人教版九年级上22.1.1《二次函数》名师教案人教版九年级上册数学

/22.1.1二次函数〔刘佳〕一、教学目标〔一〕学习目标1．能结合具体情境体会二次函数的意义,理解二次函数的概念,掌握二次函数的表达形式.2．会写出实际问题的二次函数关系式,并确定它自变量的取值范围.〔二〕学习重点理解二次函数的概念,掌握二次函数的表达形式.〔三〕学习难点1．能通过生活中的实际问题情境,构建二次函数关系．2．重视二次函数y＝ax2＋bx＋c中a≠0这一隐含条件．二、教学设计〔一〕课前设计1．预习任务我们把形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数,其中ax2为二次项,a为二次项系数；bx为一次项,b为一次项系数；c为常数项.2．预习自测〔1〕以下函数中是二次函数的有〔〕〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点】二次函数的概念【解题过程】〔1〕是二次函数；〔2〕不是整式,故不是二次函数；〔3〕展开后易知是二次函数；〔4〕化简后二次项消掉了,不是二次函数【思路点拨】牢记二次函数的概念,以及隐含条件是解题的关键【答案】B〔2〕在圆的面积计算公式S=πR2中,S与R之间的关系是()A.S是R的正比例函数 B.S是R的一次函数C.S是R的二次函数 D.以上答案都不对【知识点】二次函数的概念【解题过程】由二次函数概念易知【思路点拨】牢记二次函数的概念,以及隐含条件是解题的关键【答案】C〔3〕某物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=4t2+3t,那么当t=5时,该物体所经过的路程为()A.115米 B.75米 C.55米 D.35米【知识点】二次函数表达式【解题过程】将t=5代入易求出S=115.【思路点拨】代数式求值【答案】A〔4〕某商场对原价为800元的某商品进行两次降价,假设设平均每次降价的百分比为,降价后的价格为元,那么与之间的函数关系为()A.B.C.D.【知识点】二次函数表达式【解题过程】由题意平均每次降价百分比为,那么【思路点拨】此题属增长率类应用问题【答案】D〔二〕课堂设计1．知识回忆〔1〕一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,a≠0)〔2〕正比例函数的一般形式是：y=kx(k≠0,k为常数)〔3〕一次函数的一般形式是：y=kx+b(k≠0,k、b为常数)2．问题探究探究一二次函数的概念及其解析式★●活动①通过实例,引入概念师问：请用适当的函数解析式表示以下问题情景中的两个变量y与x之间的关系：〔1〕面积y(cm2)与圆的半径x(cm)；〔2〕菱形的两条对角线长的和为26cm,其中一条对角线长为xcm,菱形面积为ycm2；〔3〕王先生存入银行2万元,先存一个一年定期,一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为x,两年后王先生共得本息和y元.学生抢答：〔1〕；〔2〕；〔3〕师问：上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?归纳：1.二次函数的概念：把形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数,其中：ax2为二次项,a为二次项系数；bx为一次项,b为一次项系数；c为常数项.2.二次函数的解析式：二次函数的一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0).特殊式：(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0,)；(2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0)；(3)y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0).【设计意图】鼓励学生在实际问题中发现数学,并利用已经学过的知识自主类比归纳、发现数学概念,体会从特殊到一般以及分类的思想方法.●活动②例题讲解,应用概念例1：以下函数中,哪些是二次函数？