专题02 直线与圆锥曲线的位置关系（教师版）2024高考数学复习满分突破

第第页专题02直线与圆锥曲线方程直线与椭圆方程第一步：代入消元，联立化简：第二步：计算判别式；可直接利用结论：（范围、最值问题）第三步：根与系数关系表达式；，第四步：利用，计算第五步：利用，计算第六步：利用，，计算弦中点第七步：利用,计算弦长和的面积进而计算原点到直线的距离第八步:利用,，计算第九步：利用,计算直线与双曲线方程直线与抛物线方程例1.（1）、（2021·江西高安中学高二期中）（直线与椭圆的位置关系）直线被椭圆截得最长的弦为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】联立直线方程和椭圆方程，解方程可得两根，运用弦长公式，结合配方法，以及二次函数的最值求法，可得答案【详解】解：联立直线和椭圆，可得，解得或，则弦长，令，则，当，即，取得最大值，故选：B（2）、（2020·安徽省宣城市第三中学高二月考）（直线与椭圆的位置关系）若曲线C：和直线l：只有一个公共点，那么k的值为（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】将直线方程与曲线的方程联立得到关于的一元二次方程，然后根据求解出的值.【详解】联立直线与曲线的方程，所以，所以，所以，所以，故选：D.【点睛】思路点睛：直线与椭圆方程联立，可通过所得的一元二次方程的与的大小关系判断直线与椭圆的交点个数：当时，直线与椭圆有两个交点；当时，直线与椭圆有一个交点；当时，直线与椭圆没有交点.（3）、（2022·重庆一中高二阶段练习）已（直线与双曲线的位置关系）知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出的值即可【详解】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为；由，消去整理得．①当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意；②当即时，由，解得，此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意，综上所述：符合题意的的所有取值为或，故选：D（4）、（2022·湖北孝感·高三阶段练习）（直线与抛物线的位置关系）已知拋物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，于点B，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图示，求出抛物线的准线和焦点，利用抛物线定义可知，可推出，从而求得，解直角三角形即可求得答案.【详解】设抛物线准线与x轴交点为D，焦点，由于点A在C上，，故,因为，所以，而x轴，所以,而,所以，故选：B【小试牛刀1-1】、（2021·全国高三其他模拟）（直线与椭圆的位置关系）已知为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点.若，则实数的值为___________.【答案】【分析】依题意联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，即可得到，再根据，则，即可得到方程，解得即可；【详解】解：依题意联立直线与椭圆方程，消去并整理得，解得或，不妨取，则，，，所以，，又，所以，因为，所以，即，即所以，解得故答案为：【小试牛刀1-2】、（2019·象州县中学高二月考（文））（直线与椭圆的位置关系）直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得直线恒过定点，由题意可得在椭圆内或椭圆上，注意，可得所求范围．【详解】解：直线恒过定点，焦点在轴上的椭圆，可得，①由直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，可得在椭圆上或椭圆内，即有，解得，②由①②可得．故选：C．【小试牛刀1-3】、（2022·四川·高三阶段练习）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据双曲线的定义及求出，利用勾股定理可求结果.【详解】如图，设，则．又，所以，所以．又，所以，由，得，则，而，则，化简得，所以．【小试牛刀1-4】、（2022·江西·临川一中高三阶段练习）（直线与抛物线的位置关系）过抛物线C：焦点F且斜率为的直线与C交于A、B两点（点A在x轴上方），已知点，则（

）A． B．4 C． D．9【答案】D【分析】由题可得，联立抛物线方程可得，然后利用两点间距离公式即得.【详解】由题可得，故直线，即，由，可得，解得或，又点A在x轴上方，所以，又，∴，，所以.故选：D.例2．（2020·安徽省淮北市高三一模（理）（直线与椭圆的位置关系）已知椭圆过点离心率为.（1）求的方程；（2）如图，若菱形内接于椭圆，求菱形面积的最小值.【答案】（1）；（2）4【解析】（1）由题意得又解得，.所以的方程为（2）①当与轴或轴重合时，可求菱形的面积为；②当为时，为，由得，所以由弦长公式得，同理可得所以菱形的面积为∵∴，当且仅当时取等号.∵∴菱形面积的最小值为4。例3．（2021·上海市松江二中高二月考）（直线与椭圆的位置关系）已知曲线，直线与曲线交于A，D两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C.记△OAD的面积S1，四边形ABCD的面积为.