数学（文）：课时作业12 函数模型及应用 作业

课时作业12函数模型及应用一、选择题1．下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是()x45678910y15171921232527A.一次函数模型 B．二次函数模型C．指数函数模型 D．对数函数模型解析：由表中数据知x，y满足关系y＝13＋2(x－3)．故为一次函数模型．答案：A2．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是()A．不能确定 B．①②同样省钱C．②省钱 D．①省钱解析：方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元)方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元)因为210<211.6，故方法①省钱．答案：D3．一个人以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25m时，交通灯由红变绿，汽车以1m/s2的加速度匀加速开走，那么()A．人可在7s内追上汽车B．人可在10s内追上汽车C．人追不上汽车，其间距最少为5mD．人追不上汽车，其间距最少为7m解析：设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝eq\f(1,2)t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝eq\f(1,2)t2－6t＋25＝eq\f(1,2)(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值为7.答案：D4．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.eq\f(p＋q,2) B.eq\f(p＋1q＋1－1,2)C.eq\r(pq) D.eq\r(p＋1q＋1)－1解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p＋1)(q＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(p＋1)(q＋1)，解得x＝eq\r(p＋1q＋1)－1，故选D.答案：D5．(2018·石家庄质量检测(二))李冶(1192—1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)()A．10步，50步 B．20步，60步C．30步，70步 D．40步，80步解析：设圆池的半径为r步，则方田的边长为(2r＋40)步，由题意，得(2r＋40)2－3r2＝13.75×240，解得r＝10或r＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步，故选B.答案：B6．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02eq\s\up15(－eq\f(t,30))，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝()A．5太贝克 B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克 D．150太贝克解析：由题意M′(t)＝M02eq\s\up15(－eq\f(t,30))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,30)))ln2，M′(30)＝M02－1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,30)))ln2＝－10ln2，∴M0＝600，∴M(60)＝600×2－2＝150.故选D.答案：D二、填空题7．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是______元．解析：设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.答案：1088．某人根据经验绘制了2017年春节前后，从1月21日至2月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10＝k＋b，,30＝10k＋b，))解得k＝eq\f(20,9)，b＝eq\f(70,9)，所以y＝eq\f(20,9)x＋eq\f(70,9)，则当x＝6时，y＝eq\f(190,9).答案：eq\f(190,9)9．已知某驾驶员喝了m升酒后，血液中酒精的含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x－2，0≤x≤1，,\f(3,5)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，x>1，))《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量应不超过0.02毫克/毫升．则此驾驶员至少要过________小时后才能开车．(精确到1小时)解析：驾驶员醉酒1小时血液中酒精含量为5－1＝0.2，要使酒精含量≤0.02毫克/毫升，则eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x≤0.02，∴x≥log330＝1＋log310>1＋log39＝3，故至少要4个小时后才能开车．答案：4三、解答题10．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为eq\f(y,x)(万元)．则eq\f(y,x)＝eq\f(x,5)＋eq\f(8000,x)－48≥2eq\r(\f(x,5)·\f(8000,x))－48＝32，当且仅当eq\f(x,5)＝eq\f(8000,x)，即x＝200时取等号．所以年产量为200吨时，每吨产品的平均成本最低，为32万元．(2)设年获得总利润为R(x)万元，则R(x)＝40x－y＝40x－eq\f(x2,5)＋48x－8000＝－eq\f(x2,5)＋88x－8000＝－eq\f(1,5)(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．因为R(x)在[0,210]上是增函数，所以x＝210时，R(x)有最大值，为－eq\f(1,5)(210－220)2＋1680＝1660.所以年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．11．某种出口产品的关税税率为t，市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：p＝2(1－kt)(x－b)2，其中k，b均为常数．当关税税率t＝75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．(1)试确定k，b的值．(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x近似满足关系式：q＝2－x，当p＝q时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．解：(1)由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝21－0.75k5－b2，,2＝21－0.75k7－b2，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－0.75k5－b2＝0，,1－0.75k7－b2＝1.))解得b＝5，k＝1.(2)当p＝q时，2(1－t)(x－5)2＝2－x，所以(1－t)(x－5)2＝－x⇒t＝1＋eq\f(x,x－52)＝1＋eq\f(1,x＋\f(25,x)－10).而f(x)＝x＋eq\f(25,x)在(0,4]上单调递减，所以当x＝4时，f(x)有最小值eq\f(41,4)，故当x＝4时，关税税率的最大值为500%.1．(2017·新课标全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析：通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，从图观察C是正确的，D也正确，1～6月比较平稳，7～12月波动比较大．答案：A2．在翼装飞行世界锦标赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v(x)与时间x的关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图象是()解析：由题意可得，当x∈[0,6]时，翼人做匀加速运动，v(x)＝80＋eq\f(40,3)x，“速度差函数”u(x)＝eq\f(40,3)x.当x∈[6,10]时，翼人做匀减速运动，速度v(x)从160开始下降，一直降到80，u(x)＝160－80＝80.当x∈[10,12]时，翼人做匀减速运动，v(x)从80开始下降，v(x)＝180－10x，u(x)＝160－(180－10x)＝10x－20.当x∈[12,15]时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”u(x)＝160－60＝100，结合所给的图象，故选D.答案：D3．(2017·北京卷)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是________；②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是________．解析：①设线段AiBi的中点为Ci(xi，yi)，则Qi＝2yi(i＝1,2,3)．因此只需比较C1，C2，C3三个点纵坐标的大小即可．不难发现y1最大，所以Q1最大．②由题意，知pi＝eq\f(yi,xi)(i＝1,2,3)．故只需比较三条直线OC1，OC2，OC3的斜率即可，发现p2最大．答案：①Q1②p24．某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超过4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表：月用水量x(吨)34567频数13332请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：月用水量x(吨)1234567频数10201616151310据此估计该地“节约用水家庭”的比例．解：(1)y关于x的函数关系式为y＝eq\b\