小学奥数牛吃草问题解题技巧点拨

小学奥数牛吃草问题解题技巧点拨

【导语】牛吃草问题是选调生行测考试数量关系部分经常出现的问题。这类题看

似很麻烦，但其实只要掌握了方法，就非常容易解出。下面中公选调生考试网给

大家讲解这类题的解题方法和技巧，帮助考生高效备战选调生考试。

一、解题方法

牛吃草问题转化为相遇或追及模型来考虑。

二、牛吃草问题的基本题型

（一）追及——题目特点：一个量使原有草量变大，一个量使原有草量变小

【公式】设：原有草量为Y,草每天均匀生长的量为X,每头牛每天吃草量为L

原有草量=（牛每天吃掉的草-每天生长的草）天数

即：Y=（牛的头数-X）天数

【例】牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，

或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？

【中公解析】本题中，首先判断题中有两个量，一是草每天均匀生长，这个量使草

量变大，二是有一群牛在吃草，这个量使草量变小。所以这是一道追及型牛吃草问

题。按照公式，设每头牛每天吃的草量为“1”，每天生长的草量为X,原有草量为

Y,因此，Y=(10-X)20=(15-X)10,求出X=5,Y=100,再带入公式可得:

100=（25-5）天数，求得天数=5。

（二）相遇——题目特点：两个量都使原有草量变小

【公式】设：原有草量为Y,草每天均匀减少的量为X,每头牛每天吃草量为1。

原有草量=（牛每天吃掉的草+其他原因每天减少的草量）天数

即：丫=（牛的头数1+X）天数

【例】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。已

知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供

多少头牛吃10天？

【中公解析】本题中，首先判断题中有两个量，一是牛在吃草，二是草量在均匀减

少，这两个量都使草量减少，所以判断此题为相遇型牛吃草问题。设：原有草量为

Y,草每天均匀减少的量为X,每头牛每天吃草量为1,原有草量=（牛每天吃掉的

草+每天减少的草）天数，设每头牛每天吃的草量为“1”，每天减少的草量为X,可

供Y头牛吃10天，所以Y=（20+X）5=（15+X）6,先求出X=10,Y=150。再带

入公式，150=（牛的头数+10）10,解得牛的头数=5.

（三）极值——题目特点：通常在追及型牛吃草问题中出现，问永远吃不完的情况

【公式】题目与标准牛吃草中的追及问题相同，只是题目的问法进行了改变，问为

了保持草永远也吃不完，那么最多能放多少头牛吃。因此，利用追及型牛吃草问题

的公式求出X,当牛的头数=x时，就是永远也吃不完草的情况。

【例】牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，

或者可供15头牛吃10天。问为了保持草永远吃不完，那么最多能放多少头牛？

【中公解析】牛在吃草，草在匀速生长，所以是牛吃草问题中的追及问题，利用其

公式，Y=(牛的头数-X)天数，设每头牛每天吃的草量为“1”，每天生长的草量为

X,

Y=(10-X)20=(15-X)10,求得X=5,要保证永远吃不完，那就要让牛的头数

=X=5,所以最多能放5头牛。

以上是在选调生笔试中，牛吃草问题的常考题型及其做题技巧。大家发现，看到这

种牛吃草的问题，首先要判断是属于相遇、追及、极值问题中的哪一类，然后，利

用各自的公式解题即可。

牛吃草问题是小学奥数的一类难题，记得在某本书上看到过：“牛吃草问题就

是追及问题，牛吃草问题就是工程问题。”对于前半句很好理解，给孩子讲的时

候，也是按追及问题的思路来讲的。而对于后半句，直到上周才算明白。

例1小军家的一片牧场上长满了草，每天草都在匀速生长，这片牧场可供

10头牛吃20天，可供12头牛吃15天。如果小军家养了24头牛，可以吃几

天？

草速：(10x20-12x15)+(20-15)=4

老草(路程差)：根据：路程差=速度差x追及时间

(10-4)x20=120或(12-4)xl5=120

追及时间=路程差十速度差：120+(24-4)=6(天)

例2一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。假设草

的生长量每天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃6天？

草速：(50x9-58x7)+(9-7)=22

老草(路程差)：(50-22)x9=252或(58—22)x7=252

求几头牛就是求牛速，牛速=路程差+追及时间+草速252+6+22=64(头)

现在回头看看仁华学校课本那道题吧！

例3一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的

进水管，当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时,

需要15小时才能注满水池；现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多

少个进水管？

分析本题没给出排水管的排水速度，因此必须找出排水管与进水管之间

的数量关系，才能确定至少要打开多少个进水管.

解：本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速度和排水速度，故

需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a,排水管1小时排水量为b,根据水

池的容量不变，我们得方程(4a-b)x5=(2a-b)xl5,化简，得：

4a-b=6a-3b,即a=b.

这就是说，每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量.

再设2小时注满水池需要打开x个进水管，根据水池的容量列方程，得

(xa-a)x2=(2a-a)xl5,

化简,得2ax-2a=15a,

即2xa=17a.(a/0)

所以x=8.5

因此至少要打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满.

注意：x=8.5,这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求；开

8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行.

以上是书中给出的解法,考虑到此解法不适合给小学孩子讲，所以把此题当作

牛吃草问题来讲的.

