中考数学全程演练单元滚动专题卷(六)

单元滚动专题卷（六）一、选择题(每题4分，共40分)1．下列结论正确的是 (B)A．长度相等的两条弧是等弧B．半圆是弧C．相等的圆心角所对的弧相等D．弧是半圆【解析】A．根据圆的某些概念的相关定义，能够完全重合的弧是等弧，故本选项错误；B.弧分为优弧、劣弧、半圆，故本选项正确；C.根据在同圆或等圆内，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；D.弧分为优弧、劣弧、半圆，故本选项错误．2．[2015·宝鸡模拟]如图1，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连结AD，BC，BD，下列结论中不一定正确的是 (C)图1A．AE＝BE B．AD＝BDC．OE＝DE D．∠DBC＝90°3．[2015·温州模拟]在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的度数之比可能是 (B)A．1∶2∶3∶4 B．4∶2∶1∶3C．4∶2∶3∶1 D．1∶3∶2∶44．[2014·邵阳]如图2，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A＝30°，则∠C的大小是 (A)A．30° B．45° C．60° D．40°图2第4题答图【解析】连结OB，如答图，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，∵∠AOB＝2∠C，∴∠C＝eq\f(1,2)∠AOB＝30°.5．如图3是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水的最大深度为2cm，则该输水管的半径为 (C)A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm图3第5题答图【解析】如答图所示，过点O作OD⊥AB于点D，连结OA.∵OD⊥AB，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm)．设OA＝r，则OD＝r－2，在Rt△AOD中，OA2＝OD2＋AD2，即r2＝(r－2)2＋42，解得r＝5cm.故选C.6．[2014·襄阳]用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 (B)A.eq\f(1,2) B．1 C.eq\f(3,2) D．2【解析】设圆锥底面的半径为r，根据题意得2πr＝eq\f(120π×3,180)，解得r＝1.7．如图4，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，若PA＝15，则△PCD的周长为 (D)A．15 B．12 C．20 D．30【解析】∵P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，∴AC＝EC，BD＝DE，AP＝BP，∵PA＝15，∴△PCD的周长为PA＋PB＝30.图4图58．如图5，AC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果AO＝65cm，CO＝15cm，当刮雨刷AC绕点O旋转90°时，刮雨刷AC扫过的面积为 (B)A．25πcm2 B．1000πcm2C．25cm2 D．1000cm2【解析】∵OA＝OA′，OC＝OC′，AC＝A′C′，∴△AOC≌△A′OC′.故刮雨刷AC扫过的面积＝扇形AOA′的面积－扇形COC′的面积＝eq\f(90π,360)(652－152)＝1000πcm2.9.如图6，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为eq\o(AN,\s\up8(︵))的中点，点P是直径MN上一个动点，则PA＋PB的最小值为 (B)A．2eq\r(2) B.eq\r(2) C．1 D．2图6图710．[2014·金华]一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图7方式分别剪得一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是 (A)A．5∶4 B．5∶2C.eq\r(5)∶2 D.eq\r(5)∶eq\r(2)【解析】如答图①，连结OD，第10题答图∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝∠ABO＝90°，AB＝BC＝CD＝1，∵∠AOB＝45°，∴OB＝AB＝1，由勾股定理得OD＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴扇形的面积为eq\f(45π·（\r(5)）2,360)＝eq\f(5,8)π；∵正方形ABCD是⊙M的内接正方形，如答图②，连结MB，MC，∴∠BMC＝90°，MB＝MC，∴∠MCB＝∠MBC＝45°，∵BC＝1，∴MC＝MB＝eq\f(\r(2),2)，∴⊙M的面积是π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,2)π，∴eq\f(5,8)π÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)π))＝eq\f(5,4).二、填空题(每题5分，共30分)11．[2014·扬州]如图8，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连结OD，OE，若∠A＝65°，则∠DOE＝__50__°.图8图912．如图9，点A，B，C在⊙O上，切线CD与OB的延长线交于点D.若∠A＝30°，CD＝2eq\r(3)，则⊙O的半径长为__2__．【解析】由圆周角定理得，∠COD＝2∠A＝60°.CD是切线，则∠OCD＝90°，∴OC＝2.13．[2015·黄石模拟]如图10，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC，AB于点E，F.若AC＝6，AB＝10，则⊙O的半径为__eq\f(15,4)__．图10第13题答图【解析】连结OD.设⊙O的半径为r.∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC.∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC.∴eq\f(OD,AC)＝eq\f(OB,AB)，即10r＝6(10－r)．解得r＝eq\f(15,4).图1114．[2014·南京]如图11，沿一条母线将圆锥侧面展开并展平，得到一个扇形．若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为__6__cm.图11【解析】圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，设圆锥的母线长为l，则eq\f(120π×l,180)＝4π，解得l＝6cm.图1215．在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧eq\o(BAC,\s\up8(︵))，如图12所示，若AB＝4，AC＝2，S1－S2＝eq\f(π,4)，则S3－S4的值是__eq\f(5,4)π__.图12【解析】∵AB＝4，AC＝2，∴S1＋S3＝2π，S2＋S4＝eq\f(π,2)，∵S1－S2＝eq\f(π,4)，∴(S1＋S3)－(S2＋S4)＝(S1－S2)＋(S3－S4)＝eq\f(3,2)π，∴S3－S4＝eq\f(5,4)π.16.[2014·温州]如图13，在矩形ABCD中，AD＝8，E是边AB上一点，且AE＝eq\f(1,4)AB.⊙O经过点E，与边CD所在的直线相切于点G(∠GEB为锐角)，与边AB所在直线相交于另一点F，且EG∶EF＝eq\r(5)∶2.当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是__12或4__．