直线与圆问题-学生版教案设计

方法技巧专题6直线与圆问题

一、直线与圆知识框架

「表示形式

二、直线与圆的方程问题

1、直线方程的5种形式

(1)点斜式：y一切二攵0—入］)

(2)斜截式：y-kx+h

(3)两点式：———=―—三-(玉工工2，必工当)

%一%当一冬

(4)截距式：二+2=1(。工0,匕工0)

ab

(5)一般式：Ax+By+C=O(A,B不同时为0)

2、三种距离公式

(D4%,%),6(%2，%)两点间的距离：.同="(尤2_劣尸+(%_弘)2.

(2)点到直线的距离："=屿士丝四(其中点ax。,%),直线方程：Ax+3)，+C=O).

y/A2+B2

(3)两平行直线间的距离：d='-"

U2+B2

(其中两平行线方程分别为：/j,Ax+By+C}=O,/2-AX+B^+C2=0).

3、两条直线平行与垂直的判定

若两条不重合的直线/］，的斜率冗段存在，则4〃4=匕=攵2,4_L4o秘？=—1;若给出的直线

方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.

1.例题

【例1】设/leR,则“X=—3是直线2疝+(%—l)y=l与直线6x+(l—4)y=4平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【例2】过点(1,2)的直线/与两坐标轴分别交于A、B两点，0为坐标原点，当△OA6的面积最小时，直线

/的方程为()

A.2x+y-4=0B.x+2y-5=0C.x+y-3=0D.2x+3y-8=0

巩固提升综合练习

【练习1】若两平行直线4:x-2y+〃z=0(〃z>0)与，2：2x+町—6=0之间的距离是否，则m+n=()

A.OB.lC.-2D.-1

【练习2】直线/过点P(l,4),分别交x釉的正半轴和y釉的正半轴于点A,B两点，O为坐标原点，当+到

最小时，/的方程为.

【二】圆的方程及其应用I

1、圆的标准方程

(1)以(a,/?)为圆心，«尸>0)为半径的圆的标准方程为(x—a>+(y—勿2=，

(2)特别地，/+丁=/(7>0)的圆心为(0,0),半径为厂

2、圆的一般方程

方程炉+y2+Dt：+£y+E=0变形为(x+")2+(y+《)2=D+：———.

nF-JD2+F2-4F

(1)当。2+炉一4歹>0时，方程表示以(一了,一,)为圆心，------------为半径的圆;

np

(2)当02+52—477=0时，方程表示一个点(一一,——).

22

(3)当。2+七2-4尸<0时，该方程不表示任何曲线。

3、点与圆的位置关系

对于尸(丁,)0)和圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2,则

(1)P在圆C内(X。一a)~+(>o—%)~<厂：

(2)P在圆C上o(玉)-a)，+(%-A))=/；

(3)P在圆C外(XQ—a)~+(-6)2>厂.

1.例题

【例1】已知圆C的圆心在X轴的正半轴上，点V(0,J5)在圆C上，且圆心到直线2x—y=0的距离为三一,

则圆C的方程为.

【例2】圆心为点C(4,7),并且截直线3x—4y+l=0所得的弦长为8的圆的方程(

A.(x-4)2+(y-7)2=5B.(X-4)2+(^-7)2=25

C.(x-7)2+(y-4)2=5D.(X-7)2+(JV-4)2=25

求圆的方程的方法

(1)几何法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆

的方程.

(2)待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程(组)求得各系数，进而求出圆的方程.

2.巩固提升综合练习

【练习1】已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为1：2,则圆C的方程为(

A.(X士争2+y2=gB.(x士亭2+y2=；

C./+(y土争2=?D./+(y±亭2=；

【练习2】以C(—1,0)为圆心，并且与圆V+y2—4x+3=0外切的圆的方程是()

A.(x+1)2+y2-2B.(x+1)2+y2=4

C.(X-1)2+/=2D.(x-l)2+/=4

［=］直线与圆、圆与圆的位置关系

1＞直线与圆的位置关系的判断

直线］:Ax+3y+C=0(A,B不全为0)与圆(x-a)?+(y—。)？=/(尸＞0)的位置关系的判断方法有:

(1)几何法：圆心(a,Z?)到直线/:Ax+By+C=0的距离为d,

直线与圆相交；4=ro直线与圆相切；直线与圆相离.

Ax+By+C^0

(2)代数法：由＜消元，得到的一元二次方程的判别式为△,则

(x-a)2+(y-b)2=r2

A＞0o直线与圆相交；A=0o直线与圆相切；AvOo直线与圆相离.

2、圆与圆的位置关系的判断(圆G，圆C2的半径分别为4。弓，d=|CG|)

(1)d>rj+弓=两圆外离，

(2)d=6<=>两圆外切，

(3).一引vd〈/J+&O两圆相交,

(4).=卜一引O两圆内切,

(5)OWd<k一目O两圆内含.

3、有关弦长问题的两种求法

(1)设直线/被圆C微得的弦长为AB,圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则弦长公式：

|例=2"一『.

(2)若斜率为z的直线与圆交于4(否，%),8(%2，%)两点，则|4q=川+公］($+*2)2_4%/2=

2

^+^J(y,+y2)-4y,y2(其中左。0),特别地，当％=0时，|Aq=归一百；

当斜率不存在时，口目=|%—%|・

【知识拓展】

1.圆的切线方程常用结论

(1)过圆/+9二，上一点P(xo,泗)的圆的切线方程为x(\x+yoy=r2.