把进水管看成"牛"，排水管看成"草"，满池水就是“老草”

排水管速：（2x15-4x5）-（15-5）=1

满池水（路程差）：（2-1）xl5=15或（4-1）x5=15

几个进水管：15+2+1=8.5（个）

我和学生都有个好习惯，解完一道题后要反思，这道题既然是工程问题，

那么，可不可以用工程问题的解法来做呢？之后在课堂上当时做了尝试，结果答案

是肯定的！

当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池，那么4个进水管和1个

排水管的效率就是1/5o

当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池，那么2个进水管和1个

排水管的效率就是1/15。

两者之间差了（4-2=）2个进水管的效率，于是1个进水管的效率是:

(1/5-1/15)-(4-2)=1/15

1个排水管的效率是：

4x1/15-1/5=1/15或者2x1/15-1/15=1/15

现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？

(1/2+1/15)4-1/15=8.5(个)

让我们用这个方法验证一下例2吧

例2一个牧场可供58头牛吃7天，或者可供50头牛吃9天。假设草的生

长量每天相等，每头牛的吃草量也相等，那么，可供多少头牛吃6天？

牛速：(1/7-1/9)+(58-50)=1/252

草速：58x1/252—1/7=11/126或者50x1/252-1/9=11/126

多少头牛：(1/6+11/126)-1/252=64(头)

怎么样？明白了吗？

(1)草的生长速度=对应的牛头数“吃的较多天数-相应的牛头数*吃的较少天数-(吃的较多天

数-吃的较少天数)；

(2)原有草量=牛头数，吃的天数-草的生长速度*吃的天数；'

(3)吃的天数=原有草量+(牛头数-草的生长速度);

(4)牛头数=原有草量,吃的天数+草的生长速度。

牛吃草问题核心公式

【熟记】牛吃草问题的核心公式：草场草量=(牛数一每天长草量)X天数，通

常设每天长草量为x

基础题型演练

【例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供25

头牛吃？天

【解答】根据核心公式：(10—x)x20=(15-x)xl0=(25-x)x?

(10-x)x20=(15-x)xl0-*x=5

将x=5代入，?=5

【例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供？

头牛吃4天

【解答】根据核心公式：(10—x)x20=(15-x)xl0=(?-x)x4

(10-x)x20=(15—x)xl0-x=5

将x=5代入，?=30

较为复杂的情形

【例3】22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽；

17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽;

?头牛吃40公亩牧场的草，24天可以吃尽？

A.50B.46C.38D.35

【解答】设每公亩牧场每天新长出来的草可供x头牛吃1天，每公亩牧草量

为V

根据核心公式：33y=(22—33x)x54-*=(2-3x)xl8=36-54x

28y=(17—28x)x84.y=(17-28x)x3=51-84x

40y=(?-40x)x24

36—54x=51—84x-x=1/2-y=9

40x9=(?-20)x24-»?=35

其它情形

漏水问题，排队等候问题…等均可看作这种问题。

剩余定理问题：

例L一个数被3除余L被4除余2,被5除余4,这个数最小是几？

题中3、4、5三个数两两互质。

则(4,5)=20；(3,5)=15；[3,4)=12；(3,4,5)=60。

为了使20被3除余L用20x2=40；

使15被4除余L用15x3=45；

使12被5除余1,用12x3=36。

然后，40x1+45x2+36x4=274,

因为，274>60,所以，274—60x4=34,就是所求的数。

例2：一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是几？

题中3、7、8三个数两两互质。

则(7,8)=56；(3,8)=24；[3,7)=21；(3,7,8)=168。

为了使56被3除余L用56x2=112；

使24被7除余L用24x5=120。

使21被8除余1,用21x5=105；

然后，112x2+120x4+105x5=1229,

因为，1229>168,所以，1229-168x7=53,就是所求的数。

例3：一个数除以5余4,除以8余3,除以11.余2,求满足条件的最小的

自然数。

题中5、8、11三个数两两互质。

则(8,11)=88；(5,11)=55；(5,8)=40；(5,8,11)=440。

为了使88被5除余L用88x2=176；

使55被8除余L用55x7=385；

使40被11除余1,用40x8=320。

然后，176x4+385x3+320x2=2499,

因为，2499>440,所以，2499-440x5=299,就是所求的数。

例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人

一排多2人，

这个年级至少有多少人？

题中9、7、5三个数两两互质。

则(7,5)=35；(9,5)=45；[9,7)=63；(9,7,5)=315。

为了使35被9除余L用35x8=280；

使45被7除余1,用45x5=225；

使63被5除余L用63x2=126。

然后，280x5+225x1+126x2=1877,

因为，1877>315,所以，1877-315x5=302,就是所求的数。

例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人

一排多3人，问这个年级至少有多少人？

题中9、7、5三个数两两互质。

则(7,5)=35；(9,5)=45；19,7)=63；(9,7,5)=315。

为了使35被9除余1,用35x8=280；

使45被7除余L用45x5=225；

使63被5除余L用63x2=126。

然后，280x6+225x2+126x3=2508,

因为，2508>315,所以，2508-315x7=303,就是所求的数。

(例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的

就是最后两步。)

练习

1、一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27头牛吃6周，或供23

头牛吃9周，那么这片草地可供21头牛吃儿周？

2、一片青草地，草每天均匀生长，如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天,

那么可供19头牛吃多少天？

3、24头牛6天可以将一片牧草吃完，21头牛8天也可以将这片牧草吃完，如果

每天草的增长量相等，要使这片牧草永远吃不完，至多放几头牛吃这片牧草？

4、因天气渐冷，牧场上的草以固定的速度减少，已知牧场上的草可供33头牛吃

5天，或可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？

5、一块牧场的草够12头牛吃12天，或15头牛吃8天，如果在全部时间内青草

能均匀生长，那么，这块牧场6天能养活多少头牛？

6、一块草地，每天生长的速度相同，现在在这片牧场可供16头