中考数学全程演练第18课时 二次函数的应用

第18课时二次函数的应用(60分)一、选择题(每题6分，共12分)1．[2015·铜仁]河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图18－1所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－eq\f(1,25)x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为 (C)图18－1A．－20m B．10mC．20m D．－10m【解析】根据题意B的纵坐标为－4，把y＝－4代入y＝－eq\f(1,25)x2，得x＝±10，∴A(－10，－4)，B(10，－4)，∴AB＝20m．即水面宽度AB为20m.2．[2015·金华]图18－2②是图18－2①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－eq\f(1,400)(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10m，则桥面离水面的高度AC为(B)A．16eq\f(9,40)m B.eq\f(17,4)mC．16eq\f(7,40)m D.eq\f(15,4)m图18－2【解析】∵AC⊥x轴，OA＝10m，∴点C的横坐标为－10，当x＝－10时，y＝－eq\f(1,400)(x－80)2＋16＝－eq\f(1,400)(－10－80)2＋16＝－eq\f(17,4)，∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－10，－\f(17,4)))，∴桥面离水面的高度AC为eq\f(17,4)m.二、填空题(每题6分，共18分)3．[2014·咸宁]科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：温度T/℃－4－2014植物高度增长量l/mm4149494625科学家经过猜想，推测出l与T之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为__－1__℃.【解析】设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，选(0，49)，(1，46)，(4，25)代入后得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝49，,a＋b＋c＝46，,16a＋4b＋c＝25，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，,c＝49，))所以y与x之间的二次函数解析式为y＝－x2－2x＋49，当x＝－eq\f(b,2a)＝－1时，y有最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是－1℃.图18－34．[2015·温州]某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图18－3所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为__75__m2.图18－3【解析】设垂直于墙的材料长为xm，则平行于墙的材料长为27＋3－3x＝30－3x，则总面积S＝x(30－3x)＝－3x2＋30x＝－3(x－5)2＋75，故饲养室的最大面积为75m2.图18－45．如图18－4，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过__3__s，四边形APQC的面积最小．图18－4【解析】S四边形APQC＝eq\f(1,2)×12×24－eq\f(1,2)(12－2t)×4t＝4t2－24t＋144，∴当t＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(24,2×4)＝3时，S四边形APQC最小．三、解答题(共30分)6．(15分)星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30m的篱笆围成．已知墙长为18m(如图18－5)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为xm.(1)若平行于墙的一边的长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值；(3)当这个苗圃园的面积不小于88m2时，试结合函数的图象，直接写出x的取值范围．图18－5【解析】(1)用x表示y；(2)由矩形面积公式列关系式求最值；(3)令y＝88，求x的值，根据图象写出符合要求的x的取值范围．解：(1)y＝30－2x(6≤x＜15)；(2)设矩形苗圃园的面积为S，则S＝xy＝x(30－2x)＝－2x2＋30x＝－2(x－7.5)2＋112.5，由(1)知6≤x＜15；∴当x＝7.5时，S最大＝112.5，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边长为7.5m时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5m2；(3)图象略.6≤x≤11.7．(15分)某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图18－6所示的关系．图18－6(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润w与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．由所给函数图象经过点(130，50)，(150，30)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(130k＋b＝50，,150k＋b＝30，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝180，))∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋180；(2)w＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)＝－x2＋280x－18000＝－(x－140)2＋1600，当售价x定为140元/件时，w最大＝1600元，∴当售价定为140元/件时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．(25分)8．(10分)[2014·天水]如图18－7，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m.图18－7(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．解：(1)∵h＝2.6，球从O点正上方2m的A处发出，∴抛物线y＝a(x－6)2＋2.6过(0，2)点，∴2＝a(0－6)2＋2.6，解得a＝－eq\f(1,60)，故y与x的关系式为y＝－eq\f(1,60)(x－6)2＋2.6；(2)当x＝9时，y＝－eq\f(1,60)(x－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能越过球网；当y＝0时，－eq\f(1,60)(x－6)2＋2.6＝0，解得x1＝6＋2eq\r(39)＞18，x2＝6－2eq\r(39)(舍去)，∴球会出界；(3)由题意，抛物线y＝a(x－6)2＋h过点(0，2)，代入点(0，2)的坐标得a(0－6)2＋h＝2，即36a＋h＝2且a＜0，∴a＝eq\f(2－h,36)，且h＞2.若球一定能越过球网，则当x＝9时，y≥2.43，即9a＋h≥2.43，①若球不出边界，则当x＝18时，y≤0，即144a＋h≤0，②将a＝eq\f(2－h,36)代入①②解得h≥eq\f(8,3).故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是h≥eq\f(8,3).9．(15分)[2015·丽水]某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x(m)，与桌面的高度为y(m)，运动时间为t(s)，经过多次测试后，得到如下部分数据：t(s)00.160.20.40.60.640.8…x(m)00.40.511.51.62…y(m)0.250.3780.40.450.40.3780.25…(1)当t为何值时，乒乓球达到最大高度？(2)乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？(3)乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y＝a(x－3)2＋k.①用含a的代数式表示k；②球网高度为0.14m，球桌长(1.4×2)m.若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值．图18－8解：以点A为原点，以桌面中线为x轴，乒乓球运动方向为正方向，建立平面直角坐标系．(1)由表格中的数据，可得t＝0.4(s)．答：当t为0.4s时，乒乓球达到最大高度；(2)由表格中数据，可画出y关于x的图象，根据图象的形状，可判断y是x的二次函数，设y＝a(x－1)2＋0.45.将(0，0.25)代入，可得a＝－0.2.∴y＝－0.2(x－1)2＋0.45.当y＝0时，x1＝eq\f(5,2)，x2＝－eq\f(1,2)(舍去)，即乒乓球与端点A的水平距离是eq\f(5,2)m；(3)①由(2)得乒乓球落在桌面上时，对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0)).代入y＝a(x－3)2＋k，得a×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－3))eq\s\up12(2)＋k＝0，化简整理，得k＝－eq\f(1,4)a；②由题意，可知扣杀路线在直线y＝eq\f(1,10)x上．由①得y＝a(x－3)2－eq\f(1,4)a.令a(x－3)2－eq\f(1,4)a＝eq\f(1,10)x，整理得20ax2－(120a＋2)x＋175a＝0.当Δ＝(120a＋2)2－4×20a×175a＝0时符合题意．解方程，得a1＝eq\f(－6＋\r(35),10)，a2＝eq\f(－6－\r(35),10).当a1＝eq\f(－6＋\r(35),10)时，求得x＝－eq\f(\r(35),2)，不符合题意，舍去；当a2＝eq\f(－6－\r(35),10)时，求得x＝eq\f(\r(35),2)，符合题意．答：当a＝eq\f(－6－\r(35),10)时，能恰好将球沿直线扣杀到点A.(15分)图18－910．(15分)[2015·南京]某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图18－9中的折线ABD，线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)，销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．图18－9(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数关系式为y1＝k1x＋b1，∵y1＝k1x＋b1的图象过点(0，60)与(90，42)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝60，,90k1＋b1＝42，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－0.2，,b1＝60，))∴这个一次函数的表达式为y1＝－0.2x＋60(0≤x≤90)；(3)设y2与x之间的函数关系式为y2＝k2x＋b2，∵y2＝k2x＋b2的图象过点(0，120)与(130，42)．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2＝120，,130k2＋b2＝42，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝－0.6，,b2＝120，))∴这个一次函数的表达式为y2＝－0.6x＋120(0≤x≤130)