巴特沃斯滤波器的设计与仿真

摘要传统的数字滤波器的设计过程复杂，计算工作量大，滤波特性调整困难，影响了它的应用。本文介绍了一种利用matlab提供的巴特沃斯滤波器设计函数“buttord〞可求出所需的滤波阶数和3dB截止频率的方法。利用matlab设计滤波器设计函数，可以随时比照设计要求和滤波器特性调整参数，直观简便，极大的减轻了工作量，有利于滤波器设计的最优化。关键词：巴特沃斯滤波器Matlab截止频率AbstractDesignfortraditionaldigitalfilterisverycomplicated,countalsoverycomplicated.itisveryhardtoreadjustfilteringcharacter,influenceapply,themainbodyofthebookintroduceusematlabprovidebutwostodesignfunction“buttord〞filteris3dBendfrequency.usematlabtodesigncouldcompetereqireparameterburden，contributetooptimize.Keywords:filterismatlabendfrequency目录摘要……………ⅠAbstrct1.1课题背景12.1巴特沃斯滤波器阶数的选择22.2.1巴特沃斯低通滤波器系数计算22.2.2巴特沃斯高通滤波器系数计算32.2.3巴特沃斯带通滤波器系数计算32.2.4巴特沃斯带阻滤波器系数计算43.1.1巴特沃斯低通滤波器实例仿真53.1.2巴特沃斯高通滤波器实例仿真63.1.3巴特沃斯带通滤波器实例仿真73.1.4巴特沃斯带阻滤波器实例仿真8\l"_Toc208653562#_Toc208653562"结论9\l"_Toc208653564#_Toc208653564"参考文献10绪论课题背景巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦，没有起伏，而在阻频带那么逐渐下降为零。在振幅的对数对角频率的波得图上,从某一边界角频率开始,振幅随着角频率的增加而逐步减少,趋向负无穷大。巴特沃斯滤波器特别适用于低频应用，其对于维护增益的平坦性来说非常重要。这种滤波器最先由英国工程师斯替芬·巴特沃斯〔StephenButterworth〕在1930年发表在英国《无线电工程》期刊的一篇论文中提出的。在电力系统微机保护和二次控制中，很多信号的处理与分析都是基于对正弦基波和某些整次谐波的分析，而系统电压电流信号〔尤其是故障瞬变过程〕中混有各种复杂成分，所以滤波器一直是电力系统二次装置的关键部件。目前微机保护和二次信号处理软件主要采用数字滤波器。传统的数字滤波器设计使用繁琐的公式计算，改变参数后需要重新计算，在设计滤波器尤其是高阶滤波器时工作量很大。利用matlab提供的巴特沃斯滤波器设计函数“buttord〞可以快速有效的实现数字滤波器的设计与仿真。巴特沃斯滤波器是电子滤波器的一种。【1】巴特沃斯滤波器的设计巴特沃斯滤波器阶数的选择在设计参数,,Rp,Rs之后,利用MATLAB提供的巴特沃斯滤波器设计函数“buttord〞即可求出所需要的滤波器阶数和3dB截止频率。“buttord〞命令的格式是：[n,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)其中，Wp是通带截止频率，如Wp=500/4000或Wp=[650,1200]/4000等等。Ws是阻带起始频率，Wp也可以是标量或2个元素的向量。Rp是通带内波动〔dB〕。Rs是阻带内最小衰减〔dB〕。返回值n是巴特沃斯滤波器最低阶数，不同的n有不同的频率响应。n越大频率响应越理想，但n越大。根据要求的指标是多少再选择相应的阶数。这里我选用2阶就够了。Wn是巴特沃斯滤波器截止频率，Wn可以是标量或2个元素的向量。【2】巴特沃斯滤波器系数计算[n,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)其中Wp和Ws分别是通带和阻带的拐角频率〔截止频率〕，其取值范围为0至1之间。当其值为1时代表采样频率的一半。Rp和Rs分别是通带和阻带区的波纹系数。