(2)过圆(x—a)2+(y—户上一点尸(xo,yo)的圆的切线方程为(x()—a)(x—a)+(y()—b)(y—b)=产.

(3)过圆/+)2=户外一点M(xo,")作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x()x-1-yoy=i2.

2.圆与圆的位置关系的常用结论

(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条：②内切：1条；③相交：2条：④外切：3条；⑤外离：4

条.

(2)当两圆相交时，两圆方程a2,y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.

1.例题

【例1】已知圆(x+l)2+(y—l)2=2-机截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数加=()

A.—2B.■—4C.—6D.-8

【例2】若直线以+外=1与圆W+y2=l有两个公共点，则点P(a,b)与圆/+y2=l的位置关系是()

A.在圆上B.在圆外

C.在圆内D.以上都有可能

［例3］若圆C：e+)2=5与圆E：(x-3)2+(y-4)2=16有三条公切线，则机的值为()

A.2B.V3C.4D.6

【例4】已知圆G：-+V—乙+2y=0与圆。2：V+V+竹一4=0的公共弦所在直线恒过定点P(a,b),且

点P在直线，/u-〃y-2=0上，则〃?”的取值范围是()

A.(0,-)C.(-oo」)D.(-oo,i］

4444

【例5】已知点M(3,1)及圆。-1)2+(丁一2)2=4,则过点M的圆的切线方程为

.巩固提升综合练习

【练习1】已知直线x+同一〃?=0与圆C:/+y2=2相交于A,B两点,O为坐标原点，川原+画=同，

则实数m的值为.

【练习2】已知两条平行直线/2之间的距离为1,/1与圆C：，+/=4相切，/2与C相交于A,8两点，则|AB|

=()

A.V2B.V3C.2y/2D.2yf3

【练习3】若直线/：ax+y+2a=0被圆C：7+(y-4)2-4所截得的弦长为2在，则a的值为()

A.-7或-1B.7或IC.7或-1D.-7或1

【练习4】已知圆f+V=l的圆心为O,点P是直线hmx-3y+?>m-2=0上的动点，若该圆上存在点Q使得/。尸。

=30。，则实数机的最大值为

【练习5】过直线/：y=x-2上任意点P作圆C：/+尸=1的两条切线，切点分别为A,B,当切线最小时，&PAB

的面积为

三、课后自我检测

1.已知圆C：f+y2=4,直线/：y—1=-X+1）,则直线/与圆。的位置关系（）

A.相离B.相切C.相交D.以上皆有可能

2.过点p（（）,l）的直线/与圆（％-1）2+（丁-1）2=1相交于人，B两点，若|AB|=0,则该直线的斜率为（）

A.±1B.+5/2C.士出D.±2

3.已知圆A:f+y2=i,圆.8：（%-2）2+了2=/&〉0）,圆4与圆B的公切线的条数的可能取值共有

（）

A.2种B.3种C.4种D.5种

4.设过点尸（一2,0）的直线/与圆。：/+）,2一4%一2"1=0的两个交点为A,B,若8诩=5而，则|A@=

（）

.875R476r676n4>/5

5353

5.设直线x—y+a=0与圆炉+9+2%一43；+2=0相交于A，B两点,若|AB|=2,则。=（）

A.-1或1B.1或5C.-1或3D.3或5

1o

6.己知点PQ"—1）"6火，点E是圆/+/=—上的动点，点F是圆（x—3）2+（y+l）2='上的动点，贝ij

44

归日一归目的最大值为（）

5.

A.2B.-C.3D.4

2

7.直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点，点尸在圆（X02+/2上，则△AB尸面积的取值范围是（）

A.[2,6]B.[4,8]C.[V2,3V2]D.[2V2,3V2|

8.在平面直角坐标系.中，记d为点P（cosO,sin。）到直线x-my-2=G的距离，当G,m变化时,d的最大值为（）

A.lB.2C.3D.4

9.圆x2+y2-2x-Sy+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为I,则)

43i-

A.---B.---C.D.2

34

10.在平面直角坐标系xOy中,A为直线/:y=2x上在第一象限内的点,仇5,0),以AB为直径的圆C与直线/交于另

一点D.若AB,&)=0,则点4的横坐标为.

II.在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆0:『+/50上，若PA-P月W20,则点P的横坐标的取值范

围是.

12.已知直线/:mx+y+35-6=0与圆炉+丫2=12交于A,B两点，过A,B分别作/的垂线与x轴交于C,D两点,

若|AB|=2g,则|CD|=.

13.圆。1的方程为f+(y+l)2=4,圆。2的圆心Q(2,l).

(1)若圆。2与圆。的卜切，求圆。2的方程；

(2)若圆。2与圆。交于A、B两点，且|A邳=2及.求圆。2的方程.

14.已知圆C:(x-2)2+(y—2)2=16,点A(10,0).

(1)设点尸是圆C上的一个动点，求AP的中点。的轨迹方程;

(2)直线/：依一y一10%=0与圆。交于求与万丽的值.

15.己知圆”的标准方程为/+（）-2『=1