数学九年级上册专题25.1 概率初步章末重难点突破（人教版）（教师版）

专题25.1概率初步章末重难点突破【人教版】【知识点1必然事件、不可能事件、随机事件】在一定条件下，有些事件必然会发生，这样得事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样得事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生得事件称为随机事件。必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定得，所以它们统称为确定性事件。【考点1事件的判断】【例1】（2021•花溪区模拟）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关【分析】根据题意分别判断能否发光，进而判断属于什么事件即可．【解答】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；故选：B．【变式1-1】（2021•文山州模拟）下列事件中是不可能事件的是（）A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．百步穿杨 D．水中捞月【分析】根据不可能事件的定义逐一判断即可．【解答】解：A．守株待兔，是随机事件，选项不符合题意；B．瓮中捉鳖，是随机事件，选项不符合题意；C．百步穿杨，是随机事件，选项不符合题意；D．水中捞月，是不可能事件，选项符合题意；故选：D．【变式1-2】（2021•淮安）下列事件是必然事件的是（）A．没有水分，种子发芽 B．如果a、b都是实数，那么a+b＝b+a C．打开电视，正在播广告 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：A、没有水分，种子发芽，是不可能事件，本选项不符合题意；B、如果a、b都是实数，那么a+b＝b+a，是必然事件，本选项符合题意；C、打开电视，正在播广告，是随机事件，本选项不符合题意；D、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，本选项不符合题意；故选：B．【变式1-3】（2021春•建邺区校级期中）下列事件：①如果a、b都是实数，那么a+b＝b+a；②射击一次，中靶；③抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上；④8张相同的小标签分别标有数字1～8，从中任意抽取1张，抽到0号签．其中，属于确定事件的是①④．（填序号）【分析】直接利用随机事件以及确定事件的定义分别分析得出答案【解答】解：①如果a、b都是实数，那么a+b＝b+a，是必然事件，也是确定事件，符合题意；②射击一次，中靶，是随机事件，不是确定事件，不合题意；③抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，不是确定事件，不合题意；④8张相同的小标签分别标有数字1～8，从中任意抽取1张，抽到0号签，是不可能事件，也是确定事件，符合题意；故答案为：①④．【知识点2概率】一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小得数值，称为随机事件A发生得概率，记作P（A）。一般地，如果在一次试验中，有n种可能得结果，并且它们发生得可能性都相等，事件A包含其中得m种结果，那么事件A发生得概率P（A）=。由m与n得含义可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0、【考点2概率公式的计算】【例2】（2021春•项城市期末）如图，将一个棱长为3的正方体表面涂色，再把它分割成棱长为1的正方体，从中任取一个小正方体，则取得小正方体恰好有两个面涂色的概率为（）A．827 B．1227 C．627【分析】将一个棱长为3的正方体分割成棱长为1的小正方体，一共可得到27个小立方体，其中两个面涂色的有12块，可求出相应的概率．【解答】解：将一个棱长为3的正方体分割成棱长为1的小正方体，一共可得到3×3×3＝27（个），在每条棱上只有1个两面涂色的小立方体，由于正方体有12条棱，因此，有12个两面涂色的小立方体，所以，从27个小正方体中任意取1个，则取得的小正方体恰有两个面涂色的概率为1227故选：B．【变式2-1】（2021•宁波模拟）小栋画了4个图，分别是矩形，扇形，等边三角形，平行四边形，从这4个图中任取一个，取出的图形是中心对称图形的概率是（）A．14 B．12 C．3【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．【解答】解：从矩形，扇形，等边三角形，平行四边形这4个图中任取一个共有4种等可能结果，其中取出的图形是中心对称图形的有矩形，平行四边形这2种结果，所以取出的图形是中心对称图形的概率是24故选：B．【变式2-2】（2021•沙坪坝区校级开学）从﹣3，﹣2，0，1，2五个数中任选一个数记为m，则使关于x的一次函数y＝（m+1）x﹣2不经过第一象限的概率为25【分析】首先根据一次函数y＝（m+1）x﹣2不经过第一象限确定m+1＜0，然后再确定概率公式即可求解．