不同类型〔高通、低通、带通和带阻〕滤波器对应的Wp和Ws值遵循一定的规那么。【3】2.低通滤波器遵循的规律：Wp和Ws为一元矢量且Wp<Ws。稍后我会在仿真局部阐述设计一个巴特沃斯低通滤波器，通带截止频率为2KHz，阻带截止频率为3KHz，通带波纹系数为1，阻带衰减系数为20，采样频率为10KHz。[b,a]=buttord(n,Wn)%n为低通滤波器阶数%Wn为低通滤波器截止频率%b为H〔z〕的分子多项式系数%a为H〔z〕的分母多项式系数2.2.2巴特沃斯高通滤波器系数计算高通滤波器是容许高频信号通过、但减弱〔或减少〕频率低于截止频率信号通过的滤波器。对于不同滤波器而言,每个频率的信号的减弱程度不同。它有时被称为低频剪切滤波器；在音频应用中也使用低音消除滤波器或者噪声滤波器。高通滤波器与低通滤波器特性恰恰相反。一个滤波器滤除一个复杂信号中不想要的低频成份同时让高频信号通过是很有用的。当然，'低'和'高'频率的含义是相对于滤波器设计者所选择的截止频率而言的。利用巴特沃斯〔Butterworth〕高通滤波器对图像进行锐化处理。高通滤波器遵循规律：Wp和Ws为一元矢量且Wp>Ws。[b,a]=buttord(n,Wn，‘high’)%n为高通滤波器阶数%Wn为高通滤波器截止频率%b为H〔z〕的分子多项式系数%a为H〔z〕的分母多项式系数2.2.3巴特沃斯带通滤波器系数计算带通滤波器是指能通过某一频率范围内的频率分量、但将其他范围的频率分量衰减到极低水平的滤波器，与带阻滤波器的概念相对。这些滤波器也可以用低通滤波器同高通滤波器组合来产生。实际上，并不存在理想的带通滤波器。滤波器并不能够将期望频率范围外的所有频率完全衰减掉，尤其是在所要的通带外还有一个被衰减但是没有被隔离的范围。这通常称为滤波器的滚降现象，并且使用每十倍频的衰减幅度dB来表示。通常，滤波器的设计尽量保证滚降范围越窄越好，这样滤波器的性能就与设计更加接近。然而，随着滚降范围越来越小，通带就变得不再平坦—开始出现“波纹〞。带通滤波器遵循规律：Wp和Ws为二元矢量且Wp<Ws，如Wp=[0.2,0.7],Ws=[0.1,0.8]。[b,a]=buttord(n,[W1,W2])%n为buttord〔〕设计出的带通滤波器阶数%根据MATLAB帮组文件，butter(n,[W1,W2])将返回2*n阶滤波器系数%Wn为带通滤波器截止频率，Wn=[W1,W2],是2元向量%注意，带通滤波器阶数是2倍关系%b为H〔z〕的分子多项式系数%a为H〔z〕的分母多项式系数【4】2.带阻滤波器(又称陷波器)的作用是抑制某一频率信号而通过其他频率的信号。在Matlab中用[b，a]=butterord(n，Wn，′stop′，′s′)语句来实现带阻滤波器，其中[b，a]是滤波器传递函数多项式的系数;n为滤波器的阶数;wn=[fl*2*pifu*2*pi]分别为阻带低端一3dB和高端一3dB处的角频率;′s′表示模拟滤波器的。巴特沃特带阻滤波器返回分子分母多项式系数，还可以作出增益曲线，以及求出相位响应以及群延时响应。带阻滤波器遵循规律：Wp和Ws为二元矢量且Wp>Ws，如Wp=[0.1,0.8],Ws=[0.2,0.7]。[b,a]=buttord(ceil〔n/2〕,[W1,W2],’stop’)%n为buttord〔〕设计出的带阻滤波器阶数%根据MATLAB帮组文件，butter(n,[W1,W2]，‘stop’)将返回2*n阶滤波器系数%Wn为带通滤波器截止频率，Wn=[W1,W2],是2元向量%注意，带通滤波器阶数是2倍关系%b为H〔z〕的分子多项式系数%a为H〔z〕的分母多项式系数【5】巴特沃斯滤波器设计仿真\l"_Toc208653561#_Toc208653561"巴特沃斯滤波器设计仿真3.1.1巴特沃斯低通滤波器实例仿真采样率为8000Hz，设计一个巴特沃斯低通滤波器，通带截止频率为2KHz，阻带截止频率为3KHz，通带波纹系数为1，阻带衰减系数为20，采样频率为10KHz，那么只需在MATLAB的命令窗口下键入程序如下：f_N=8000;f_p=2100;f_s=2500;R_p=3;R_s=25;Ws=f_s/(f_N/2);Wp=f_p/(f_N/2);[n,Wn]=buttord(Wp,Ws,R_p,R_s);[b,a]=butter(n,Wn);freqz(b,a,1000,8000)subplot(2,1,1);axis([04000-303])程序运行后所设计出的巴特沃斯低通滤波器的频率响应如图1所示。