（1）当点B坐标为时，求k的值；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据题意得出点的横坐标为，代入曲线求出点的纵坐标；把点的坐标代入直线方程即可求出.（2）由题意可求出的取值范围；把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及弦长公式可求，从而求出；利用直角梯形的面积公式可求；由的范围，即可求出的最小值.【详解】（1）当点B坐标为时，点的横坐标为，把代入曲线得，即，又因为点在直线上，所以，即.所以k的值为.（2）由，得，当直线过椭圆的左右顶点时，，因为直线与曲线有两个交点，所以，即，设，则，，所以，又原点到直线的距离为，所以，又因为，所以，因为，所以，所以的最小值为.例4．（2022·江苏南京·高三阶段练习）（直线与双曲线的位置关系）已知双曲线：的焦距为4，且过点(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比.【答案】(1)(2)3【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从而可求出双曲线方程，（2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点的坐标，再利用表示出点的坐标，再表示出直线的方程，可求得直线过定点，从而可求得答案.（1）由题意得，得，所以，因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线方程为，（2），设直线方程为，，由，得则，所以，所以的中点，因为，所以用代换，得，当，即时，直线的方程为，过点，当时，，直线的方程为，令，得，所以直线也过定点，所以例5．（2022·全国·高三专题练习）（直线与双曲线的位置关系）设双曲线的方程为，、为其左､右两个顶点，是双曲线上的任意一点，引，与交于点，求点的轨迹方程．【答案】（除点外）．【分析】，设，进而结合建立方程并整理即可得，（），最后检验点即可.【详解】解：根据题意，设，∵，∴∴，（），两式相乘得①∵，∴，代入①得，∴，即，（）经检验点不满足，不合题意，∴点的轨迹方程为（除点外）．

1．（2021·保定市第二中学高二期末）过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于两点，设O为坐标原点，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意求出直线的方程，设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系可得，，再计算的值即可.【详解】由可得，可得，即，所以左焦点，且直线斜率为，所以直线的方程为，设，，由可得，可得，，，，所以，故选：C.2.（2020·安顺经济技术开发区大洋实验学校高二期中（文））如图，已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围（）A．[-1，1] B． C． D．(-1，0)【答案】B【分析】欲求点横坐标的取值范围，从函数思想的角度考虑，先将其表示成某一变量的函数，后求函数的值域，这里取直线的斜率为自变量，通过解方程组求得点横坐标（用表示），再求其取值范围．【详解】解：设直线的方程为，代入，整理得．直线过椭圆的左焦点，方程有两个不等实根．记，，，，中点，，则，，的垂直平分线的方程为．令，得．，，点横坐标的取值范围为．故选：B【点睛】本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力，直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常是先联立组成方程组，消去（或，得到（或的方程．我们在研究圆锥曲线时，经常涉及到直线与圆锥曲线的位置关系的研究．主要涉及到：交点问题、弦长问题、弦中点（中点弦）等问题，常用的方法：联立方程组，借助于判别式，数形结合法等．3．（2022·河南安阳·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点A，B在C上（A在第四象限，B在第一象限），满足，且，则直线AB的斜率为（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】过作准线的垂线交准线于点，过作准线的垂线交准线于点，过点作的垂线交于点，设，然后可推出、，然后由直线AB的倾斜角与相等可求出答案.【详解】过作准线的垂线交准线于点，过作准线的垂线交准线于点，过点作的垂线交于点，因为，所以设，则，，，因为，所以，所以在中有，所以，因为直线AB的倾斜角与相等，所以直线AB的斜率为，故选：A4．（2022·江西省临川第二中学高二阶段练习）已知椭圆，过左焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，（点A在x轴上方），若，则直线的斜率的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出直线方程为，．直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得，再转化为，由得，与消去得的方程，解方程可得，注意．【详解】由已知，所以，设直线方程为，．由得，则，，①，②，，则，③，③代入①得，④，③代入②得⑤，④⑤消去并整理得，由于在轴上方，所以，所以．故选：A．5．（2022·重庆一中高二阶段练习）已知椭圆的两个焦点为，过的直线与交于两点.若，的面积为，则的值为（