【解答】解：关于x的一次函数y＝（m+1）x﹣2不经过第一象限，则m+1≤0，解得m≤﹣1，﹣3，﹣2，0，1，2这五个数中有2个小于等于﹣1，则关于x的一次函数y＝（m+1）x﹣2不经过第一象限的概率为25故答案为：25【变式2-3】（2021春•天府新区期末）若从﹣1，0，1，2，3这五个数中任抽取一个数作为a的值，使关于x的方程a+1x−2+22−x=1的解大于1，则抽到符合条件的a【分析】解方程得出x＝a+1，再根据已知条件和分式有意义的条件得出a＞0且a≠1，继而根据概率公式求解即可．【解答】解：解方程a+1x−2+22−x=根据题意，得：a+1＞1且a+1≠2，解得a＞0且a≠1，∴在﹣1，0，1，2，3这五个数中，符合条件的有2、3这2个数，∴抽到符合条件的a值的概率是25故答案为：25【考点3几何概率】【例3】（2021•广饶县二模）小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针，则针扎到其内接等边三角形（阴影）区域的概率为（）A．12 B．312π C．3【分析】求扎到阴影区域（不包括边界）的概率就是正三角形面积与圆的面积的比．【解答】解：设扎到阴影区域的正三角形的概率为P，圆的半径为R，过O作OD⊥BC与D，连接OB，OC，∵△ABC是正三角形，∴∠BOC=360°∵OB＝OC，∴∠BOD=1∴∠OBD＝30°，∵OB＝R，∴OD=R2，BD=∴BC＝2BD=3R∴S△BOC=12BC•OD∴S△ABC＝3S△BOC=3∵S圆＝πR2，∴P=3故选：C．【变式3-1】（2021•随州）如图，从一个大正方形中截去面积为3cm2和12cm2的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（）A．49 B．59 C．25【分析】由两个小正方形面积可推出最大正方形的边长及面积，从而可求阴影部分的面积，根据米粒落在图中阴影部分的概率为阴影部分与大正方形面积比即可得到答案．【解答】解：由图可知大正方形中的两个小正方形边长分别为23cm、3cm．∴大正方形的边长为23+3=3则大正方形的面积为(33阴影部分的面积为27﹣12﹣3＝12（cm2）．则米粒落在图中阴影部分的概率为1227故选：A．【变式3-2】（2021•阳东区模拟）如图是由四个直角边长分别为2和4的全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”飞镖板，小明站在投镖线上向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则针扎在阴影部分的概率是15【分析】根据几何概率的求法，针头扎在阴影部分的概率为阴影部分与正方形的面积比，根据题意，可得阴影部分正方形的面积与大正方形的面积，进而可得答案．【解答】解：根据题意，“赵爽弦图”中，四个全等的直角三角形的直角边长分别为2和4，则阴影部分的正方形的边长为4﹣2＝2，即面积为4．由勾股定理，可得大正方形的边长为22故针扎在阴影部分的概率为420故答案为：15【变式3-3】（2021•深圳模拟）如图，⊙O与正方形ABCD各边相切，若随机向正方形内投一粒米（将米粒看成一个点），则米粒落在阴影部分的概率是4−π4【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．【解答】解：设圆O的半径为a，则正方形ABCD的边长为2a．由题意可得，阴影部分的面积＝正方形的面积﹣圆的面积＝（2a）2﹣πa2＝4a2﹣πa2＝（4﹣π）a2，∴米粒落在阴影部分的概率是(4−π)a故答案为：4−π4．【知识点3用列表法求概率】当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，以及某一事件发生得可能得次数与方式，并求出概率得方法。【考点4用列表法求概率】【例4】（2021•新昌县模拟）某校九（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，将“垃圾分类”的知晓情况分为A，B，C，D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图．根据以上信息解决下列问题：（1）补全条形统计图，并求出扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角．（2）类别A的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”知识竞赛，求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．【分析】（1）由A类人数及其所占百分比求出被调查总人数，总人数减去A、C、D人数求出B类人数即可补全条形图，用360°乘以C类人数所占比例即可；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴B类人数为40﹣（4+16+2）＝18（人），∴扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为360°×16补全图形如下：（2）根据题意列表得：男1男2男3女男1﹣﹣男2男1男3男1女男1男2男1男2﹣﹣男3男2女男2男3男1男3男2男3﹣﹣女男3女男1女男2女男3女﹣﹣由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中恰好有1名男生、1名女生的有6种结果，所以恰好有1名男生、1名女生的概率为612【变式4-1】（2021•海港区模拟）如图，是两个圆形转盘，同时旋转两个转盘，两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率是（）A．