工程力学-弯曲应力

弯曲应力1、平面弯曲梁横截面上的正应力计算。正应力公式是在梁纯弯曲情况下导出的，并被推广到横力弯曲的场合。横截面上正应力公式为横截面上最大正应力公式为2、横力弯曲梁横截面上的切应力计算，计算公式为该公式是从矩形截面梁导出的，原那么上也适用于槽形、圆形、工字形、圆环形截面梁横截面切应力的计算。3、非对称截面梁的平面弯曲问题，开口薄壁杆的弯曲中心。4、梁的正应力强度条件和切应力强度条件为根据上述条件，可以对梁进行强度校核、截面设计和容许荷载的计算，与此相关的还要考虑梁的合理截面问题。5、梁的极限弯矩解题范例解题范例6.1图6-6所示简支梁用其56a号工字钢制成，试求此梁的最大切应力和同一截面腹板局部在与翼板交界处的切应力。[解]作剪力图如图(c).由图可知，梁的最大剪力出现在AC段，其值为利用型钢表查得，56a号工字钢,最大切应力在中性轴上。由此得以下求该横截面上腹板与翼板交界处C的切应力。此时是翼板面积对中性轴的面积矩，由横截面尺寸可计算得 由型钢表查得,腹板与翼板交界处的切应力为 长为的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，b＝120mm，h＝180mm、＝2m，F＝1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。图图[解]B截面的弯矩为a点的正应力B点在中性轴上,其正应力.c点的正应力为〔压〕图6.3(a)示为一工字形钢梁，受力如图6.3(a)示，钢的容许弯曲应力为，容许切应力为。试选择工字钢的型号。kN〔kN〔b〕〔c〕[解]首先将梁简化为简支梁,作出剪力和弯矩图如(b)(c)，先按正应力强度条件选择截面,因梁的最大弯矩为根据,可计算梁截面的截面模量，应为 由型钢表查得最接近这一要求的是56b号工字钢，其截面模量为由于在规定材料的容许应力时，为材料留有一定的平安裕度，所以只要超出容许应力不是很大(一般5%在之内),选用小一号的截面是充许的，这里56b号工字钢截面模量比所需要的相差不到1%，相应地，最大正应力也将不会超出容许应力1%，因此可以采用。进行切应力强度校核:梁的最大剪力为利用型钢表查得，56b号工字钢的,最大切应力为显然，这个最大切应力小于容许切应力，切应力强度条件满足。实际上，前面已经讲到，梁的强度多由正应力控制，故在按正应力强度条件选好截面后，在一般情况下不需要再按切应力进行强度校核。T字形截面铸铁梁受力如下图，材料的拉、压容许应力分别为，。已经给出了截面的局部尺寸，试按合理截面的要求确定尺寸，并按所确定的截面尺寸计算梁的容许荷载。[解]为了到达合理截面要求，必须使同一横截面上的最大拉应力和最大压应力之比等于相应的拉、压容许应力之比，这样当荷载增大时，截面上的最大拉应力和最大压应力将同时到达容许应力，受拉区和受压区的材料可以同样程度地发挥潜力。根据给定条件可知，所以同一截面上应有由图6.4(c).由于正应力在横截面上按直线分布，由几何关系可确定中性轴的位置为 由于中性轴是通过形心的，根据形心计算公式，可建立与截面几何尺寸关系式为 将代入上式可解得。下面确定梁的容许荷载：首先计算截面惯性矩,由于T形截面可划分为两个矩形，由几何关系可求得两矩形形心相对于中性轴位置如图6.4(c),利用平行移轴定理可解出最大弯矩出现在跨中，即最大拉应力为根据强度条件故有可解得故按拉应力强度条件可确定梁的容许荷载为85kN，由于梁的截面尺寸是按最大拉应力和最大压应力同时到达相应容许应力的条件确定的，所以按压应力强度条件也会求得同样的容许荷载。由于与上题同样的考虑，对于所确定的容许荷载，不需要再进行切应力强度校核。习题解析习题解析6.1长度为250mm，截面尺寸为h×b=O.8mm×25mm的薄钢尺，由于两端外力偶的作用而弯成中心角为的圆弧,弹性模量E=2.1×105MPa。试求钢尺横截面上的最大正应力。[解]厚度为h=1.5mm的钢带,卷成直径为D=3m的圆环,求此时钢带横截面上的最大正应力。钢的弹性模量E=2.1×l05MPa。[解]因为所以6.3直径为d的钢丝，其名义流动极限为。现在其两端施加外力偶使弯成直径为D的圆弧。试求当钢丝横截面上的最大正应力等于时D与d的关系式。