）A．4 B．3 C．5 D．6【答案】C【分析】设，再根据椭圆定义得到焦点弦三角形三边，利用余弦定理和三角形面积公式，得到，再根据之间关系则求出值.【详解】由题意设，，，，，根据椭圆定义，即，则，，所以，，，即，解得，，，故选：C.6．（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（

）A．16 B．14 C．12 D．10【答案】A【分析】设的方程为，，，直线方程代入抛物线方程用韦达定理是，由弦长公式求得弦长，由垂直得方程，同理可得，求出，应用基本不等式可得最小值．【详解】因为两条互相垂直的直线均过，且所以设的方程为，，，联立，故，．则，同理，，当且仅当时，取“”，故选：A【点睛】关键点点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．7．（2022·全国·高三专题练习）已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，若，且的面积为，则A．2 B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】先根据椭圆的几何性质求得，设出，，利用余弦定理可求得的值，最后利用三角形面积公式求解即得．【详解】解：设，，则由椭圆的定义可得：①在△中，所以②，由①②得即所以，．故选：B．8．（2022·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）已知双曲线，过左焦点F作一条渐近线的垂线，记垂足为P，点Q在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】设在渐近线上，直线的方程为，联立求得，由，求得，代入双曲线的方程化简即可得出答案.【详解】设在渐近线上，直线的方程为，由，得即，由，得为的中点，又因为所以，因为在双曲线上，所以化简得：故选：C9．（2022·全国·高二课时练习）已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若在轴负半轴上存在一点，使得为锐角，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程结合韦达定理，再根据为锐角得到恒成立，转化为坐标运算，即可得到的范围.【详解】由题意知，设直线的方程为，由，得．设，，则，，所以，．因为为锐角，所以恒成立，即，整理得，所以，而，所以对于任意恒成立，所以．由，解得，所以的取值范围为．故选:A．10．（2020·江西南昌十中高二月考（理））直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（）A． B．或C．或 D．且【答案】D【分析】求出直线恒过的定点，根据题意，该定点必在椭圆内或椭圆上，根据点与椭圆的位置关系，代入点的坐标，即可求得结果.【详解】由于直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，且直线y＝kx＋1与椭圆总有公共点，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则且m≠5，解得m≥1且m≠5.故选：D.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于直线恒过的点在椭圆上或椭圆的内部，属于中档题.11．（2020·金华市曙光学校高二月考）无论k为何值，直线和曲线交点情况满足（）A．没有公共点 B．一个公共点 C．两个公共点 D．有公共点【答案】D【分析】分析直线所过的定点，然后根据定点与椭圆的关系确定出直线与椭圆的关系.【详解】因为过定点，且椭圆的上顶点也为，所以当直线的斜率为时，此时直线与椭圆相切，仅有一个公共点，当直线的斜率不为零时，此时直线与椭圆有两个交点，所以无法确定直线与椭圆的公共点是一个还是两个，故选：D.【点睛】本题考查分析直线与椭圆的位置关系，涉及直线过定点问题，对学生的分析能力要求较高，难度一般.12．（2020·黑龙江哈师大附中高二月考（理））已知斜率为的直线过椭圆的下焦点，交椭圆于两点，为坐标原点，则的面积是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出直线方程，代入椭圆方程，求得交点的坐标，然后求解△OAB的面积.【详解】椭圆的下焦点坐标为,∵斜率为1的直线过椭圆的下焦点，可得直线方程为，代入椭圆方程可得，或，的面积：，故选：D【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，三角形的面积的求法，属于基础题.13．（2021·深州长江中学）已知椭圆：()的离心率为，直线：与椭圆交于，两点，若直线，的斜率之和为4，其中为坐标原点，则椭圆的方程为___________.【答案】【分析】设，，由、的斜率之和为4，得到，再联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，再代入，即可求出，最后根据离心率及求出，即可得解；【详解】解：设，，则，，因为，，，即，所以联立直线与椭圆方程消去得，所以，，所以，解得因为离心率且即，解得，所以椭圆方程为故答案为：14．（2020·全国）若直线与椭圆有且只有一个交点，则斜率的值是_______.【答案】【分析】由方程联立可得，根据条件有，从而可得答案.