概率论与数理统计-1常见的二维分布

概率论与数理统计-1常见的二维分布汇报人：AA2024-01-19AAREPORTING2023WORKSUMMARY目录CATALOGUE二维随机变量及其分布边缘分布与条件分布常见的二维离散型分布常见的二维连续型分布二维随机变量的独立性二维随机变量的函数的分布AAPART01二维随机变量及其分布二维随机变量的定义定义设$X$和$Y$是两个随机变量，定义在同一概率空间$(Omega,mathcal{F},P)$上，则称$(X,Y)$为二维随机变量。取值二维随机变量的取值是平面上的点$(x,y)$，这些点构成的集合称为该二维随机变量的取值范围。对于任意实数$x,y$，二元函数$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$称为二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数。定义联合分布函数$F(x,y)$具有单调不减性、右连续性以及规范性。性质二维随机变量的联合分布函数定义如果二维随机变量$(X,Y)$全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称$(X,Y)$是离散型的随机变量。分布律对于二维离散型随机变量$(X,Y)$，其分布律可用一个二维表格来表示，表格中的每一个元素表示一个取值点$(x_i,y_j)$及其对应的概率$p_{ij}$。二维离散型随机变量二维连续型随机变量如果存在非负可积函数$f(x,y)$，使得对于任意实数$x,y$，有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，则称$(X,Y)$是连续型的随机变量，函数$f(x,y)$称为二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度函数。定义联合概率密度函数$f(x,y)$具有非负性和规范性，且在某区域内的概率等于该区域内联合概率密度函数的积分。性质PART02边缘分布与条件分布边缘分布函数描述的是多维随机变量中某一维变量的分布情况，即固定其他维变量，对某一维变量求分布函数。定义边缘分布函数具有非负性、单调不减性和右连续性。性质对于离散型随机变量，边缘分布函数等于对应维度上的概率求和；对于连续型随机变量，边缘分布函数等于对应维度上的概率密度函数积分。计算方法边缘分布函数性质边缘概率密度函数具有非负性和归一性。计算方法对于连续型随机变量，边缘概率密度函数等于联合概率密度函数对其他维度变量的积分。定义边缘概率密度函数是描述多维随机变量中某一维变量的概率密度函数，即固定其他维变量，对某一维变量求概率密度函数。边缘概率密度函数定义条件分布函数描述的是在多维随机变量中，当某一维变量取特定值时，其他维变量的分布情况。性质条件分布函数具有非负性、单调不减性和右连续性。计算方法对于离散型随机变量，条件分布函数等于在给定条件下，对应维度上的概率求和；对于连续型随机变量，条件分布函数等于在给定条件下，对应维度上的概率密度函数积分。条件分布函数定义条件概率密度函数是描述在多维随机变量中，当某一维变量取特定值时，其他维变量的概率密度函数。性质条件概率密度函数具有非负性和归一性。计算方法对于连续型随机变量，条件概率密度函数等于联合概率密度函数与边缘概率密度函数的比值，再对其他维度变量进行积分。条件概率密度函数PART03常见的二维离散型分布分布描述二项分布是一种离散型概率分布，描述了在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。其中，每次试验只有两种可能结果，成功或失败，且成功的概率在每次试验中保持不变。分布参数二项分布的参数包括试验次数n和成功概率p。期望和方差二项分布的期望为np，方差为np(1-p)。二项分布分布描述泊松分布是一种离散型概率分布，适用于描述在给定时间间隔或空间内发生随机事件次数的概率分布。泊松分布假设事件以固定的平均速率随机且独立地发生。泊松分布的参数是λ，表示单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率。泊松分布的期望和方差均为λ。分布参数期望和方差泊松分布分布描述超几何分布是一种离散型概率分布，描述了在不放回抽样的条件下，从有限总体中抽取n个样本时，其中包含k个成功样本的概率分布。分布参数超几何分布的参数包括总体容量N、总体中成功的个体数K和样本容量n。期望和方差超几何分布的期望为n×K/N，方差为n×K/N×(N-K)/N×(N-n)/(N-1)。