34 B．14 C．38【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，再从中找出两个转盘的指针都不落在“1”区域的结果情况，进而求出相应的概率．【解答】解：用列表法表示所有空白出现的结果情况如下：共有8种能可能出现的结果，其中两个转盘的指针都不落在“1”区域的有3种，所以两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率为38故选：C．【变式4-2】（2021•洛阳三模）现有三张正面分别标有数字﹣1，1，﹣2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取―张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第三象限的概率为49【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：列表如下：﹣11﹣2﹣1（﹣1，﹣1）（1，﹣1）（﹣2，﹣1）1（﹣1，1）（1，1）（﹣2，1）﹣2（﹣1，﹣2）（1，﹣2）（﹣2，﹣2）由表知，共有9种等可能结果，其中点P（m，n）在第三象限的有4种结果，所以点P（m，n）在第三象限的概率为49故答案为：49【变式4-3】（2021•永定区模拟）今年是中国共产党百年华诞，中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启．红五月期间某校响应区团委以“红心向党，争做先锋”为主题的手抄报比赛，积极开展此项活动，学校将收到的手抄报幅数按年级进行统计，绘制了以下两幅统计图（不完整）．据图中提供的信息完成以下问题．（1）计算扇形统计图中“八年级”对应的圆心角是144°，并补全条形统计图．（2）经过评审，全校有4幅手抄报荣获特等奖，其中只有一幅来自七年级，学校准备从特等奖手抄报中任选两幅参加区级的手抄报比赛，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖手抄报被选送参加区级比赛的概率．【分析】（1）根据七年级的篇数和所占的百分比求出总篇数，用总篇数减去其他篇数求出八年级的篇数，再用360°乘以八年级篇数所占的百分比即可得出“八年级”对应的圆心角度数，最后补全统计图即可；（2）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）抽取的总篇数：25÷25%＝100（篇），八年级的篇数有：100﹣25﹣35＝40（篇），扇形统计图中“八年级”对应的圆心角是360°×40补全条形统计图如图所示：故答案为：144；（2）七年级一片用A表示，其他年级的篇数用B、C、D表示，根据题意列表如下：ABCDAABACADBABBCBDCACBCCDDADBDCD由表格可知，共有12种可能性结果，它们发生的可能性相等，其中七年级特等奖手抄报被选送参加区级比赛的有6种结果，则七年级特等奖手抄报被选送参加区级比赛的概率是612【知识点4用树状图求概率】当一次试验要涉及3个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并求出概率得方法。（1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。（2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。【考点5用树状图求概率】【例5】（2021•兴庆区校级一模）为倡导“低碳出行”，每年9月22日为世界无车日，2020年9月22日，由中国城市公共交通协会联合清华大学中国城市研究院共同举办的第十四届“922绿色出行日”主题活动拉开序幕，环保部门对某城市居民出行使用交通方式的情况进行了问卷调查，将收回的问卷调查结果整理后，绘制了不完整的统计图，其中“骑自行车、电动车”所在的扇形的圆心角是162°．请根据以上信息解答下列问题：（1）请补全条形统计图．（2）如果绿色出行是指“骑自行车、电动车”和“坐公交车”，计算绿色出行在所有交通方式中的频率，并在50万人口的城市中选择绿色出行的共有多少人．（3）若参与问卷调查的人中选择“其他”交通方式的有两名女性，其余为男性，现从中随机选取两人进行跟踪调查，请借助树状图或者表格，求出恰好选到1男1女的概率．【分析】（1）根据坐公车的人数和所占的百分比求出总人数，用总人数乘以“骑自行车、电动车”的人数所占的百分比，求出“骑自行车、电动车”的人数，再用总人数减去其他使用交通工具的人数，求出其他人数，从而补全统计图；（2）先求出绿色出行在所有交通方式中的频率，再乘以总人数即可；（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到1男1女的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）抽取的总人数有：80÷40%＝200（人），则“骑自行车、电动车”的人数为200×162°其他的人数有：200﹣80﹣90﹣25＝5（人），补全统计图如下：（2）绿色出行在所有交通方式中的频率为：（80+90）÷200=1750万人口的城市中选择绿色出行的共有50×17（3）根据题意画图如下：共有20种等可能的情况数，其中恰好选到1男1女的有12种，则恰好选到1男1女的概率是1220【变式5-1】（2021•恩施州）工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为（）A．