四川省2021届高三诊断性测试 数学（理） 含答案

四川省2018级高中毕业班诊断性测试

理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，仅将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.设集合人={-1,0,1,2,3},集合B={x*>2x},则ACB的子集个数为

A.2B.4C.6D.8

2.方胜是汉民族的传统寓意祥纹，由两个菱形压角叠加而成，一个菱形的顶点与另一个菱形的

中心对应，象征着“同心”在如图所示的二连方胜中任取一点，则该点恰好落在叠加小菱形

内的概率为（不考虑菱形边界的宽度）

3.设p,q是两个命题，则““为假命题”是“pVq为真命题”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.2020年春季，新冠肺炎疫情在全球范围内相继爆发，因为政治制度、文化背景等因素的不

同，各个国家疫情防控的效果具有明显差异，右图是西方某国在60天内感染新冠肺炎的累计

病例人数y（万人）与时间t（天）的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程的类型是

100...........................................A.

80...................:...........................

60........................................

40.................................*..............

20......................../..................

0―2。3’04’0二二力天

A.y=a+bxB.y=a+b>/xC.y=a+bexD.y=a+blnx

A

5在（x的展开式中，常数项为

A.256B.240C.192D.160

6.在AABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，已知2acosC=2b+Gc,则角A等于

7171lf兀

A.-B.-C.D.

6336

7.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据市场预测，甲、乙两个项目的可能最大盈利率分别

为30%和20%,可能最大亏损率分别为50%和20%。该投资人计划利用不超过300万元的资

金投资甲、乙这两个项目，在总投资风险不超过30%的情况下，该投资人可能获得的最大盈

利为

A.40万元B.50万元C.60万元D.70万元

8.已知直线/bx—ay+ab=0(ab>0)经过点P(—1,2),则2a+b的最小值为

A.6B.7C.8D.9

兀

9.将函数y=sin2x图象上的每一个点按向量a=((p,m)(其中<p和m为常数，且)移动后,

TT

所得图象关于直线x=^对称，则(P的值可能为

71〜冗71尸x4

①；②U③一工④一；

3663

A.①③B.②③C.①④D.②④

10.已知F(c,0)(其中c>0)是双曲线r-2v=l(a>0,b>0)的焦点，圆x2+y2-2cx+b2=0与

ab~

双曲线的一条渐近线/交于A、B两点，已知/的倾斜角为30。，贝han/AFB=

A.—V2B.—-\/3C.-2V2D.一2>/3

11.设a=0.2°2,b=0.2°\c=0.3°-2,d=O.30-3,则a,b,c,d的大小关系是

A.c>a>d>bB.c>d>a>bC.c>a>b>dD.d>c>b>a

12.已知正方体ABCD—A|B|C|D|的棱长为4,且入百+3双=4反再，正方体内的动点P满

足|而卜2|而卜则点P的轨迹所形成图形的面积是

A.7iB.2兀C.3TID.4兀

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设复数z=l-i（i为虚数单位）的共规复数为z,则|z・（1+z）尸。

14.在正四棱柱（底面为正方形且侧棱垂直于底面）ABCD-AIBCIDI中，BC=2AA1，M是BC

的中点，则异面直线BD,与MG所成角的大小为。

15.已知直线经过抛物线y2=4x的焦点F,并交抛物线于A、B两点，在抛物线的准线上的一

点C满足CB=2BF,则|AF|=。

x-2,x<2

16.已知函数f（x）=4/、，则f[f（5）]=____①____；

log2（x-l）,x>2

不等式f（x+2）+f（x）>f（2）的解集是②。（第一空2分，第二空3分）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

如小图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，E为侧棱PC的中点。

（1）求证：经过A、B、E三点的截面平分侧棱PD；

（2）若PAL底面ABCD,且PA=AD,求二面角A—BE-C的大小。

18.（12分）

团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我

们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强大的精神力量。最近，某研究性学

习小组就是否观看过电影《夺冠（中国女排》》对影迷们随机进行了一次抽样调查，其列联表如

右表（单位：人）。

是否合计

青年401050

中年302050

合计7030100

（1）根据列联表以及参考公式和数据，能否在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为是否观

看过电影《夺冠（中国女排）》与年龄层次有关？

(2)i现从样本的中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求其中至少

有2人观看过电影《夺冠(中国女排)》的概率；

ii将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人，记其中观看过电影《夺冠(中国女排)》的

人数为。求随机变量&的数学期望及方差。

参考公式：K?=---------"(ad-bcY-------,其中n=a+b+c+d。

(a+b)(c+d)(a+c)(h+d)

