点，求t（Ⅲ）若存在x1,x2[1,1]，使得f(x1)f(x2|e1，试求a由于a1x(0,lna0,ax10f(x0f(x在(0,（Ⅱ）当a0,a1f(0)0f(x在Rx77/x,f(x),f(xy|f(xt|1f(xt1而t1t1，所以tx,f(x),f(xy|f(xt|1f(xt1而t1t1，所以t1(f(x))minf(0)1，解得t 7（Ⅲ）x1x2[1,1]，使得|f(x1f(x2|e1|(f(x))max(f(x))min|(f(x))max(f(x))mine由（Ⅱ）f(x在[1,0]上递减，在[0,1]所以x[1,1f(x))minf(01f(x))maxmaxf(1f11而f(1)f(1)(a1lna)(1lna)a 2lnaag(tt12lnt(t0)g(t)ta211)20（当t1 1tg(tt12lnt在t(0,g(1)0t所以当t1g(t0；当0t1g(t0也就是当a1f(1)f(1)当0a1时f(1)f①当a1时，由f(1)f(0)e1alnae1ae11②当0a1时，由f(1)f(0)e1 lnae10a ae e,e 78/x(,0(0,f－0＋f【练习，a=0时，f（x）=﹣a＜0，f′（x＜0【练习，a=0时，f（x）=﹣a＜0，f′（x＜0在a＞0，f′（x＞0在=f（0）=﹣，π]时，令g（x）=f′（x）=sinx+xcosx，由 ，πg′（x）=cosx﹣xsinx，知（x＞（=079/2.f（x）＝x32.f（x）＝x3＋ax2＋bx＋cx＝－2与x＝13a、b若函数f（x）的图象与