小学奥数之第16讲逻辑推理

第16讲逻辑推理

内容概述

体育比赛形式的逻辑推理问题，其中存在的呼应一一“一队的胜、负、平分对应着另一队的负、平、

胜”对解题有重要作用，有时宜将比赛情况用点以及连这些点的线来表示.需要从整体考虑，涉及数量

比较、整数分解等具有一定综性的逻辑推理问题.

典型问题

1.共有4人进行跳远、百米、铅球、跳高4项比赛，规定每个单项中，第一名记5分，第二名记

3分，第三名记2分，第四名记1分.已知在每一单项比赛中都没有并列名次，并且总分第一名共获17

分，其中跳高得分低于其他项得分；总分第三名共获11分，其中跳高得分高于其他项得分.问总分第

二名在铅球项目中的得分是多少？

【分析与解】每个单项的4人共得分5+3+2+1=11分，所以4个单项的总分为11X4=44分，而第一,

三名得分为17、11分，所以第二、四名得分之和为44-(17+11)=16分其中第四名得分最少为4分,

此时第二名得分最高，为16-4=12分；又因为第三名为11分，那么第二名最低为12分；

那么第二名只能为12分，此时第四名4分.

于是，第一、二、三、四名的得分依次为17、12、11、4分，而17只能是

5+5+5+2,4只能是1+1+1+1.

不难得到下表：

跳远百米铅球跳高总分

第一名555217

第二名333312

第三名222511

第四名11111

由表知总分第二名在铅球项目中的得分是3分.

2.4支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场.每场比赛胜者得3分，负者得0分，

平局各得1分.比赛结果，各队的总得分恰好是4个连续的自然数.问：输给第一名的队的总分是多

少？

【分析与解】四个队共赛了第=当3=6场，6场总分加在12(=6X2)与18(=6X3)之间.

由于旭是4个连续自然数的和，所以机=2+3+4=5=14或加=3+4+5=18.

如果a=18,那么每场都产生3分，没有平局，但5=3+1+1表明两场踢平，矛盾.

所以m=14,14=3X2+2X4表明6场中只有2场分出胜负.此时第一、二、三、四名得分依次为5、

4、3、2.

则第三名与所有人打平，那么第二名没有了平局，只能是第一名与第四名打平，这样第一名还有1

局胜，第二名还有1局负，所以第一名胜第二名.

即输给第一名的队得4分.

如下图所示，在两队之间连一条线表示两队踢平，画一条A—,表示A胜8,各队用它们的得

分来表示.

5

评注：常见的体育比赛模式

N个队进行淘汰赛，至少要打N-1场比赛：每场比赛淘汰一名选手；

N个队进行循环赛，一共要打避2=N（N二1）场比赛:每个队要打N—1场比赛.

2

循环赛中常见的积分方式：

①两分制：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得。分；

核心关系：总积分=2X比赛场次；

②三分制：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得。分；

核心关系：总计分=3X比赛场次T义赛平场次.

3.6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场.每场比赛胜者得3分，负者得0分，平

局各得1分.现在比赛已进行了4轮，即每队都已与4个队比赛过，各队已赛4场的得分之和互不相

同.已知总得分居第三位的队共得7分，并且有4场球踢成平局，那么总得分居第五位的队最多可得

多少分?最少可得多少分？

【分析与解】每轮赛3场，最多产生3x3=9分，四轮最多4x9=36分.现在有4场踢成平局，

每平一场少1分，所以总分为36—4x1=32.

前三名得分的和至少为7+8+9=24.

所以后三名的得分的和至多为32—24=8.

第5名如果得4分，则后三名的得分的和至少为4+5=9,这不可能，所以第5名最多得3分，图（。）

为取3分时的一种可能的赛况图.

显然第5名最少得1分，图（b）为取1分时的一种可能的赛况图.

图（6）

图（a）

评注：以下由第5名得分情况给出详细赛况:

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第5名得3分时赛况第5名得1分时赛况

各队得分情况为:9+8+7+4+3+1各队得分情况为：10+8+7+6+1

其中:9=3+3+3+0

其中：10=3+3+3+1

8=3+3+1+1

8=3+3+1+1

7=3+3+1+0

7=3+3+1+0

,f3+1+0+0I

4=1,,,,1=]+0+0+0

ll+l+l+lDn

,[3+1+1+1V

,ri+i+i+oin6=5

3=<13+3+0+0VI

13+0+0+0IV

考虑到平场的得分必须为偶数，即1的个

数为偶数，于是只有可能为I、n）；n、iv两种

组合方式.如果是VI种情况，那么平均得分为5分，不

如果是n、IV,那么得4分者必须与得9、8、可能.

