西藏昌都市第四高级中学2022届高三一模考试数学（理）试卷（含解析）

2022年西藏昌都第四高级中学高考

数学一模试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1,若集合A={H2d+I5<0},—0,2,4},则43=（）

A.{-2,0,2,4}B.{-2,0,2）

C.{0,2}D.{0,2,4）

2.z（l+2i）=3-4i,则目=（）

A.2B.V6C.75D.3

3.2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于12秒与18秒之间，抽取其中100个样本，将测试结果

按如下方式分成六组：第一组［12,13）,第二组［13,14）,•一，第六组［17,18］,得到如下频率分布直方图.则

该10（）名考生的成绩的平均数和中位数（保留一位小数）分别是（）

D.15.215.3

4.已知ae（O,乃），且sin2a=g,则sin（a+（］的值为（）

V6

cD.

TTv3

5.为庆祝中国共产党成立100周年，树人中学举行“唱红歌"比赛.现有甲、乙、丙、丁共4人进入决赛，则

甲必须在第一或第二个出场，且丁不能最后一个出场的方法有（）

A.6种B.8种C.20种D.24种

已知实数匕=则这三个数的大小关系正确的是（）

6.a=log23,aC=10g32,

A.a>b>cB.h>a>cC.h>c>aD.a>c>b

22

7.双曲线E与椭圆C：菅+]=1焦点相同且离心率是椭圆C离心率的G倍，则双曲线E的标准方程为

()

2222

A.%2_21=1B./-2x2=1c.-二=1D.--—丁=1

37223

8.记S“为等差数列｛4｝的前〃项和，已知£=0,4=6，则()

〃？一

A.an=12-HB.a｝(｝=16C.S“=210〃D.S10=50

9.已知函数/。)=闲11,»-有8$。%(。>0)的图象向左平移三个单位长度后得到函数8(X)的图象关于)/轴

6

对称，则①的最小值为()

2

AlB.2C.-D.5

3

10.已知函数y=24的图象上一点尸，A(LO),5(2,1),则|PA|+|冏的最小值为()

A.2B.V2C.3D.272

11.已知数列｛4｝的首项6=1,%>0,前八项和S“满足S；-S,+S：-S“S,i=0,则数列｛4｝的

前n项和5,为()

A.2B.2c.2n2-lD.2"-1

12.已知函数/(x)是定义在(-卜,0)(0，+?)奇函数，当xe(0,+8)时，xfr(x)<f(x),则不等式

7(2-#+(%-2)〃5)<0的解集为()

A.(-<x>,—3)u(3,+8)B.(―3,0)D(0,3)

C.(-3,0)o(0,7)D.(^O,-3)0(2,7)

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知向量&=(-4,/n),/?=(1,-2),且则机=.

14.函数/(x)=ev+e在点(1,7(1))处的切线方程为.

15.二项式(x+下》展开式中的常数项为.

2y2

16.已知尸为双曲线E:三=1（。＞0力＞0）的右焦点，过点/向双曲线£的一条渐近线引垂线，垂

a-

足为A,且交另一条渐近线于点8,若IOFHEBI,则双曲线E的离心率是.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且ccos8+bcosC=3«8sB.

（1）求cos3的值；

（2）若c=2,的面积为2及，求边长a的值.

18.已知椭圆的两焦点分别为（—1,0）和（1,0）,短轴的一个端点为（0,61

（1）求椭圆的标准方程；

（2）椭圆上是否存在一点P使得?石，「心？若存在求△「百鸟的面积，若不存在，请说明理由.

19.致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动.并对某年

级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表.规定：成绩在［80,100］内，为成绩优秀.

成绩[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数510152520205

（1）根据以上数据完成2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关;

优秀非优秀合计

男10

女35

合计

（2）某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到

优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为。（每次抽奖互不影响，且，的值等于成绩分布表中不低于80

分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分.若学生甲成绩在［80,100］内，请列出其本

次读书活动额外获得学分数X的分布列并求其数学期望.

参考公式：K2'——“("/”)------n^a+b+c+d.

[a+b)(c+d)[a+c)[h+d)

附表：

尸(犬"))0.1500.1000.0500.0100005

402.0722.7063.8416.6357879

20.如图，在四棱锥P—ABCZ)中，底面ABCO是矩形，M是P。的中点，PD工BM,PA=3,4?=4,

AC=5,尸。=3万

(1)证明：F>AJ_平面ABCD；

(2)求点A到平面的距离.

21.已知函数/(x)=O¥-lnx(aeR).

(1)当4=2时，求函数/(x)的极值；

(2)若对Vxe(O,+s),/(x)>0恒成立，求。的取值范围.

[A但

X=6H----1

2

22.在平面直角坐标系中，直线/的参数方程为《厂(其中t为参数).现以坐标原点为极点，x

-2

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=6cos6.

(I)写出直线/普通方程和曲线C的直角坐标方程：

(II)过点M(-1,0)且与直线/平行的直线/i交C于A,8两点，求|AB|.

23.己知函数/(x)=|2x—4|+|x+2].