35 B．15 C．310【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6种，∴这两名工人恰好都是男工人的概率为620故选：C．【变式5-2】（2021•镇平县模拟）三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字1，2，3，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤，得到数字a，b，则a≥b的概率是23【分析】画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案．【解答】解：根据题意画图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中a≥b的有6种，则则a≥b的概率是69故答案为：23【变式5-3】（2021•郧西县模拟）某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图频数分布表：组别时间/小时频数/人数A组0≤t＜12B组1≤t＜2mC组2≤t＜310D组3≤t＜412E组4≤t＜57F组t≥54请根据图表中的信息解答下列问题：（1）表中m＝5；扇形统计图中，“B”部分对应的扇形圆心角的度数为45°；“C”部分所占百分比为25%；若该校有2000名学生，那么每周课外阅读时间超过4小时的人数大约为550人；（2）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生．【分析】（1）根据6组的人数之和为40可求出m，用360°乘以B组人数所占比例可求得其对应圆心角度数；用C组人数除以总人数可求得其对应的百分比；用总人数乘以样本中E、F组人数和所占比例．（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到都是女生的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）m＝40﹣（2+10+12+7+4）＝5，扇形统计图中，“B”部分对应的扇形圆心角的度数为360°×5“C”部分所占百分比为1040若该校有2000名学生，那么每周课外阅读时间超过4小时的人数大约为2000×7+4故答案为：5、45°、25%、550；（2）画树状图如下：共有12个等可能的结果，恰好都是女生的结果有6个，∴恰好都是女生的概率为612=【知识点5用频率估计概率】在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上瞧似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生得频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生得频率作为这个事件得概率得估计值。一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生得频率稳定于某一个常数P，那么事件A发生得频率P（A）=p。【考点6用频率估计概率】【例6】（2021•河北一模）育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试基本情况相同的条件下，得到如下数据：抽查小麦粒数1005001000200030004000发芽粒数9548696819402907a则a的值最有可能是（）A．3680 B．3720 C．3880 D．3960【分析】根据5次测试从100粒增加到3000粒时，测试某品种小麦发芽情况的频率趋近于0.97，从而求得答案．【解答】解：∵95÷100＝0.95，486÷500＝0.972，968÷1000＝0.968，1940÷2000＝0.97，2907÷3000＝0.969，∴可估计某品种小麦发芽情况的概率为0.97，而3680÷4000＝0.92，3720÷4000＝0.93，3880÷4000＝0.97，3960÷4000＝0.99．故选：C．【变式6-1】（2021春•乐平市期末）黄豆在相同条件下发芽率试验，结果如表．下面3个推断：①当n＝100时，黄豆发芽的频率是0.970，所以黄豆发芽概率为0.970；②根据表格数据，估计黄豆发芽的概率为0.95；③若n＝6000时，估计黄豆发芽的粒数约为5700．其中正确的个数为（）每批粒数n3060100500100030005000发芽的粒数m28589747995728444752发芽的频率m0.9330.9670.9700.9580.9570.9480.950A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据表中信息，当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.95，由于试验次数较多，可以用频率估计概率．【解答】解：①当n＝100时，黄豆发芽的频率是0.970，所以黄豆发芽概率为0.970；此推断错误；②根据表格数据，估计黄豆发芽的概率为0.95；此推断正确；③若n＝6000时，估计黄豆发芽的粒数约为6000×0.95＝5700．此结论正确．故选：C．【变式6-2】（2021春•仪征市期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n100200