图13第16题答图【解析】边AB所在的直线不会与⊙O相切；边BC所在的直线与⊙O相切时，如答图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，连结OE，∴EN＝NF，又∵EG∶EF＝eq\r(5)∶2，∴EG∶EN＝eq\r(5)∶1，又∵GN＝AD＝8，∴设EN＝x，则GE＝eq\r(5)x，根据勾股定理，得(eq\r(5)x)2－x2＝64，解得x＝4，GE＝4eq\r(5)，设⊙O的半径为r，由OE2＝EN2＋ON2，得r2＝16＋(8－r)2，∴r＝5.∴OK＝NB＝5，∴EB＝9，又AE＝eq\f(1,4)AB，∴AB＝12.同理，当边AD所在直线与⊙O相切时，AB＝4.三、解答题(共80分)图1417．(8分)如图14，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积．图14解：∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝2，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝4eq\r(2).∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DCA＝∠BCD，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(DB,\s\up8(︵))，∴AD＝BD.∵在Rt△ABD中，AB＝6，∴AD＝BD＝3eq\r(2)，∴四边形ADBC的面积＝S△ABC＋S△ABD＝eq\f(1,2)AC·BC＋eq\f(1,2)AD·BD＝eq\f(1,2)×2×4eq\r(2)＋eq\f(1,2)×3eq\r(2)×3eq\r(2)＝9＋4eq\r(2).故四边形ADBC的面积是9＋4eq\r(2).图1518．(8分)[2014·娄底]如图15，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连结AD，BC，BD.图15(1)求证：△ABD≌△CDB；(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．解：(1)证明：∵AB，CD是直径，∴∠CBD＝∠ADB＝90°，AB＝CD，又∵∠A＝∠C，∴△ABD≌△CDB；(2)∵BE是切线，∴∠ABE＝90°，∵∠DBE＝37°，∴∠ABD＝53°，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB＝53°，∴∠ADC＝90°－53°＝37°.19．(8分)如图16，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．(1)求AD的长；(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．图16第19题答图解：(1)如答图，连结BD，则∠DBE＝90°.∵四边形BCOE是平行四边形，∴BC∥OE，BC＝OE＝1.在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC＝eq\f(1,2)AD＝1.∴AD＝2；(2)连结OB，由(1)得BC∥OD，且BC＝OD，∴四边形BCDO是平行四边形．∵AD是⊙O的切线，∴OD⊥AD.∴四边形BCDO是矩形．∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线．20．(8分)[2014·威海]如图17，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD＝HF.图17第20题答图解：(1)证明：如答图，连结OE.∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠CBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠CBE＝∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA＝∠C＝90°，∴OE⊥AC.∴AC是⊙O的切线；(2)如答图，连结DE.∵∠OBE＝∠CBE，∴eq\o(DE,\s\up8(︵))＝eq\o(EF,\s\up8(︵))，∴DE＝EF，∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，EH⊥AB，∴EC＝EH，又∵∠C＝∠EHF＝90°，DE＝EF，∴Rt△DCE≌Rt△FHE.∴CD＝HF.21．(10分)如图18，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC＝∠BAC.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为2，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．图18第21题答图解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAC＝90°，又∵∠DBC＝∠BAC，∴∠ABD＋∠DBC＝90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；(2)如答图，连结OD，∵∠BAC＝30°，∴∠BOD＝60°，∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴S阴影＝S扇形BOD－S△OBD＝eq\f(60,360)·π·22－eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\f(2,3)π－eq\r(3).22．(12分)如图19，公路MN与公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否受到噪音影响？说明理由；如果受影响，且知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间是多少秒？图19第22题答图解：学校受到噪音影响．理由如下：作AH⊥MN于H，如答图，∵PA＝160m，∠QPN＝30°，∴AH＝eq\f(1,2)PA＝80m＜100m，∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响．以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于B，C，如答图，∵AH⊥BC，∴BH＝CH，在Rt△ABH中，AB＝100m，AH＝80m，BH＝60m，∴BC＝2BH＝120m，∵拖拉机的速度＝18km/h＝5m/s，∴拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间＝eq\f(120,5)＝24s，∴学校受影响的时间为24s.23．(12分)如图20，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过点T作AD的垂线交AD的延长线于点C.(1)求证：CT为⊙O的切线；(2)若⊙O半径为2，CT＝eq\r(3)，求AD的长．图20第23题答图解：(1)证明：连结OT.∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA.∵AT平分∠BAD，∴∠DAT＝∠OAT.∴∠DAT＝∠OTA，∴OT∥AC.又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT.∴CT为⊙O的切线；(2)过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点．又∵CT⊥AC，∴OE∥CT，∴四边形OTCE为矩形．∵CT＝eq\r(3)，∴OE＝eq\r(3).又∵OA＝2，∴在Rt△OAE中，AE＝eq\r(OA2－OE2)＝eq\r(22－3)＝1，∴AD＝2AE＝2.24．(14分)如图21，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，