适用于新教材2023版高中数学第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理正弦定理第2课时正弦定理教师用书新人教A版必修第二册

PAGE第2课时正弦定理1.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的相等,即.

2.正弦定理有哪些变形公式?3.利用正弦定理可以解决哪些类型问题?一、单选题1.在△ABC中,A=60°,a=43,b=42,则B等于 ()A.45°或135°B.135°C.45° D.以上答案都不对2.在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sinA=6sinB,则c= ()A.35 B.31C.6 D.53.(教材改编题)在△ABC中a=10,B=60°,cosC=33,则c等于 (A.20(6+2) B.20(6-2)C.6+2 D.2064.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形二、多选题5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.根据下列条件解三角形,其中有两解的是 ()A.b=10,A=45°,C=70°B.b=45,c=48,B=60°C.a=14,b=16,A=45°D.a=7,b=5,A=80°6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=10,a2+b2-c2=absinC,acosB+bsinA=c,则下列结论正确的是 ()A.tanC=2B.A=πC.b=2D.△ABC的面积为6三、填空题7.在△ABC中,已知a∶b∶c=4∶3∶5,则2sinA-sin8.(教材改编题)在△ABC中,若B=30°,AB=23,AC=2,则AB边上的高是.

四、解答题9.在△ABC中,A=60°,sinB=12,a=3,求三角形中其他边与角的大小10.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断三角形的形状.一、选择题1.在△ABC中,A=60°,a=2,b=4,那么满足条件的△ABC ()A.有一个解 B.有两个解C.无解 D.不确定2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc,若sinB·sinC=sin2A,则△ABC的形状是()A.钝角三角形 B.直角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形二、填空题3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则b=4.在△ABC中,若C=2B,则cb的取值范围为三、解答题5.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求A的大小;(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.第2课时正弦定理必备知识·落实1.正弦的比asinA=b2.正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径,则(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=a2R,sinB=b2R,sin(3)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c;(4)a+b+(5)S△ABC=12bcsinA=12acsinB=123.(1)已知两角和任意一边,解三角形;(2)已知两边和其中一边的对角,解三角形.知能素养·进阶【基础巩固组】1.C因为sinB=bsinAa=42×3243因为a>b,所以当B=135°时,不符合题意,所以B=45°.2.B因为sinA=6sinB,由正弦定理可得a=6b,又a+2b=8,所以a=6,b=1,因为C=60°,所以c2=a2+b2-2abcosC,即c2=62+12-2×6×1×12,解得c=313.B由cosC=33得sinC=1-cos2CsinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=32×33+12×6由正弦定理得,c=a·sinCsinA=10×633+66=10×4.D已知c-acosB=(2a-b)cosA,由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,所以sin(A+B)-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,化简得cosA(sinB-sinA)=0,所以cosA=0或sinB-sinA=0,则A=90°或A=B,故△ABC为等腰三角形或直角三角形.5.BC选项A:因为A=45°,C=70°,所以B=65°,三角形的三个角是确定的值,故只有一解.选项B:因为sinC=csinBb=8315<1,且c>b选项C:因为sinB=bsinAa=427<1,且b>a选项D:因为sinB=bsinAa<1,且b<a,所以角6.ABD因为a2+b2-c2=absinC,所以cosC=a2+b2-所以tanC=sinCcosC=2,故因为acosB+bsinA=c,利用正弦定理可得sinAcosB+sinBsinA=sinC,因为C=π-(A+B),所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),所以sinAcosB+sinBsinA=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,即sinBsinA=cosAsinB.因为B∈(0,π),所以sinB≠0,所以tanA=1,又A∈(0,π),所以A=π4,故B正确因为tanC=2,C∈(0,π),所以sinC=255,cosC=所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,=22×55+22×255=310所以b=asinBsinA=10×310S△ABC=12absinC=12×10×32×255=6,7.【解析】设a=4k,b=3k,c=5k(k>0),由正弦定理,得2sinA-sinBsinC答案:18.【解析】由正弦定理,得ACsinB=所以sinC=AB·sin30°AC=所以C=60°或120°,当C=60°时,A=90°,AB边上的高为2;当C=120°时,A=30°,AB边上的高为2sin30°=1.答案:1或29.【解析】因为sinB=12,所以B=30°或150°当B=30°时,由A=60°得C=90°;当B=150°时,不合题意,舍去.所以由正弦定理bsinB=csin得b=sinBsinA·a=sin30c=sinCsinA·a=sin9010.【解析】由已知得a2sinB由正弦定理得sin2A因为sinA,sinB均不为0,所以sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.所以2A+2B=π或2A=2B.所以A+B=π2或A=所以△ABC为直角三角形或等腰三角形.【素养提升组】1.C因为a=2,b=4,A=60°,所以a<bsinA,所以△ABC无解.2.C根据余弦定理可知cosA=b2+c2-a22bc=12,因为0°<A<180°,所以A=60°,根据正弦定理可知sinBsinC=sin2A⇔bc=a2,所以b2+c2=a2+bc=2bc⇔(b-c)2=0,所以b=c,又bc=则△ABC的形状是等边三角形.3.【解析】在△ABC中,由cosA=45,cosC=5可得sinA=35,sinC=1213,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=又a=1,由正弦定理得b=asinBsin答案:214.【解析】因为A+B+C=180°,C=2B,所以A=180°-3B>0°,所以0°<B<60°,所以12<cosB<1因为cb=sinCsinB=sin2BsinB=2cosB,1<2cos答案:(1,2)5.【解析】(1)由已知和正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.由余弦定理,得cosA=b2+c2-因为0°<A<180