(新高考)高考数学一轮复习讲义+巩固练习1.4《基本不等式》(原卷版)

第第页§1.4基本不等式考试要求1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．知识梳理1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab≤(eq\f(a＋b,2))2与eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)等号成立的条件是相同的．()(2)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.()(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.()(4)函数y＝sinx＋eq\f(4,sinx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值为4.()教材改编题1．已知x>2，则x＋eq\f(1,x－2)的最小值是()A．1B．2C．2eq\r(2)D．42．(多选)若a，b∈R，则下列不等式成立的是()A.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2B．ab≤eq\f(a2＋b2,2)C.eq\f(a2＋b2,2)≥(eq\f(a＋b,2))2D.eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)3．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.题型一利用基本不等式求最值命题点1配凑法例1(1)设0<x<eq\f(3,2)，则函数y＝4x(3﹣2x)的最大值为()A.eq\f(9,4)B．4C.eq\f(9,2)D．9(2)若x<eq\f(2,3)，则f(x)＝3x＋1＋eq\f(9,3x－2)有()A．最大值0B．最小值9C．最大值﹣3D．最小值﹣3(3)函数y＝eq\f(x＋5x＋2,x＋1)(x>﹣1)的最小值为________．命题点2常数代换法例2已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,2b)的最小值是()A．1B．2C.eq\f(9,4)D.eq\f(9,2)命题点3消元法例3已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____．延伸探究本例条件不变，求xy的最大值．教师备选1．已知x>0，y>0，且2x＋8y﹣xy＝0，则当x＋y取得最小值时，y等于()A．16B．6C．18D．122．已知函数f(x)＝eq\f(－x2,x＋1)(x<﹣1)，则()A．f(x)有最小值4B．f(x)有最小值﹣4C．f(x)有最大值4D．f(x)有最大值﹣4思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝eq\f(2,2x－1)＋x(2x>1)，则f(x)的最小值为________．(2)若实数x>1，y>eq\f(1,2)且x＋2y＝3，则eq\f(1,x－1)＋eq\f(1,2y－1)的最小值为________．题型二基本不等式的常见变形应用例4(1)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为()A.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2eq\r(ab)(a>0，b>0)C.eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)(a>0，b>0)D.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)(2)已知0<a<1，b>1，则下列不等式中成立的是()A．a＋b<eq\f(4ab,a＋b)B.eq\r(ab)<eq\f(2ab,a＋b)C.eq\r(2a2＋2b2)<2eq\r(ab)D．a＋b<eq\r(2a2＋2b2)教师备选若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2思维升华基本不等式的常见变形(1)ab≤(eq\f(a＋b,2))2≤eq\f(a2＋b2,2).(2)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．跟踪训练2(1)已知命题p：a>b>0，命题q：eq\f(a2＋b2,2)>(eq\f(a＋b,2))2，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是()A.eq\f(2,a＋b)B.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)C.eq\f(2,\r(ab))D.eq\r(\f(2,a2＋b2))题型三基本不等式的实际应用例5小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25﹣x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入﹣总支出)教师备选某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是________cm2.思维升华利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．跟踪训练3网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3﹣eq\f(2,t＋1).已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元．柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789﹣1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．1．(柯西不等式的代数形式)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．推广一般情形：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，则(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立)．2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．3．(柯西不等式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则：eq\r(x1－x22＋y1－y22)＋eq\r(x2－x32＋y2－y32)≥eq\r(x1－x32＋y1－y32).一、利用柯西不等式求最值例1已知x，y满足x＋3y＝4，则4x2＋y2的最小值为________．例2已知正实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，正实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝9，则ax＋by＋cz的最大值为________．例3函数y＝5eq\r(x－1)＋eq\r(10－2x)的最大值为________．二、利用柯西不等式证明不等式例4已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,b1)＋\f(a2,b2)))≥(a1＋a2)2.例5已知a1，a2，…，an都是实数，求证：eq\f(1,n)(a1＋a2＋…＋an)2≤aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n).课时精练1．下列函数中，最小值为2的是()A．y＝x＋eq\f(2,x)B．y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))C．y＝ex＋e﹣xD．y＝log3x＋logx3(0<x<1)2．已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为()A．13B．12C．9D．63．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f(a＋b2,x＋y)，当且仅当eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)时取等号．利用以上结论，函数f(x)＝eq\f(2,x)＋eq\f(9,1－2x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))取得最小值时x的值为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(1,3)4．已知x>2，y>1，(x﹣2)(y﹣1)＝4，则x＋y的最小值是()A．1B．4C．7D．3＋eq\r(17)5．已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．86．原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是()A．第一种方案更划算B．第二种方案更划算C．两种方案一样D．无法确定7．(多选)已知正实数a，b满足a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列不等式成立的有()A．2a＋2b≥2eq\r(2)B．a2＋b2<1C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)<4D．a＋eq\f(1,a)<28．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是()A．a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2)B.eq\f(2ab,a＋b)>eq\r(ab)C.eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋bD．(a＋b)(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))≥49．若0<x<2，则xeq\r(4－x2)