(1)解关于取的不等式/(x)>10；

(2)求满足f(x)hx-2|M的实数x的取值范围.

1.B

x|-3<x<a

因为8={-4,一2,0,2,4},所以AB={-2,0,2).

故选：B

2.C

z(l+2i)=3-4i,

3-4i_(3-4i)(l-2i)_

,*l+2i-(l+2i)(l-2i)-，

忖=J(T)2+(-2)2=y/5•

故选：c.

3.C

100名考生成绩的平均数

x=12.5x0.10+13.5x0.15+14.5x0.15+15.5x0.30+16.5x0.25+17.5x0.05=15.1,

因为前三组频率直方图面积和为0.10+0.15+0.15=0.4,前四组频率直方图面积和为

0.10+0.15+0.15+0.30=0.7,

所以中位数位于第四组内，设中位数为。，则(a—15)x0.30=0.1,

解得：QB15.3,

故选：C.

4.D

114

解：由sin2a=-,得2sinacosa=一，则(sina+cosa)2=l+2sinacosa=一,

333

2h

又aw(0,；r),2sinacosa>0,所以sina>0,cosa>0,所以sina+costz>(),则sina+cosa=----，

▽<inJ+叫--n、.兀近「」、近2坦娓

乂sin|oc+--sinacos—•ncosasin—=——(sina+cosa)=——x----=——.

V4；442233

故选：D.

5.B

解：由题意知:

当甲第一个出场时，不同演讲的方法有C；A；=4（种）；

当甲第二个出场时，不同演讲方法有C；A；=4（种）.

所以所求的不同演讲方法有4+4=8（种）

故选：B

6.A

Vy=bg?x在定义域上单调递增，

a23

Alog23>log2V8=log22=.1

3

2

Vy=iog3》在定义域上单调递增,

0=log3l<log32<log33=l,

.：0<c<l,

又8=25=0e（l,|）,

/.a>b>c,

故选：A.

7.C

22

双曲线E与椭圆C:±+工=1焦点相同，则焦点坐标为（？20）,

62

42双曲线的离心率为岛京=五,

椭圆的离心率为1T忑

设双曲线实半轴长为。，虚半轴长为匕，焦距为2c,则c=2,

—=V2=>a=5/2,:.b=V2>

a

22

...所求双曲线方程为：工一二=1.

22

故选：C.

8.D

r、S=5〃[+1Od=0\a,=—4

设等差数列｛4｝的公差为d,由题知《s一，，解得4,

<，&=4+5"=6[d=2

所以，a”=T+2（"-l）=2〃-6,S“=〃（4；〃~-=n2-5n,

2

则Go=2x10—6=14,SIO=10-5X10=50.

故选：D.

9.D

/(x)=sina)x—coscox-2sin(ct)x-^),

因为该函数的图象向左平移三个单位长度后得到函数g(x)的图象，

6

TTIT7T

所以g(x)=/(x+—)=2sin(d9X+—69——),

663

因为g。)的图象关于y轴对称，

所以g。)是偶函数，

TT7T7T

因此有一0——=Ai+—(AeZ)=>a>=6k+5(keZ),

632

因为6y>0,所以当人=0时，。有最小值，最小值为5,

故选：D

10.c

函数y=2&转化为丁=以，(y>0),又A(l,0),S(2,l),如图所示,

A(l,0)为抛物线y2=4x的焦点坐标，过B作8C上准线m—1,交准线x=-l于点C,交抛物线y2=4x

于点尸，

此时由抛物线的定义可得|。4|+归即=pC+|P@=忸。卜2—(—1)=3,

当点p不在此位置时，由三角形两边之和大于第三边可得|Pq+|P3上忸C|,BP|E4|+|PJ3|>3,

所以|P4|+|PB|的最小值为3.

故选：C.

11.A

由s：-S"+s；T-Si-2ssl=0得2S„=晨-2S„5„_,+s,3+s”-s,-，

即25“=⑸一S“_J2+⑸_5-J,

所以所以

2S.=a；+a,,2sM=W+i+«n+i-

两式作差，得2a“+]=a“+]+”"+i—（a”+a"）,即"3—""+i=""+，

所以（4+i-4一1）（4M+%）=0，

所以％+i=1或％+a“=0,又%＞0,

故?+「4=1，

所以数列｛4｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以数列｛4｝的前n项和S,,=〃+=〃竽）.

故选：A.

12.D

令g（x）=^^,

X

,「当X£（0,+8）时，xff[x）＜/（X）,

.•.当xw（0,+8）时，g＜x）=

.•.g（x）在（0,+8）上单调递减；

又“X）为（-卜,0）（0，+?）的奇函数，

g（r）=""=/（x）=/（x）=g（x）,即g（x）为偶函数，

-x-xX

・•・g（x）在（f,o）上单调递增；

又由不等式T（2-x）+（x-2）〃5）＜0得V（2-x）＜（2-x）/（5）,

＜与1,即g（2-x）＜g⑸,

当2-x>0，即尤<2时，不等式可化为,°一”

2-x

由g(x)在(0,+8)上单调递减得2-x>5,解得x<—3,故x<—3；

当2—x<0,即x>2时，不等式可化为'(2—*>/包

即g（2—x）>g（5）=g（—5）,

由g(x)在(-oo,0)上单调递增得2-心＞-5,解得了＜7,故2＜x＜7；

综上所述，不等式T(2-x)+(x-2)/(5)＜0的解集为：(3,-3)以2,7).