横坐标为：angularfrequency(red/s)纵坐标为：phase(degrees)和gain(dB)。从图中可以得出，仿真后的频率响应满足的设计要求。图一巴特沃斯低通滤波器的频率响应3.1.2巴特沃斯高通滤波器实例仿真采样率为8000Hz，设计一个巴特沃斯高通滤波器，通带截止频率为2KHz，阻带截止频率为3KHz，通带波纹系数为1，阻带衰减系数为20，采样频率为10KHz，f_p=1000Hz;f_s=700Hz,Rp=3dB,Rs=20dB。程序如下：f_N=8000;f_p=1000;f_s=700;R_p=3;R_s=20;Ws=f_s/(f_N/2);Wp=f_p/(f_N/2);[n,Wn]=buttord(Wp,Ws,R_p,R_s);[b,a]=butter(n,Wn，'high');freqz(b,a,1000,8000)subplot(2,1,1);axis([04000-303])程序运行后所设计出的巴特沃斯高通滤波器的频率响应如图2所示。横坐标为：frequency(Hz)纵坐标为：phase(degrees)和Magnitude(dB)。从仿真图中得出，仿真后的频率响应满足设计的要求。图二巴特沃斯高通滤波器的频率响应3.1.3巴特沃斯带通滤波器实例仿真采样率为10000Hz，设计一个巴特沃斯带通滤波器，通带截止频率为2KHz，阻带截止频率为3KHz，通带波纹系数为1，阻带衰减系数为20，采样频率为10KHz，f_p=[1000,1500]Hz;f_s=[600,1900]Hz,Rp=3dB,Rs=20dB。程序如下：f_N=10000;f_p=[1000,1500];f_s=[600,1900];R_p=3;R_s=20;Ws=f_s/(f_N/2);Wp=f_p/(f_N/2);[n,Wn]=buttord(Wp,Ws,R_p,R_s);[b,a]=butter(n,Wn);freqz(b,a,1000,10000)subplot(2,1,1);axis([05000-303])程序运行后所设计出的巴特沃斯带通滤波器的频率响应如图3所示。横坐标为：frequency(Hz)纵坐标为：phase(degrees)和Magnitude(dB)。从仿真图中得出，仿真后频率响应图满足的设计要求。图三巴特沃斯带通滤波器的频率响应3.1.4巴特沃斯带阻滤波器实例仿真与低通滤波器的幅频、相频特性类似，带阻滤波器的幅频、相频特性如图四所示。在该设计中，电阻R1，R2，R3，电容C1的取值需要确定，它们的计算公式可以通过Matlab编程来得到，最终根据计算结果选择相应的标称值。【6】采样率为10000Hz，要求设计一个带阻滤波器，f_p=[1000,1500]Hz;f_s=[1200,1300]Hz,Rp=3dB,Rs=30dB。程序如下：f_N=10000;f_p=[1000,1500];f_s=[1200,1300];R_p=3;R_s=30;Ws=f_s/(f_N/2);Wp=f_p/(f_N/2);[n,Wn]=buttord(Wp,Ws,R_p,R_s);[b,a]=butter(n,Wn，'stop');freqz(b,a,1000,10000)subplot(2,1,1);axis([05000-353])程序运行后所设计出的巴特沃斯带阻滤波器的频率响应如图4所示。从图中得出，频率响应满足的设计要求。图四巴特沃斯带阻滤波器的频率响应结论本设计主要讲述了MATLAB的概括内容，说明了利用MATLAB进行巴特沃斯滤波器的设计的原理。数字滤波器是数字信号处理的重要根底，它是指完成信号滤波器处理功能的，用有限精度算法实现的离散时间线性非时变系统，其输出是一组〔由模拟信号抽样和量化的〕数字量，输出那么是经过变换的另一组数字量。随着数字技术的开展，数字滤波器正以其独有的稳定性高、精度高、灵活性大等突出优点，愈来愈引起人们的重视和广泛的应用。MATLAB数字滤波器函数库为数字滤波器的设计和仿真带来了方便，使原来繁琐复杂的程序设计变成了简单的函数调用，为滤波器的设计和实现开辟了广阔的天地。本设计着眼于所学的信号及信号处理知识，主要基于MATLAB巴特沃