排列组合归纳总结

PAGEPAGE4排列、组合及二项式定理一、计数分类加法计数原理和分步乘法计数原理→1.分类加法计数原理定义完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么，完成这件事情共有N＝m1+m2+…+mn种不同的方法．2．分步乘法计数原理定义完成一件事情需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法,做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法,那么完成这件事共有N＝m1m2…m3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理区别与联系联系；都涉及完成一件事情的不同方法的种数．区别：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．4.分类分步标准分类就是一步到位，(1)类与类之间要互斥；（2）总数完整。分步是局部到位，（1）按事件发生的连贯过程进行分步；（2）步与步之间相互独立，互不干扰；（3）保证连续性。→排列与组合1．排列（1）排列定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（2）排列数公式：Aeq\o\al(m,n)＝=n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或写成Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,(n－m)！).特殊:Ann=n!=n(n-1)!（3）特征：有序且不重复2.组合（1）组合定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．（2）组合数公式：Ceq\o\al(m,n)＝=eq\f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)或写成Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！(n－m)！).(3)组合数的性质①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).（4）特征：有序且不重复3.排列与组合的区别与联系：区别：排列有序，组合无序联系：排列可视为先组合后全排4.基本原则：（1）先特殊后一般；（2）先选后排；（3）先分类后分步。→排列组合的应用（常用方法：直接法，间接法）1.抽取问题：（1）关键：特殊优先；（2）题型：①把n个相同的小球，一次性的放入到m个不同的盒子中（n≤m），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Cmn②把n个相同的小球，依次性的放入到m个不同的盒子中（n≤m），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Amn③把n个相同的小球，放入到m个不同的盒子中（n≤m），每个盒子放球数目不限，有多少种不同的方法？mn④把n个不同的小球，放入到m个不同的盒子中（n≤m），每个盒子至少1个，有多少种不同的方法？Amn⑤把n个相同的小球，依次性的放入到m个不同的盒子中（n≥m），每个盒子至多1个，有多少种不同的方法？Cn-1m-12.排序问题：特殊优先（1）排队问题：①对n个元素做不重复排序Ann;②对n个元素进行（其中有m个元素的位置固定）排列;如果对n个元素进行（其中有m个元素的位置固定,k个元素的位置固定）排列;④a0+a2+a4+…=⑤a1+a3+a5+…=⑥(a0+a2+a4+…)2-(a1+a3+a5+…)2=f(1)f（-1）。（2）已知多项式f(x)=(a-bx)n(a,b>0)=a0+a1x+a2x2+…+anxn:①a0=f（0）②a0+a1+a2+…+an=f(1)=(a-b)n;③|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|=f(-1)=(a+b)n;④a0+a2+a4+…=⑤a1+a3+a5+…=⑥(a0+a2+a4+…)2-(a1+a3+a5+…)2=f(1)f（-1）。(3)已知多项式f(x)=(ax-b)n(a,b>0)=a0+a1x+a2x2+…+anxn:令g(x)=（-1）n(b-ax)n①a0=f（0）②a0+a1+a2+…+an=f(1)=(a-b)n;③|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|=|(-1)n|g(-1)④a0+a2+a4+…=⑤a1+a3+a5+…=⑥(a0+a2+a4+…)2-(a1+a3+a5+…)2=f(1)f（-1）。(4)已知多项式f(x)=(-ax-b)n(a,b>0)=a0+a1x+a2x2+…+anxn:令g(x)=（-1）n(ax+b)n①a0=f（0）②a0+a1+a2+…+an=f(1)=(a-b)n;③|a0|+|a1|+|a2|+…+|an|=|(-1)n|g(1)④a0+a2+a4+…=⑤a1+a3+a5+…=⑥(a0+a2+a4+…)2-(a1+a3+a5+…