故选：D.

13.-7

,向量方=(-4,m),6=(1,—2),且(4-2山」,

(a—2Z?)2-a-b-2b2=(-4-2租)-2x5=0,

则m=-7,

故答案为：-7.

14.y=ex+e

•••/(x)=e'+e,/(l)=2e,/,(x)=ev,左=/•'⑴=e,

.•.切线的方程为：y-2e=e(x-l),即丁=叱+6,

故答案为：y=ex+e.

15.15

展开式的通项为却=C"6-(9)=晨1号，

3

令6——厂=0得r=4，

2

所以展开式的常数项为C：=15,

故答案为：15

v~b

解：双曲线E:4-与=1的渐近线方程为y=±-x,

若IOR1=1KBI,可得在直角三角形。钻中,

由AAOF=NBOF=ZABO=30°，

可得2=tan30=>

a3

•£=W=1+4=1+L9

矿a2a233

2G

故答案为：2回

3

17.(1)cosB=-；(2)a=3.

3

（1）在乙ABC中，由正弦定理三=々7=$，设二=4，

smAsinBsinCsinA

则。=公由4,b=ksinB,c=ZsinC,

代入ccosB+6cosC=3<7cosB,

可得Z(sinCcosB+sinBcosC)=3ksinAcosB,

所以sin(C+B)=3sinAcosB,sin(C+8)=sinA,

化简得sinA=3sinAcos3,

因为A5£(0,%),sinA>0,sinB>0,

所以cos8=1

3

(2)由(1)可知，sinB>0,sinB=Vl-cos2B=

3

又S^BCMgacsinB，

所以,分2•逑=2应，解得a=3.

23

22

18.(1)—+^-=1

43

（2）椭圆上不存在点尸，使得P石，「工，理由见解析

【小问1详解】

椭圆的两焦点分别为（一1。）和（1,0）,短轴的一个端点为（0,百卜

c=l,b=“，

a=y/b2+c2=2，

22

.:椭圆的标准方程为：—+^-=1:

43

【小问2详解】

假设椭圆上存在点。（与，y0）,使得

则P/PK=(-1—知一%)«一%一%)=0,

即X；+y；=1,

£+y：=1

联立yl,得：*=-8,此方程无解.

---1---——I

143

•:椭圆上不存在点P,使得「耳工Pg.

19.（1）列联表见解析，没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关

（2）分布列见解析，期望值为2.5分

【小问1详解】

优秀非优秀合计

男104050

女153550

合计2575100

假设玲：此次竞赛成绩与性别无关.

2_100(10*35-40x15)2

4

=—<2.706,

'25x75x50x503

所以没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关;

【小问2详解】

251

P------——,

1004

p(x=o)y-=—

⑷16

k133

P(X=5)=C'---=一,

2448

Z1\2]

P[X=10)=C^\-=一，

-⑷16

X的分布列为:

311

期望值E(X)=5x-+10x—=-=2.5(分)

8162

20.(1)证明见解析

⑵逑

2

【小问1详解】

证明：在矩形A8C0中，A8=4，AC=5,可得8C=AD=3,

所以？42+402=尸02,即R4J_A£)，

连接5。，

又点M是的中点，PDA.BM，可得PB=BD=5,

所以=依2，即

又A3cAD=A，所以B4_L平面ABCD.

小问2详解】

因为24,AB,A5，AZ),FAAD=A,所以AB,平面PA£).

又CD/1AB,所以CDJ_平面PA£),

因为MDu平面PAD，所以CDLMD,

设点A到平面MCD的距离为h,

13

又M是PD的中点，所以M到平面ACD的距离为一PA=—

22

因为匕-MCO=Vw-ACD9

113>/21133>/2

片rr「r以1一x—x4x---xh=-x—x4x3x一,解得力=-----，

3223222

即点A到平面MCD的距离为运.

2

21.(1)极小值为l+ln2,无极大值；(2)

(1)函数/(x)的定义域为(0,+8),

当4=2时，f(x)=2一一=上二•(x>0).由f(x)=0,得8=一.

xx2

当x变化时，f\x),/")的变化情况如下表

X

26T

f\x)-0+

f(x)单调递减极小值单调递增

所以/(X)在(o,g)上单调递减，上单调递增,

所以函数fa)的极小值为/(g)=1+m2,无极大值.

(2)对Vxe(O,+s),/(x)>0恒成立，即对Vxe(O,+8),a>5土恒成立.

X

人，/、Inxe,/、1-lnx,,-”口

令人(»=---,则力(1)=———.由/2(工zx)=0得x=e,

X