y=2x-1；(2)；(3)y=4x2-3x+1；(4)+4；(5)y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)；(6)y=6x2-3x(1+2x)-5；(7)y=-3x2-x.【知识点】二次函数的概念【解题过程】解:〔1〕是一次函数；〔2〕是二次函数；(3)是二次函数；(4)右边不是整式,不是二次函数；(5)缺条件a≠0,不是二次函数；(6)整理后为y=-3x-5,不是二次函数；(7)是二次函数.【思路点拨】解答这类问题的一般方法是:先把各关系式整理,然后再根据二次函数的定义进行判断.判断时要注意:(1)化简后二次项系数不等于0；〔2〕所表示的函数的关系式为整式.【答案】〔2〕、〔3〕、〔7〕练习：以下函数中是二次函数的有〔〕〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点】二次函数的概念【答案】B【解题过程】〔1〕是；〔2〕右边含分式,不是；〔3〕展开后为,是；〔4〕整理得y=2x-5,不是,应选B【思路点拨】〔1〕要看化简后的结果〔2〕二次函数必须为整式【设计意图】概念是数学的根底,必须牢记,通过对二次函数的判断,让学生准确熟练掌握二次函数的根本概念以及表达式,同时学会注意数学概念需要满足的条件,为后续准确列出二次函数表达式以及研究二次函数的性质打好根底.例2：m取何值时,函数是二次函数？【知识点】二次函数的表达式【解题过程】解:∵函数是二次函数,∴m2-m=2,解得m1=2,m2=-1.但当m=-1时,m2-1=0；而m=2时,m2-1≠0.综上所述,m=2.【思路点拨】解答这类问题,主要是根据二次函数的定义,二次函数的解析式中,自变量的最高次数是2,同时二次项系数不能为零列方程(方程组或不等式)求解.【答案】m=2练习：是二次函数,那么a=_______.【知识点】二次函数的表达式【思路点拨】由题意得a2-2a-1=2,解得a1=3,a2=-1;且a-3≠0,即a≠3.综上所述,a=-1.【答案】a=-1【设计意图】在概念的学习中,要让学生重视二次函数y＝ax2＋bx＋c中a≠0这一隐含条件．探究二利用二次函数的表达式表示实际问题★▲●活动①通过实例,探究归纳例1某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量〔果园最多能种150棵橙子树〕,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.(1)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有橙子树______________棵,这时平均每棵树结橙子_______________个.(2)假设果园橙子的总产量为y个,请你写出y与x之间的关系式,并注明x的取值范围.【知识点】用二次函数表示实际问题并求自变量取值范围．【解题过程】解：〔1〕100+x；600-5x；〔2〕〔0<x≤50〕【思路点拨】认真审题,会用含未知量的式子表示其它的未知量.自变量的取值范围要符合题意.【答案】〔1〕100+x；600-5x；〔2〕〔0<x≤50〕想一想：确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是什么?归纳：确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是：审清题意,找出实际问题中的量〔常量〕和未知量〔变量〕,并分析它们之间的关系,将文字或图形语言转化为数学符号语言.建立二次函数表达式,注意要将表达式化简为y=ax²+bx+c(a≠0)的形式.注意自变量x的取值范围,在一般情况下,二次函数的自变量可以取任意实数,但在实际问题中,自变量的取值范围要使实际问题有意义.练习：某种品牌的服装进价为每件150元,当售价为每件210元时,每天可卖出20件,现需降价处理,且经市场调查发现:每件服装每降价2元,每天可多卖出1件.在确保盈利的前提下,假设设每件服装降价x元,每天售出服装的利润为y元,那么y与x的函数关系式为()A.y=+10x+1200(0<x<60)B.y=-10x+1200(0<x<60)C.y=+10x+1250(0<x<60)D.y=+10x+1250(x≤60)【知识点】用二次函数表示实际问题并求自变量取值范围．【解题过程】解：由题意有:(0<x<60),应选A.