西安中学2023-2024学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试题答案

西安中学2023-2024学年度第一学期期末考试理科数学答案一.选择题（本大题共12小题，共60分）123456789101112AABDABCBCCDD二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分)22222013.314.（答案不唯一，只要方程满足xayaax1y1即可）15.716.①③④三、解答题（本大题共7小题，第17—21题为必考题，第22、23题为选考题）（一）必考题：共60分17.(1)证明：）x32(((5,82y(((9，（2分）88ˆbn59xy8281iii1n54x2x28()2i2i19151ˆ，ˆy，（5分）8422故yx的线性回归方程为11yx（6分）42（）当树干高度为128cm时，高度偏差x8(cm)，（8分）181y，42所以树干直径约为，（11分）即预测高度为128cm的这种树苗的树干最大直径为毫米.（12分）18.（本小题满分12分）（）由已知及正弦定理得ABAC，（2分）∵CABBB∵AB，sinB0sinAA（4分）∵A0,π∴πA.（6分）4七模理科数学第页，共页{#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}1221（）∵SbcA∴22,（8分）ABC242又∵a2b2c2A∴22bc22bc,（10分）22所以bcbc．（12分）19.（本小题满分12分）解：（）设椭圆的半焦距为c，因为椭圆的离心率为22，所以bc，ab，∴椭圆C的方程可设为xy22221.（2分）bbA2,0，因为圆OA处的切线被椭圆C截得的弦长为22，所以点2,2在椭圆上，221，bb22a26，b32所以椭圆C的方程为xy221.（5分）63（）当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x2，由（）知：M2,2，N2,2，则2,5，2,2，OMON0，∴.（6分）当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为ykxm，M1,1，N2,y2，因为直线与圆相切，mk212m22k2.（7分）2联立直线和椭圆的方程得226xm，∴12kx42m60，222七模理科数学第2页，共7页{#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}2224km412k2m604kmxx.（8分）1222k12m6xx21222k1∵xy，2,21,1xy，∴xxyyxxmm，121212121kxxxxm，2212122m6421kkmm222k12k122，2222221k2m64kmm2k12k12，22k2k6，mk6220k1k122∴.（11分）综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆CM，N，都有.（12分）20.（本小题满分12分）（T是中点，连接TN,TD，如下图所示：1在ABP为为中位线，所以：TNABTNAB，（2分）,21又因为：CDAB,CDAB，2所以：,，所以：四边形为平行四边形，得：CN,，又因为：,PAD，所以：PAD.（5分）（）如图，延长AD和交于点Q，连接PQ.B作BMPQ，垂足为点M，连接.七模理科数学第页，共页{#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}因为：平面PAD，平面PADPBCPQ，所以：BM，（7分）因为：ADBD,ADBM,BDBMBBM,BD，所以：，所以：BDM为所求二面角的平面角，（8分）在PDQPQPD2DQ22PDDQcosPDQ5，PQ2DQ2PQ25213cosPQD2PQDQ25210，所以：2,4，（11分）33所以：22.（12分）321.（本小题满分12分）1)解:∵f'x3x22x1ex，∴f01，f'03，∴曲线yfx在点f0处的切线方程为3xy10.（5分）(2)证明:由fxgx0存在两个正实数根1,212，整理得方程eaxx1存在两个正实数根1,212.x由a0，知211，令hxea，则h'xea，xx当xa时，h'x0，hx在,上单调递增;当xa时，h'x0，hx在0,lna上单调递减.所以min2hxhaaaa.七模理科数学第4页，共7页{#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}因为hxexa有两个零点，即2aaa0，得ae2.（7分）因为实数x，x是exax的两个根，12所以exax111，从而eax1x22ex1x1e1xx12ex1x22.令x，，则e，变形整理得1121令x，，则e，变形整理得1.1要证1212，则只需证1，即只要证01，11结合对数函数yx的图象可知，只需要证,ln，,ln两点连线的斜率要比,ln，,ln两点连线的斜率小即可.因为1，所以只要证111，1整理得2001.（10分）1令gxx2x0x1，则g'xx212x，10xxx22所以gx在上单调递减，即gxg0，1所以20011212成立.（12分）（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做第一题计分22.（本小题满分10分））由题意，在1C:yxsin3cos（为参数）中，化为普通方程为y23x21（3分）πππ在C:)22中，cossinsin22，2444∵x,ysin，∴C2:xy40.（5分）（）由题意及（1）得，七模理科数学第页，共页{#{QQABRQCEogggAAIAAAhCAwV4CgEQkBEACKoGQBAMIAAAyANABAA=}#}设点Psin,3，则P到直线xy40的距离为：dπ2sin()4sin34322[2,32]，（8分）πππ5π

当且仅当)1，即2π,kZ，2πk时，

3326，此时213P,.（10分）2223.（本小题满分10分）解：（）已知fxx13x1，2xx则fxxx412xx（3分）则fx的图象如图所示：由fx的图象可知fx的值域为,2.（5分）（fx0，解得1x,或x2,（6分）2由4xa0，解得ax.4a4xa,x,4yxaa44xa,x,4，如下图，七模理科数学第6页，共7页{#{QQABRQCEogggAAI