【详解】已知直线与椭圆有且只有一个交点，由消去并整理，得，由题意知，，解得：.故答案为：15．（2022·北京二中高三阶段练习）已知A，B是抛物线上的两点，线段AB的中点为，则直线AB的方程为__________．【答案】【分析】先由题意判断得，再由点差法求得，由此得到，从而利用点斜式即可求得直线AB的方程.【详解】依题意，设，若，则直线，由抛物线的对称性可知，线段AB的中点为，显然不符合题意，故，因为A，B是抛物线上的两点，所以，两式相减得，，整理得，因为线段AB的中点为，所以，即，又，所以，所以直线AB的方程为，即.故答案为：.16．（2022·河南·安阳一中高三阶段练习（理））定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．若“黄金椭圆”：两个焦点分别为，，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则______．【答案】【分析】可利用△和△的面积比先求出，进一步再求出.【详解】因为，，三点共线，故可先求，再求出.如图，连接，，设到轴距离为，到轴距离为，则设△内切圆的半径为，则，∴不妨设，则，∴∴.故答案为：.17．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知抛物线，直线与相交于两点，若使得，则_____．【答案】2【分析】设，联立直线与方程，可得，的值，同时求出，的值，由，可得，代入各值可得的值.【详解】解：设，依题意得,整理得,所以，，可得：，，由，且，可得,可得：，整理可得：，可得：，即解得，故答案为：218．（2022·全国·高三专题练习）若直线与抛物线C：相切于点A，l与x轴交于点B、F为C的焦点．则__________.【答案】##【分析】先根据直线与抛物线相切求出直线方程，再求出点的坐标，从而得出三角形的形状，再根据角的正切值求.【详解】依题意联立方程，即，则，解得，此时直线，则，所以，解得，即，如图所示：又，所以，，即，又，所以所以，故答案为：19．（2022·全国·高三专题练习）已知F是双曲线的右焦点，若直线与双曲线相交于A，B两点，且，则k的范围是___________.【答案】【分析】由双曲线方程求得焦点坐标，渐近线方程，代入双曲线方程得两点的纵坐标，由，由余弦定理得，由这两个等式可求得当时的值，然后结合图象、双曲线的渐近线可得的范围．【详解】焦点在x上焦点坐标为由双曲线的对称性可得，设，，又∵，，，，又，，又，而，，当时，，，，，整理得，又，，又的渐近线方程为，，又，的取值范围为．故答案为：．20．（2021·合肥百花中学高二期末（理））已知焦点在x轴上的椭圆C的长轴长为，离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的左，右焦点分别为，点P在C上，且位于第一象限，的面积为1，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由离心率求出，然后可得，从而得椭圆标准方程；（2）由三角形面积求出点纵坐标后再得横坐标．【详解】解：（1）由得，所以，所以椭圆的标准方程为（2）设，因为点P在C上，且位于第一象限，所以，由（1）得，且，得，所以，故因为，解得所以点的坐标.21．（2021·江西南昌市·高三开学考试（理））己知椭圆，，分别为椭圆的左､右焦点，O为坐标原点，P为椭圆上任意一点.（1）若，求的面积；（2）斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由椭圆的定义求出，，由勾股定理判断出，即可求出的面积；（2）直线斜率为1，设直线方程，，，用“设而不求法”表示出，由，求出，均满足，即可得到直线方程.【详解】（1）由题意，解得，，又，所以，即，所以；（2）直线斜率为1，设直线方程，，，由，消元得，得又，知，即而所以，，得，均满足，所以直线的方程或.22．（2022·江西省临川第二中学高二阶段练习）已知椭圆的焦距为，短轴长为2，直线过点且与椭圆C交于A、B两点.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线的斜率为1，求三角形的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知求得后得椭圆方程；（2）写出直线方程与椭圆方程联立方程组求得交点坐标，计算，求出原点到直线的距离后可得面积．（1）椭圆焦点为，则，，又，，所以，椭圆方程为；（2）直线方程为，即，由，解得，，即，，，到直线的距离为，所以．23．（2022·广东湛江·高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过垂直于x轴的直线被椭圆E所截得的线段长．(1)求椭圆E的方程；(2)直线与椭圆E交于A，B两点，直线交椭圆E于点C，若，求直线AC的方程．【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）设出椭圆E的半焦距，利用离心率及给定的弦长，求出作答.（2）设出直线方程，与椭圆E的方程联立，借助韦达定理求出点A，C的纵坐标差的绝对值，再结合椭圆对称性及三角形面积求解作答.（1）设椭圆E的半焦距为c，则离心率为，即，，椭圆E的方程为，把代入椭圆方程得：，于是得，解得，所以椭圆E的方程为.（2）由（1）知，，显然直线不垂直于y轴，设其方程为：，由消去y并整理得：，设，则，有，因直线与椭圆E交于A，B两点，由椭圆的对称性知，点A，B关于原点O对称，则，因此，解得，即，