【思路点拨】解答这类问题,根据问题的实际,先把其中包含的数量表示出来,再结合题目所给的根本数量关系(如:路程=速度×时间、总价=单价×数量、面积公式、体积公式等),把相等关系表示出来,最后整理即可.【答案】A【设计意图】构造二次函数来表示实际问题,让学生体会到二次函数与生活紧密相连,数学来源于生活又能应用于生活,同时注意用二次函数模型解决实际问题时,自变量的取值范围要符合实际.●活动②变式练习,学会应用例2如下图,一个窗户的上面是半圆,下面是矩形,矩形的一边长1.2m．(1)窗户透光的面积S〔〕关于上面半圆半径r〔m〕的函数关系式；⑵求当上面半圆直径为1m时,窗户的面积.〔〕【知识点】用二次函数表示实际问题,并代入求值．【解题过程】解：⑴⑵当r=1时,【思路点拨】由窗户透光的面积等于半圆面积+矩形面积求【答案】,3.9练习：某村方案建造如下图的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2∶1,沿前侧内墙保存3m宽的空地,其他三侧内墙各保存1m宽的通道,请写出蔬菜种植面积与矩形温室的宽之间的函数关系式.【知识点】用二次函数表示实际问题【解题过程】解:设蔬菜种植区域的面积为ym2,矩形温室的宽为xm,那么矩形温室的长为2xm.根据题意得y=(2x-4)(x-2),即y=2x2-8x+8.【思路点拨】解答这类问题,根据问题先把因变量用含自变量的数量关系表示出来,再整理即可.【答案】y=2x2-8x+8【设计意图】渗透函数思想,建立函数模型.让学生感受到当遇到实际问题时,可以设未知数构造二次函数来解决问题.3.课堂总结【知识梳理】〔1〕二次函数的概念：把形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.〔2〕确定实际问题中二次函数表达式的一般步骤是：①审清题意,分析量和未知量之间的关系,将文字或图形语言转化为数学符号语言；②结合题中的根本数量关系,建立二次函数表达式；③写出自变量x的取值范围.【重难点突破】〔1〕学习二次函数的定义,注意：①等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式；②a,b,c为常数,且a≠0；③等式的右边自变量的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项；④x的取值范围是任意实数.〔2〕判断一个函数是否为二次函数,即要看这个函数的关系式化简后是否同时满足二次函数定义中的三个条件：①所表示的函数的关系式为整式；②函数的关系式有唯一自变量；③关系式自变量的最高次数为2且二次项系数不等于0.〔3〕当二次项系数是待定字母时,求出字母的值必须满足二次项系数不为0这一条件．〔三〕课后作业根底型自主突破1.以下函数中,是二次函数的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【知识点】二次函数的概念【解题过程】①符合二次函数定义,是；②不是整式,故不是；③展开以后是二次函数；④展开以后是二次函数.【思路点拨】牢记二次函数的概念,以及隐含条件是解题的关键【答案】C2.假设是关于x的二次函数,那么()A.m=-1或m=3 B.m≠-1且m≠0C.m=-1 D.m=3【知识点】二次函数的概念【解题过程】①由得m=-1或m=3；②又由得m≠-1且m≠0,故m=3【思路点拨】由二次函数的概念,根据自变量的最高次数为2,二次项的系数不能为0,列式求解.【答案】D3.中,,直角边长的和为20,设AC=x,那么〔〕A.y=-x2+10x B.y=-x2+20x C.y=x2+20x D.y=x2+20x【知识点】二次函数的表达式【解题过程】【思路点拨】根据三角形面积公式列出函数式【答案】A4.二次函数y=x2+3x-9的函数值是19,那么对应的x的值是〔〕A.-7 B.4 C.4或-7 D.-4或7【知识点】二次函数的表达式,函数值的概念【解题过程】由题意有,解得【思路点拨】由函数值的概念,利用一元二次方程求解【答案】C5.二次函数,当x＝-2时,y＝-15,那么这个二次函数解析式为．【知识点】二次函数的表达式【解题过程】将x＝-2,y＝-15代入得【思路点拨】代数式求值【答案】6.如图,用长36米的竹篱笆围成一个一边靠墙〔墙长15米〕的矩形养鸡场ABCD,设AB边长为x米,那么养鸡场的面积y〔m2〕与x〔m〕的函数关系式为______________________〔写出自变量x的取值范围〕.