并据此分析为何钢丝绳要用许多高强度的细钢丝组成。[解]所以由上可见,细钢丝强度越大,E越大,D越大,抗弯刚度大.6.4截面形状及所有尺寸完全相同的一根钢梁和一根木梁,如果所受外力也相同．那么内力图是否相同?它们的横截面上的正应力变化规律是否相同?对应点处的正应力与纵向线应变是否相同?[解]因,且钢梁与木梁截面尺寸一样及所受外力相同，所以其内力及横截面的正应力变化规律相同。又因,钢梁与木梁的弹性模量不同，所以对应点处的正应力与纵向线应变不相同。6.5一根25a号槽钢，在纵向对称平面内受矩为Me=5kN·m的一对外力偶作用,如图(a)所示。试求截面上A、B、C、D四点处的正应力。假设力偶仍作用于铅垂平面内,但将槽钢绕其轴线转，如图6.6(b)所示，那么此四点处的正应力又如何?图6.5[解]因为两种情况下各横截面上的弯矩m都等于外力偶矩Me,但(a)和(b)的惯性矩Iz不同,按应力公式,故有对于图〔a〕:(压力)(拉力)(拉力最大)对于图〔b〕:(A点是压力最大,D点为拉力最大)6.6矩形截面的悬臂梁，受集中力和集中力偶作用．如图6.7所示。试求I—I截面和固定端Ⅱ一Ⅱ截面上A、B、c、D四点处的正应力。图[解]I-I截面,弯矩为,II-II截面,弯矩为对于I-I截面:(A点压力最大,D点为拉力最大)(拉力)对于II-II截面:(A点拉力最大,D点为压力最大)(压力)6.7一外径为250mm，壁厚为lOmm，长度L=12m的铸铁水管，两端搁在支座上，管中充满着水，如图6.8所示。铸铁的容重，水的容重。试求管内最大拉、压正应力的数值。图6.7[解]铸铁水管上的荷载集度q6.8对于横截面边长为b×2b的矩形截面梁，试求当外力偶矩分别作用在平行于截面长边及短边之纵向对称平面内时,梁所能承当的容许弯矩之比，以及梁的抗弯刚度之比。[解]因梁所能承的容许弯矩之比：抗弯刚度之比图6.8示一由16号工字钢制成的简支梁，其上作用着集中荷载P,在截面c-c处梁的下边缘上,用标距s=20mm的应变计量得纵向伸长△S=0.0O8mm。梁的跨长L=,a=1m×105MPa试求p力的大小。AABPacc图[解]因C截面的弯矩查表得16号工的,代入后得简支梁的荷载情况及尺寸如下图，试写出梁下边缘总伸长的表达式。zzybhO图BAL[解]支座反力简支梁由22b号工字钢制成，受力如图6．10所示，P=150kN,材料的容许应力[σ]=170MPa，试校核梁的正应力强度。图图PAB[解]支座反力最大弯矩在集中力作用处,其值为满足要求由两根36号槽钢组成的梁，如下图。：P=44kN，q=1kN／m,如钢的容许应力[σ]=170MPa，试校核此粱的正应力强度。zzyBA6×1=6mppppp图[解]支座反力查表得36号槽钢跨中弯矩最大，其值为不满足要求6.13一简支木梁受力如图6.12所示，荷载P=5kN,距离a=，材料的容许应力[σ]=10MPa．横截面为h/b=3的矩形,试按正应力强度条件确定此梁横截面尺寸。aaaPPABCDbhOzy图[解]支座反力跨中弯矩最大，其值为,取。6.14一矩形截面简支梁系由圆柱形木料锯成图6.13,P=5kN，a=，[σ]=10MPa。试确定抗弯截面模量为最大时矩形截面的高宽比h/b，以及锯成此梁所需木料的最小直径d。PPakN.m图[解]1、支座反力2、确定WZ最大时的h/b由得，3、确定圆木直径d5当荷载P直接作用在跨长为L=6m的简支梁AB之中点时，梁内最大正应力超过容许值30％。为了消除此过载现象．配置了如图6.14所示的辅助梁CD，试求此辅助梁的最小跨长a。[解]不设辅梁时,最大弯矩在跨中,其值为最大正应力设辅梁时,跨中最大弯矩为(减小)最大正应力解得.6.1640a号工字钢制成的长为L=6m的悬臂梁，在自由端受一集中荷载P作用。材料的容许应力[σ]=170MPa,考虑自重对强度的影响，试按正应力强度条件计算此梁的容许荷载P。[解]查表得40a号工字钢的每米长的质量为,均布荷载支座处弯矩最大为由解得6.17一根简支木梁,在全梁长度上受集度为q=5kN／m的均布荷载作用。跨长L=7.5m.截面尺寸为宽度b=300mm，高度h=180mm[解]1、支座反力2、6.18由工字钢制成的简支梁受力如下图。材料