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文档简介

2.4一元二次方程根与系数的关系数学湘教版九年级上一元二次方程

问题1：我们已经知道，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的值由方程的系数a，b，c来决定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？方程x1x2x1+x2x1·x2x2-2x=002x2-5x-6

=0x2+3x-4

=0（1）先解方程，再填表；想想两根之和、两根之积与a、b的关系，完成填空：由上表猜测：若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2=

，x1x2=

.6-1201-45-6-3-4

问题2：对于方程ax2+bx+c=0（a≠0），当Δ≥0时，该方程根与它的系数之间有什么关系呢？

这个关系通常被称为韦达定理.一元二次方程的根与系数的关系【例1】根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两根x1、x2的和与积.（1）2x2-3x+1=0，

（2）x2-3x+2=10，

（3）7x2-5=x+8.

要先将方程化为一般形式，才能确定a，b，c的值.

若ax2

bx

c

0（a

0

0）（1）若两根互为相反数，则b

0;（2）若两根互为倒数，则a

c;（3）若一根为0，则c

0

;（4）若一根为1，则a

b

c

0;（5）若一根为

1，则a

b

c

0;（6）若a、c异号，方程一定有两个实数根.

【例2】已知关于x的方程x2+3x+q=0的一个跟为-3，求它的另一个根及q的值。解：设x2+3x+q=0的另一个根为x2，则 -3+x2=-3

解得x2=0

有根与系数之间的关系得q=（-3）×0=0

因此，方程的另一个根为0，q的值为0. 【例3】设方程4x2-2x-3=0的两个根是α和β，求4α2＋2β的值．

根与系数的关系应用于：（1）不解方程检验方程的根；（2）求关于根的代数式的值；（3）已知方程的一个根求另一根和系数；（4）已知两根确定方程.一元二次方程根与系数关系的应用

2.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.

3.如果方程x2-mx+2m-1=0的两根平方和为7，求m的值.分析：x1+x2=m，x1x2=2m-1，而x12+x22=7∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=7即：m2-2（2m-1）=7解得：m=5，m=-1解：∵x1+x2=m，x1x2=2m-1，∴m=-1当m=5时，原方程无实数解，故m=5舍去。

4.已知方程x2+3x+m=0的两根为x1，x2，当

m为何值时，3x1-x2=4？

设x1，x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:（1）x1+x2=

，x1·x2=

，（2）x1²+x2²=

，（3）

（x1-x2）²=

.411412解析：（2）x1²+x2²=（x1+x2）²-2x1x2=4²-2=14.

（3）（x1-x2）²=

x1²+x2²-2x1x2=（x1+x2）²-4x1x2=4²-4=12

当k为何值时，方程2x2-（k+1）x+k+3=0的两根之差为1.

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