7、1分者均打平，然而得9分者，无平局，所具体赛况见题解.

以不可能，于是只能为I、山这种组合.

具体赛况见题解.

皴®级数*

4.某商品的编号是一个三位数.现有5个三位数：874,765,123,364,925,其中每一个数

与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字.那么这个三位数是多少？

【分析与解】方法一：每一个与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字.五个数，就要有五

次相同，列出这五个数：874,765,123,364,925百位上五个数各不相同，十位上有两个6和两个

2,个位上有两个4和两个5.

因此，商品编号的个位数字一定和给定5个数中的两个个位数字相同，商品编号的十位数字一定和给

定5个数中的两个十位数字相同，商品编号的百位数字只能跟5个数中的一个百位数字相同.

若商品编号的个位数字是5,我们就把第二个和第五个数拿走，剩下的三个数的十位数字各不相同，

无法满足题目的要求（事实上，十位数字只能取7,而十位上只有一个7）.

若商品编号的个位数字是4,拿走第一和第四个数后，十位上仍有两个2,可取十位数字为2,再拿

走第三和第五个数，剩第二个数，它的百位是7,所以商品的编号为724.

如果一个数与商品编号在某一位有相同数字，那么这个数与商品编号不会再有另外相同数字.因此解

的过程中用“拿走”这一说法是恰当的.

方法二：商品编号的个位数字只可能是3、4、5.

如果是3,那么874,765,364,925这4个数中至多有三个数与商品编号有相同数字（百位有一个相

同，十位有两个相同），还有一个数与商品编号无相同数字，矛盾.

如果是5,那么765,925的个位数字是5,从而商品号码的十位数字不是6、2,因此必须是7.这时

123、364中至少有一个与商品号码无相同数字，矛盾.

所以，该商品号码的个位数字只能是4,而且这个号码应为724.

即这个三位数为724.

5.某楼住着4个女孩和2个男孩，他们的年龄各不相同，最大的10岁，最小的4岁，最大的女

孩比最小的男孩大4岁，最大的男孩比最小的女孩大4岁.求最大的男孩的岁数.

【分析与解】本题中最大的孩子，可能是男孩，可能是女孩.

当最大的孩子为女孩时，即最大的女孩为10岁，那么最小的男孩为10—4=6岁，则4岁定是最小

的女孩，那么最大的男孩是4+4：8岁，满足题意；

当最大的孩子为男孩时，即最大的男孩为10岁，那么最小的女孩为10-4=6岁.则4岁一定时最小

的男孩，那么最大的女孩为4+4=8岁，也就是说4个年龄不同的女孩的年龄在6—8之间，显然得不到

满足.

于是，最大的男孩为8岁.

6.某次考试满分是100分，A,B,C,D,E这5个人参加了这次考试.

A说：“我得了94分.”

B说：“我在5个人中得分最高.”

C说：“我的得分是A和D的平均分，且为整数.”

D说：“我的得分恰好是5个人的平均分.”

E说：“我比C多得了2分，并且在5个人中居第二.”

问这5个人各得了多少分？

【分析与解】B、E分别为第一、二名，C介于A、D之间，则当A为第三时，C为第四，D为第五，

得5人平均分的人为最后一名，显然不满足.

于是D、C、A只能依次为第三、四、五名，有B、E、D、C、A依次为第一、二、三、四、五名，A为

94分，C为D、A得平均分，且为整数，所以D的得分为偶数，只可能为98或96（如果为100,则B、E

无法取值），1）、C、A得分依次为98、96、94或96、95、94,有E比C高2分，则E、D、C、A得分依

次为98、98、96、94或97、96、95、94.对应5个人的平均分为98或96,而B的得分对应为104或

98,显然B得不到104分.

所以B、E、D、C、A的得分只能依次是98、97、96、95、94.

7.在一次射击练习中，甲、乙、丙3位战士各打了4发子弹，全部中靶.其命中情况如下：

①每人4发子弹所命中的环数各不相同；