参考数据:

P(X涮0.150.100.050.025

ko2.0722.7063.8415.024

19.(12分)

设等差数列｛aj的前n项和为Sn，已知S5=35,且如是a］与a13的等比中项。

(1)求｛aj的通项公式;

11132

(2)若ai<4,求证：---1----1---1---<--------,其中n£N*。

S]512Sn4an+]

20.(12分)

22

设A、F分别为椭圆C：与+马=l(a>6>0)的左顶点和右焦点，B为它的一个短轴端点,

a'b'

已知4ABF的面积为一。

a

(1)求椭圆C的离心率；

(2)经过点F且不与坐标轴垂直的直线/与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与

x轴交于点P,当/的方向变化时，是否存在常数3使得|MN|=MPF|恒成立？若存在，求出入

的值；若不存在，请说明理由。

21.(12分)

1,

己知函数f(x)=e'——ax~-X。

2

⑴设f(x)是f(x)的导函数，讨论函数y=f(x)的单调性；

(2)当aWl—1时，求证：f(x)+x—ln(x+l)2l。

e

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题

计分。

221选修4—4：极坐标与参数方程］(10分)

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：P=V0(其中a为参数)。以O为极点、x

y=-l+2sina

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)。

(1)求曲线C的极坐标方程；

7T

(2)设点A的极坐标为(一3,])点B在曲线C上运动，求4OAB面积的最大值以及此时点B

的极坐标。

23」选修4—5：不等式选讲](10分)

设函数f(x)=x|x—a|,其中a为常数。

(1)当a=l时，求不等式f(x)<2的解集；

(2)若方程f(x)=l有三个不等实根，求a的取值范围。

四川省2018级高中毕业班诊断性测试

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：（每小题5分，共60分）

1.B2.C3.A4.C5.B6.D

7.D8,C9.A10.D11.A12.B

二、瑁空题：（每小题5分，共20分）

13.5/10：14.-：15.4：16.①0;②

4

三、解答题：（共70分）

17、（1）证明:设翥面与侧棱尸。交于点£连结“涓户.(1分)

因为底面.W8CZ7为正方形，所以X8〃CD（2分）

又ABU平面PCD,且CDU平面PCD,

所以.48〃平面PCD.（3分）

又ABU平面且平面平面PCD=EF,

所以38〃£F.（4分）

又因为.48"CD,所以CD//EF.（5分）

因为£为PC的中点，所以广为的中点.

成截面X8E平分吃棱户D(6分)

(2)解:设48=2,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

则>1(0,0,0)^(0,0,2),5(2,0,0),C(2,2,0),ZXO,2,0),£(1,1,1).（7分）

=(2,0,0),5E=(-l,l,l),5C=(0,2,0).（8分）

由，2'=°得平面的一个法向量获=(0」,_1).

（9分）

|x-y-z=0

由12y=0得平面C8E的一个法向量;;=(1,0,-1).