010203超几何分布负二项分布负二项分布是一种离散型概率分布，描述了在一系列独立且同分布的伯努利试验中，为了达到指定数量的成功次数，需要进行多少次试验的概率分布。分布参数负二项分布的参数包括成功次数r和每次试验成功的概率p。期望和方差负二项分布的期望为r/p，方差为r(1-p)/p^2。分布描述PART04常见的二维连续型分布123若二维随机变量(X,Y)的概率密度函数在某一矩形区域内为常数，则称(X,Y)服从该矩形区域内的二维均匀分布。定义二维均匀分布具有均匀性，即在其定义域内，任何子区域的概率只与子区域的面积成正比。性质常用于描述在某一矩形区域内随机点的分布情况，如随机投点问题等。应用二维均匀分布性质二维正态分布具有对称性、可加性和相关性等性质。其概率密度函数呈钟形，中心处概率最大，向四周逐渐减小。应用在统计学、经济学、金融学等领域中广泛应用，用于描述两个随机变量之间的线性关系及其分布情况。定义若二维随机变量(X,Y)的概率密度函数满足二维正态分布的形式，则称(X,Y)服从二维正态分布。二维正态分布定义多维正态分布是二维正态分布的推广，描述的是多个随机变量的联合分布情况。性质多维正态分布具有与二维正态分布类似的性质，如对称性、可加性和相关性等。应用在多元统计分析中广泛应用，如回归分析、主成分分析等。多维正态分布简介圆形区域内的均匀分布定义若二维随机变量(X,Y)的概率密度函数在以某一点为圆心、以一定长度为半径的圆形区域内为常数，则称(X,Y)服从该圆形区域内的均匀分布。性质圆形区域内的均匀分布具有均匀性，即在其定义域内，任何子区域的概率只与子区域的面积成正比。应用常用于描述在某一圆形区域内随机点的分布情况，如随机投点问题等。PART05二维随机变量的独立性如果二维随机变量$(X,Y)$满足$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)$，则称$X$与$Y$是相互独立的。相互独立的随机变量之间没有相互影响，一个随机变量的取值不会影响另一个随机变量的取值。独立性的定义含义定义判断方法对于离散型随机变量$(X,Y)$，如果联合概率分布$p(x,y)$可以表示为两个边缘概率分布$p_X(x)$和$p_Y(y)$的乘积，即$p(x,y)=p_X(x)p_Y(y)$，则$X$与$Y$相互独立。举例设随机变量$X$和$Y$分别表示两次掷骰子的点数，如果两次掷骰子是独立的，则$X$与$Y$也是相互独立的。离散型随机变量的独立性判断VS对于连续型随机变量$(X,Y)$，如果联合概率密度函数$f(x,y)$可以表示为两个边缘概率密度函数$f_X(x)$和$f_Y(y)$的乘积，即$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，则$X$与$Y$相互独立。举例设随机变量$X$和$Y$分别表示两个电子元件的寿命，如果这两个电子元件的寿命是相互独立的，则$X$与$Y$也是相互独立的。判断方法连续型随机变量的独立性判断相互独立的随机变量和的分布卷积公式设$X$和$Y$是相互独立的随机变量，其概率密度函数分别为$f_X(x)$和$f_Y(y)$，则它们的和$Z=X+Y$的概率密度函数为$f_Z(z)=int_{-infty}^{+infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx$。分布性质如果两个相互独立的随机变量$X$和$Y$分别服从分布$F_X(x)$和$F_Y(y)$，则它们的和$Z=X+Y$服从一个新的分布，该分布可以通过卷积公式求得。举例设随机变量$X$和$Y$分别服从正态分布$N(mu_1,sigma_1^2)$和$N(mu_2,sigma_2^2)$，且相互独立，则它们的和$Z=X+Y$服从正态分布$N(mu_1+mu_2,sigma_1^2+sigma_2^2)$。PART06二维随机变量的函数的分布若(X,Y)是二维连续型随机变量，其概率密度函数为f(x,y)，则Z=X+Y的概率密度函数可以通过卷积公式求得。卷积公式当X和Y相互独立时，Z=X+Y的概率密度函数可以简化为两个一维随机变量概率密度函数的卷积。独立性若X和Y均服从正态分布，则无论它们是否独立，Z=X+Y也服从正态分布。正态分布的可加性010203Z=X+Y的分布独立性对结果的影响当X和Y相互独立时，Z=max{X,Y}和Z=min{X,Y}的分布函数可以进一步简化。与次序统计量的关系Z=max{X,Y}和Z=min{X,Y}可以看作是来自总体(X,Y)的两个次序统计量，因此它们的分布与总体分布及样本量有关。分布函数法通过二维随机变量的联合分布函数，可以推导出Z=max{X,Y}和Z=min{X,Y}的分布函数。Z=max{X,Y}和Z=mi