小学奥数题库《数论》余数问题余数的性质1星题（含解析）全国通用版

数论-余数问题-余数的性质-1星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

余数的性质B1、能够准确的理解余数的几个性少考

质。

2、熟练的运用余数性质解决相关的

实际问题。

知识提要

余数的性质

•余数的根本性质

被除数=除数X商+余数

除数=(被除数-余数)+商

商=(被除数-余数)十除数

余数小于除数。

・余数的三大性质

(1)余数的加法性质：和的余数等于余数的和，或这个和除以除数的余数。

(2)余数的减法性质：差的余数等于余数的差，不够减加除数再减。

(3)余数的乘法性质：积的余数等于余数的积，或者余数的积除以除数的余数。

精选例题

余数的性质

1.21除以5的余数是；32除以5的余数是

(1)21+32除以5的余数是；

(2)32—21除以5的余数是；

(3)32X21除以5的余数是.

【答案】1、2；(1)3；(2)1;⑶2.

【分析】根据余数定理可得.

2.一个数被7除，余数是3,该数的3倍被7除，余数是.

【答案】2

【分析】余数是3X3+7的余数，为2.

3.22008+20082除以7的余数是.

【答案】3

【分析】23=8除以7的余数为1,2008=3x669+1,所以

22008=23X669+1=(23)669x2

其除以7的余数为：

I669x2=2;

2008除以7的余数为6,那么2008?除以7的余数等于62除以7的余数，为卜所以

22。08+20082除以7的余数为：

2+1=3.

4.20082除以7的余数是.

【答案】1

【分析】2008+7=286……6,那么根据余数的可乘性，知余数为6X6,但是超过了除数

7,所以为

6x6+7=5.....1.

5.如果自然数a、b、c、d除以6都余4,那么a+匕+c+d除以3,所得的余数

是.

【答案】1

【分析】a、b、c、d除以6的余数都是4,那么

4+4+4+4=16,

16+3=5……1.

6.(1)123+456+789除以11的余数是多少？

(2)123X456X789的结果除以23的余数是多少？

【答案】(1)4：

⑵6.

【分析】(1)因为123+11…2,789+11…8,根据余数定理，123+456+789除以11

的余数等于2+5+8除以11的余数，即(2+5+8)+11…4,所以123+456+789除以11

的余数是4；

(2)因为123+23…8,456+23…19,7894-23-7,根据余数定理，123X456X789的结

果除以23的余数等于8X19X7除以23的余数，即(8X19X7)+23…6,所以

123X456X789的结果除以23的余数是6.

7.证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数.

【答案】见解析.

【分析】把自然数按照除以5的余数分成5个剩余类，即5个抽屉.任取6个自然数，根

据抽屉原理，至少有两个数属于同一剩余类，即这两个数除以5的余数相同，因此它们的差是

5的倍数.

8.某月有30天，小明和他的4个好朋友决定折一些纸鹤，每人每天可以折45只，月底将这

些纸鹤按23只一盒打包，发现最后一盒不够23只.请问最后一盒有多少只纸鹤？

【答案】11.

【分析】(30x5x45)+23…11

9.求(2013X2014X2015)+7的余数

【答案】1.

【分析】根据任何一个数除以7的余数求法，因为13-2=11,11+7=1……4,所以

2013+7=……4,同理，2014+7=……5,2015+7=……6,(2013X2014X2015)+7的

余数为(4X5X6)+7的余数，计算得1.

10.一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个.年终将这些零件按19个一包的

规格打包，最后一包不够19个.请问：最后一包有多少个零件？

【答案】15.

【分析】（1234x365）+19…15（个）

11.求14389除以7的余数.

【答案】5.

【分析】由于143三3（mod7）（143被7除余3）,14389=389（mod7）（14389被7除

所得余数与389被7除所得余数相等），而36=729,729=l（mod7）（729除以7的余数为

1）

389=36X36X…X36X35=35=5（mod7）

所以1逊.故14389除以7的余数为5.

12.号码分别为101,126,173,193的4个运发动进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数

是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运发动打了多少盘？

【答案】5.

【分析】此题可以表达出加法余数定理的巧用.计算101,126,173,193除以3的余数

分别为2,0,2,1.那么任意两名运发动的比赛盘数只需要用2,0,2,1两两相加除以3

即可.显然126运发动打5盘是最多的.

13.某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产

300个零件.月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个.请问：最后

一包有多少个零件？

【答案】16.

【分析】（128X23X300）+17-16（个）

14.在图表的第二行中，恰好填上89〜98这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以

11所得的余数都是3.

因被89909192939495969798

因数

【答案】见解析.

【分析】因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别除以11的余数之积.因此原

题中的89〜98可以改换为1〜10,这样上下两数的乘积除以11余3就容易计算了.我们得

到下面的结果：

因致89909192939495969798

因数37195621048

进而得到此题的答案是:

因89909192939495969798

敦

因91958997939490989296

致

15.求31997的最后两位数.

【答案】63.

【分析】即考虑31997除以100的余数.由于IOO=4X25,由于33=27除以25余2,所

以39除以25余8,31°除以25余24,那么32°除以25余1；又因为3?除以4余1,那么

32°除以4余1；即32°-1能被4和25整除，而4与25互质，所以32°-1能被100整除，

即32°除以100余1,由于1997=20X99+17,所以3"97除以1。。的余数即等于3”除以

10。的余数，而36=729除以100余29,35=243除以100余43,317=(36)2X35,所以

3”除以100的余数等于29X29X43除以100的余数，而29X29X43=36163除以100

余63,所以31997除以io。余63,即31997的最后两位数为63.

16.求2461X135X6047+11的余数.

【答案】5

【分析】因为2461+11=223……8,135+11=12……3,6047+11=549……8,根据同

余定理，2461X135X6047+11的余数等于8x3x8-11的余数，而8X3X8=192,

1924-11=17……5,所以2461X135X6047+11的余数为5.

17.求478X296X351除以17的余数.

【答案】1

【分析】先求出乘积再求余数，计算量较大.根据余数乘法定理，可先分别计算出各因数除

以17的余数，再求余数之积除以17的余数.478,296,351除以17的余数分别为2,7和

11,(2X7X11)17=9……1.

18.一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3