（10分）

Ix-y-z=0

--m.n

所以cos<>=m=~7=~~.（11分）

同.卜|v2-V22

由图知二面角为锐角，故其大小为2.（12分）

理科数学答案（第I页，共6页）

18、解：⑴由表格数据得,不=IOQXHOXZO—OXIO）-=&,Q分）

70x30x50x5021

因为122<5<5.024,所以不能在犯错误的啜率不超过2.5%的前提下，认为是否观看过电

21

影《夺冠（中国女排）》与年龄层次有关.（4分）

（2）①依题意，从样本的中年人（50人）中按分层抽样的方法取出的5人中，观看过电影

《夺冠（中国女播）》的有5K迎=3人，没有观看过的有2人.（5分）

50

记抽取的3人中有i人观看过电影《夺冠（中国女排）》为事件.£〃=2,3）,则

=0.6；（6分）

—2=^c5^="102

P（A）=^-=—=0.1.（7分）

以10

因为土和土互斥,所以抽取的这3人中至少有2人观看过电影《夺冠（中国女排）》的

概率为P（.4+4）=R4）+田4）=o.6-o」=o.7.（8分）

②由列联表可知，观看过电影《夺冠（中国女排）》的频率为就=0.7.（9分）

将频率视为概率，则随机变量J段从二国分布5（10,0.7）.（10分）

故地机变量托勺数学期望为尺=10x0.7=7.（11分）

魂机变量：的方差为。—10x0.7x（1.0.7）=2.L（12分）

19、解：（I）设等差数列9.｝的公差为4由Ss=35得5ai+10d=35.（1分）

因为％是©与au的等比中项，所以（处+3小2=用（小一12办（2分）

化简得a：=7・2d,且2a：d=3d2.（3分）

解方程组，得m=7#=0,或0=3,*2.（5分）

故的通引公式为*=7或o”=2〃+M其中（6分）

（2）因为。：<4,则々”=2〃+1,于是S产〃（〃-2）.（7分）

（8分）

（9分）

（10分）

因为（"帅+2）《竽）,所以菰：2）>五三=5

（11分）

理科数学答案：第2页,共6页）

于是一—一,—―=----，其中〃£、■.（12分）

“424】4*

20、解：（I）设椭圆的半焦距为c,由已知得（1分）

2a

BPo（疗c）=2尻又B-qLc2,所以2c2-ac-a2=O.（2分）

鼠（2j?）（La）=O,由a.c均大于零，于是2c=a.（3分）

解得e=£=L,H椭圆C的离心率为L.（4分）

a22

（2）由（1）知,加=4已分=3"所以椭圆C的方程可化为3工及4尸=12~（5分）

设直线A/.V的方程为L（V-C（B））,代入3『-4尸=12/并整理得

(3产+4))[Wcr-9/=0(AX)).(6分)

设M（X1必）、N（X2J2）,则y：+y,=,凶打=3一｝4.（7分）

由弦长公式，得|MV|="+力［（必+乃）2一孙力］

=向会匹』=塔半（9分;

V1（3尸+4『3「+4」3厂+4

设线段MV的中点坐标为的皿）,则齐=巧力.=萨3,/=/+。=f三.（10分）

则MV的垂直平分线方程为y+一芝_=__一］.

3广+4I31+4）

令尸。得点尸的横坐标为（“分）

于是阳=卜-j|=爷土詈（卜网,故存在常数;=4满足条件.（12分）

21具

（1）由已知//（x）=ex-ax-1

设g（x）=r（x）

，g'（x）=e*-a（1分）

①当a40时，8'（*）=6，-4>0在我上恒成立

•'•8（》）=八幻在（-8,+00）上递增（2分）

理电数学答案：第3页，共6页）

②当a>0忖，令g’(x)>0得x>lna

g'(x)V0得xVIna

・'•g(x)=.f'(x)在(-w,lna)±jlM.在(lna,+x)上通增《4分)

标上所述I当440忖，>，=/'(外是(-=,+8)上的增函数

当。>耐，1y=/(x)在(-oc.lna)是减函数,在(lna*o)上是增的敷(5分)

(2)由(I)如.①当。40时,f'(x)=e'・ax-l在上通事

又/''(())=0

.••・IVxV耐，八x)V(hx>OPt.f(x)>0

则/(x)在(-1,0)上递减.在(0,+x)上递港

l(6分)

②当0Va41时.InaM-l

e

由⑴知/'(X)在(T.Y)上递增.xr(o)-o

则/(x)在(-1,0)上递减.左(0,+工)上通湾

•••/(x)m=/(0)=l(7分)

③当一Va41-1时,由(1)知

ee

/'(x)在(-l/na)上递减.在(lna.*ao)2J4增

且/(0)=0,八-1)=-*a-140

e

.,.-lix<ORt，y(x)<0!x>Offt.f'(x)>o

.•./(x)在(-1,0)上递减，在(O,-ac)在通港

理八教学答实(第I又.共6M)

则/(幻==/(0)=1（9分）

综上所述：函数八幻在[-1,田)上的最小值为1（10分）

A/(x)>l

则要证明原不等式只须证明x-ln(x-l)NO

设力(x)=x-ln(x+l)(xA-l)

1X

h'(x)=1------=---

X+lX+1

则当-IVxVO时，h'(x)<0

x>0时，h\x)>Q

BP：〃(x)在(-1,0)上递减,在(0,+oc)上递/

则力(X)min=力(°)=°

（11分）

又/(x)Nl

故/(x)+x-ln(x+l)N1（12分）

鹏:黑电消去参加得…）'（""•

22、解：（I）在（2分）

跟+,2=2（Qt_y）.（3分）

由x=pcos。j="sin仇得夕：=20（石cos8—sin6）,（4分）

所以曲线C的极坐标方程为0=4cos：0+?SGR）.

（5分）

（2）由已知,A0/8的面积为

|。4卜|。8卜inZJOB=yx3x4cos；0+羡；xsin（7分）

=6cos2j0+]；•（8分）