【知识点】二次函数的表达式【解题过程】【思路点拨】根据矩形面积公式列出二次函数关系式,并注意隐含条件是解题的关键【答案】能力型师生共研7.判断以下函数是否为二次函数.如果是,写出其中、、的值.【知识点】二次函数的概念【解题过程】答：①是,a=-3,b=0,c=1；②是,a=1,b=-5,c=0；③不是,因为不是整式；④不是,因为化简后没有二次项；⑤不是,因为不是整式；⑥不是,因为二次项系数可能为0.【思路点拨】牢记二次函数的概念,以及隐含条件是解题的关键【答案】①②是,③④⑤⑥不是8.函数〔m是常数〕.①m为何值时,它是二次函数？②m为何值时,它是一次函数？【知识点】二次函数、一次函数的概念【解题过程】①由得又,所以；②情况一：,即；情况况二：,解得【思路点拨】牢记二次函数、一次函数的概念,以及隐含条件是解题的关键【答案】①m=5；②m=-2或探究型多维突破9.某商场销售一批名牌运动服,平均每天可售出18件,每件赢利30元．为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施．经调查发现,如果每件运动服每降价2元,那么商场每天可多售出4件．设每件运动服降价x元,那么降价后每件运动服赢利________元,商场平均每天可售出运动服________件；如果设商场每天赢利y元,那么y与x的函数关系是________,y是x的________次函数．【知识点】二次函数的应用【解题过程】降价后每件运动服赢利元,每天售出件,故,是二次函数【思路点拨】根据总利润=每件利润×件数列出函数式.【答案】,,,二10.如图,在△ABC中,∠B=90°,AC=cm,BC=2AB,动点P从点A开始沿边AB向B以2cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以4cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发,设运动的时间为xs,四边形APQC的面积为ycm2.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求自变量x的取值范围；(3)四边形APQC的面积能否等于172cm2.假设能,求出运动的时间；假设不能,说明理由.【知识点】二次函数的综合应用【解题过程】〔1〕在△ABC中,∠B=90°,AC=,BC=2AB,∴AB=12,BC=24.由运动可知,AP=2x,BQ=4x,那么y=BC·AB-BQ·BP=×24×12-·4x·(12-2x),即y=4x2-24x+144.(2)∵0＜AP＜AB,0＜BQ＜BC,∴0<x<6.(3)解：当y=172时,4x2-24x+144=172.解得x1=7,x2=-1.又∵0<x<6,∴四边形APQC的面积不能等于172cm2.【思路点拨】根据实际问题分析题意、找出数量关系是列出二次函数的关键；此外,应该注意自变量的取值范围一定要使问题有意义.【答案】(1)y=4x2-24x+144.(2)0<x<6(3)不能自助餐1.以下函数表达式中,一定为二次函数的是〔〕A.y＝3x－1B.y＝ax2+bx+cC.s＝2t2－2t+1D.y＝x2+【知识点】二次函数的概念【解题过程】1、整式；2、二次；3、二次项系数不为0,故用排除法选C【思路点拨】牢记二次函数的概念,以及隐含条件是解题的关键【答案】C2.函数y＝(m2+m)x2+mx+4为二次函数,那么m的取值范围是〔〕A.m≠0B.m≠－1C.m≠0,且m≠－1D.m＝－1【知识点】二次函数的概念【解题过程】由题得m≠0,且m≠－1【思路点拨】由二次函数的概念,二次系数不能为0,建立不等式求解【答案】C3.某初级中学有m个班举行篮球比赛,每班派一个队参赛,采用单循环赛〔即每两个球队间都要进行一场比赛〕,那么比赛的场次数s与m之间的关系式是_____________.【知识点】二次函数的表达式【解题过程】【思路点拨】由比赛的场次数=参赛队数×〔参赛队数-1〕÷2列式【答案】4.如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠ADC=90°,AB=12,AD=8,CD=6,点E、G分别在线段AD、DC上,BF=AE=DG=x,那么四边形的面积之间的函数关系式为,自变量的