概率论与数理统计随机向量及其分布

汇报人：AA2024-01-20概率论与数理统计随机向量及其分布目录随机向量基本概念二维随机变量及其分布随机向量的数字特征条件分布与独立性多维随机变量及其分布随机向量在统计分析中的应用01随机向量基本概念Part定义与性质定义随机向量是指由多个随机变量构成的向量。这些随机变量定义在同一个样本空间上，取值于不同的实数空间。性质随机向量具有与随机变量类似的性质，如独立性、相关性等。此外，随机向量的分布函数描述了其取值的概率分布特性。定义联合分布函数用于描述多个随机变量（即随机向量）同时取值的概率分布。对于二维随机向量(X,Y)，其联合分布函数F(x,y)表示X取值小于等于x且Y取值小于等于y的概率。性质联合分布函数具有非负性、单调不减性、右连续性等性质。此外，通过联合分布函数可以求得随机向量的各种概率。应用联合分布函数在多维随机变量的概率计算、条件概率和独立性判断等方面有广泛应用。010203联合分布函数定义边缘分布函数是指多维随机向量中某一分量的概率分布函数。对于二维随机向量(X,Y)，X的边缘分布函数FX(x)表示X取值小于等于x的概率，Y的边缘分布函数FY(y)表示Y取值小于等于y的概率。性质边缘分布函数具有与一维随机变量分布函数相同的性质，如非负性、单调不减性、右连续性等。此外，边缘分布函数可以由联合分布函数求得。应用边缘分布函数在多维随机变量的概率计算、条件概率和独立性判断等方面有重要应用。例如，在判断两个随机变量是否独立时，可以通过比较它们的联合分布函数与边缘分布函数的乘积是否相等来进行判断。边缘分布函数02二维随机变量及其分布Part二维离散型随机变量联合分布律描述二维离散型随机变量取各个值时的概率。边缘分布律通过联合分布律求得其中一个随机变量的分布律。条件分布律在已知一个随机变量取值的条件下，另一个随机变量的分布律。联合概率密度函数描述二维连续型随机变量的概率分布情况，其值表示随机变量落在某区域的概率大小。边缘概率密度函数通过联合概率密度函数求得其中一个随机变量的概率密度函数。条件概率密度函数在已知一个随机变量取值的条件下，另一个随机变量的概率密度函数。二维连续型随机变量二维均匀分布在某一矩形区域内，随机变量取各点的概率相等。二维正态分布两个随机变量均服从正态分布，且它们之间存在线性关系。圆形区域内的二维均匀分布在某一圆形区域内，随机变量取各点的概率相等。其他二维连续型分布如二维指数分布、二维泊松分布等，这些分布在某些特定问题中有重要应用。常见的二维连续型分布03随机向量的数字特征Part描述随机向量取值的“中心位置”或“平均水平”，是随机向量各分量概率加权的平均值。数学期望衡量随机向量取值的离散程度，即各分量与数学期望的偏离程度。方差越大，说明随机向量的取值越分散。方差数学期望与方差协方差衡量两个随机变量变化趋势的统计量。若两个随机变量的变化趋势一致，则协方差为正；若变化趋势相反，则协方差为负；若变化趋势无关，则协方差为零。相关系数将协方差标准化后的统计量，用于消除量纲影响，更准确地反映两个随机变量之间的线性相关程度。相关系数的取值范围为[-1,1]，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示不相关。协方差与相关系数VS描述随机向量分布形态的统计量，包括一阶原点矩（即数学期望）和二阶中心矩（即方差）。高阶矩可以进一步描述分布的偏态和峰态等特征。协方差矩阵由随机向量的各分量之间的协方差构成的矩阵。协方差矩阵描述了随机向量各分量之间的线性相关关系，是多元统计分析中的重要工具。通过协方差矩阵可以求解主成分分析、因子分析等问题。矩矩与协方差矩阵04条件分布与独立性Part条件分布律设(X,Y)为离散型随机向量，其联合分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,…。若P{X=xi}>0，则称P{Y=yj|X=xi}=pij/P{X=xi}为在X=xi条件下Y的条件分布律。要点一要点二条件密度函数设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，(X,Y)关于Y的边缘概率密度为fY(y)。若对于固定的y，fY(y)>0，则称f(x,y)/fY(y)为Y=y的条件下X的条件概率密度，记为fX|Y(x|y)=f(x,y)/fY(y)。条件分布律与条件密度函数随机变量的独立性设F(x,y)及Fx(x),Fy(y)分别是二维随机变量(X,Y)的联合分布函数及关于X和Y的边缘分布函数。若对所有的x和y有F(x,y)=Fx(x)Fy(y)，则称随机变量X和Y是独立的。定义对于离散型随机变量，可以通过联合分布律判断；对于连续型随机变量，可以通过联合密度函数判断。若联合分布律或联合密度函数可以分解为两个边缘分布律或边缘密度函数的乘积，则随机变量相互独立。判定方法如果两个随机变量的联合分布函数等于各自边缘分布函数的乘积，即F(x,y)=FX(x)FY(y)，则称这两个随机变量相互独立。相互独立的两个随机变量，一个随机变量的取值不影响另一个随机变量的取值；反之，如果两个随机变量的取值相互影响，则它们不相互独立。定义性质两个随机变量的相互独立05多维随机变量及其分布PartSTEP01STEP02STEP03多维离散型随机变量联合分布律描述多维离散型随机变量中某一维度取值的概率，可通过联合分布律求和得到。边缘分布律条件分布律在多维离散型随机变量中，当某一维度取值已知时，其他维度取值的概率分布。描述多维离散型随机变量同时取值的概率，通常通过表格形式表示。联合概率密度函数描述多维连续型随机变量同时取值的概率密度，具有非负性和规范性。边缘概率密度函数描述多维连续型随机变量中某一维度取值的概率密度，可通过联合概率密度函数积分得到。条件概率密度函数在多维连续型随机变量中，当某一维度取值已知时，其他维度取值的条件概率密度。多维连续型随机变量030201常见的多维连续型分布二维正态分布若二维连续型随机变量的联合概率密度函数服从二维正态分布，则其具有圆形或椭圆形的等高线，且各维度之间相互独立。多项分布描述多维离散型随机变量在多次试验中各维度取值次数的概率分布，常用于统计学中的分类数据分析。Dirichlet分布是多项分布的共轭先验分布，常用于贝叶斯统计学中的参数估计和模型选择。Wishart分布是多元正态分布的共轭先验分布，常用于多元统计分析中的协方差矩阵估计和假设检验。06随机向量在统计分析中的应用Part利用样本数据构造一个统计量，作为未知参数的估计值。常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。点估计在点估计的基础上，给出未知参数的一个置信区间，该区间以一定的概率包含未知参数的真值。区间估计的精度与样本量、置信水平和总体分布有关。区间估计参数估计问题原假设与备择假设在假设检验中，首先需要明确原假设和备择假设。原假设通常是研究者想要推翻的假设，而备择假设则是研究者希望证实的假设。检验统计量与拒绝域根据原假设和备择假设，构造一个检验统计量，并确定拒绝域。当检验统计量的观测值落在拒绝域内时，我们拒绝原假设，否则接受原假设。显著性水平与第一类错误显著性水平是事先设定的一个概率值，用于控制第一类错误（即错误地拒绝原假设）的概率。显著性水平越低，第一类错误的概率越小，但同时第二类错误（即错误地接受原假设）的概率可能会增加。假设检验问题多因素方差分析用于研究多个控制变量对观测变量的影响。通过构建包含多个因素的模型，分析各因素对观测变量的贡献程度以及因素之间的交