小升初+奥数-牛吃草

教学课题奥数一牛吃草

知识点

解答牛吃草问题，困难在于草的总量在变，每天或每周都在均匀地生长，时间越长，草的总

量越多。草的总量有两部分组成：①草场上原有的草量；②一段时间内新增的草量。“牛吃草”

问题主要有两种类型：①求时间；②求头数。除了总结这两种类型问题相应的解答方法，在实践

中要培养运用“牛吃草问题”的解题思想解答实际问题的能力。

“牛吃草”问题是著名的英国数学家、物理学家牛顿（1642-1721）的数学著作算力）

中的一个问题。有书记载,这个问题原载于牛顿的前辈,英国数学家沃利斯（1616-1703）的数

学著作中,后经牛顿的修改,将该问题一般化,载于他的著作中。

例1牧场上有一片青草，每天均匀生长，这片青草可供27头牛吃6天，可供23头牛吃9

天，如果饲养21头牛多少天可以把牧场上的草吃完？

分析：我们可以把1头牛1天的吃草量看作“1个单位”，由题中“27头牛吃6天”和“23

头牛吃9天”知道，这两次的总量分别为：

27X6=162（单位）

23X9=207（单位）

为什么两次得到的总量会不一样呢？不是因为牛的头数不同，而是由于第二次的草量207比第

一次162多的量正好是9-6=3天长出来的，由此就可以算出青草每天的生长量：

（207-162）4-（9-6）=15（单位）

15个单位也可看作15头牛一天的吃草量，即每天生长的草可以满足15头牛来吃，于是我们

可以把每天吃草的牛分成两组，一组是抽出15头牛来吃当天新生的草；另一组是其余的牛去吃牧

场里面的草。当原有草吃完，所有的青草就吃完了。

那么，牛开始吃草以前，牧场原有草是多少呢？

在第一次吃法，总量是162,其中包括新生草和原有草，我们已知每天新生草量为15单位，6

天的新生草就有15X6=90单位，这样原有草就有162—90=72单位。21头牛中的15头专门吃每天

的新生草，剩余的21—15=6头牛吃原有草72个单位。72+6=12天就能吃完，问题也就解决。

解：假设把1头牛1天的吃草量看作“1个单位”

27X6=162（单位）23X9=207（单位）

（207-162）4-（9-6）=15（单位）...生长量

27X6-15X6=72（单位）...原有草

724-（21-15）=12（天）

答：如果饲养21头牛12天可以把牧场上的草吃完。

练一练：牧场上有一片青草，每天均匀生长，这片青草可供24头牛吃6天，或供20头牛吃10天,

牧场上每天生长的草可供多少头牛吃1天？

例2有一片牧场上的草均匀生长，如果4只羊吃草，15天可以把草吃完，如果8只羊吃草,

7天可以把草吃完；若想5天把草吃完，需要多少只羊去吃？

分析：与例1相比，条件基本相同，只是所求问题不同一一求只数。按例1的思路，先求出

生长量与原有草。接下来的思路与例1不同：用原有草加5天的生长量，这就是若干只羊5天的吃

草量，两者的商，就是平均每天吃掉的草量。由于假设1只羊1天吃1个单位的量，由每天吃掉的

草量可求出羊的只数。

解：假设把1只羊1天的吃草量看作“1个单位”

(4X15-8X7)4-(15-7)=0.5(单位)...生长量

60-0.5X15=52.5(单位)...原有草

(52.5+0.5X5)4-5=11(只)

答：若想5天把草吃完，需要11只羊去吃。

练一练：有一片草地，可供24只羊吃6天，或供21只羊吃8天，假设草每天均匀生长，要使这片

牧草永远吃不完，至多放多少头羊吃这片牧草？

例3有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天，假设草每天均匀生长，现在

羊若干只，吃了4天又增加6只，这样又吃了2天便把草吃完，原有羊多少只？

分析：本题同样应先将生长量和原有草求出来。将问题转化为：若不增加6只羊，原有的若

干只羊吃4+2=6天的草量，相当于原有草量加6天里新生长的草量，再减去6只羊两天吃的草量。

用原有羊吃的草量除以天数，即可求出原有羊的只数。

解：(8X20-14X10)4-(20-10)=2(单位)生长量

8X20-2X20=120(单位)...原有草

[120+2X(4+2)-6X2]+(4+2)=20(只)

答：原有羊20只。

例4一块草地，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或供80只羊吃

12天。如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃

多少天？

分析：根据1头牛每天吃草量等于4只羊每天的吃草量，可以知道60只羊一天的吃草量相

当于15头牛一天的吃草量，80只羊每天吃草量与20头牛每天草量相等，本题转化为求(15+10)

头牛一起吃，可以吃多少天。

解：

练一练：一块草地，每天草的生长速度都相同，现在这片牧草可供27头牛吃6天，或者供69只羊

吃9天。如果说一头牛每天的吃草量与3只羊每天的吃划量相等，那么11头牛和30只羊一起吃这

块草地上的草可以吃多少天？

例5某火车站的检票口，在检票开始前已经有一些人排队，检票开始后，每分钟有15人前

来排队检票，一个检票口每分钟能让30人检票进站，如果只有一个检票口，检票开始6分钟后就

没有人排队，如果只有两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队？

分析：这是一道运用“牛吃草问题”的解题思想解答实际问题的题目。检票开始前排队的人

数相当于原有草，每分钟有15人前来排队，相当于新生长的草量，请根据这个思路解答。

解：30X6-15X6=90（人）……检票开始前排队的人数

30X2=60（人）……两个检票口每分钟检票进站人数

904-（60-15）=2（分）

答：如果只有两个检票口，那么检票开始后2分钟就没有人排队。

练一练：1、有一条船破了个洞，河水均匀地进入船中，发现时已经进了些水，如果12个人淘水则

3小时可以把水淘完；如果5个人淘水则10小时可以把水淘完。如果需要2小时内淘完水，需要

几个人？

2、某个水库原有一定量的水，河水均匀流入水库，5台抽水机连续20天可将水库的水抽干，6台

同样的抽水机连续15天可将水抽干，若要6天抽干水库的水，则需要几台同样的抽水机？

练习

1、一块草地，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供15头牛吃20天，或供76只羊吃12天,

如果一头牛一天的吃草等于4只羊一天的吃草量,那么8头牛与64只羊一起吃可以吃多少天？

2、经过测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年，假设地球上

新生资源速度是一定的，为了使得人类有不断发展的潜力，那么地球最多能养活多少人？

3、有一块牧场，每天都匀速生长，可供12头牛吃12天，或者可供30只羊吃8天，且一头牛每

天的吃草量相当于2只羊吃一天的草量。那么可供5头牛和26只羊吃多少天？

4、某游乐场在开门羊已经有100人在排队等待，开门后每分钟来的游人数是相同的，一个入口处

每分钟可以放入10名游客，如果开放2个入口处，20分钟后就没有人排队了，现在开放4个

入口处，那么开门后多少分钟就没人排队了？

5、秋天到了，牧场上的草不仅不生长了，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供10

头牛吃5天，或可供13头牛吃4天。照这样计算，可供多少牛吃6天？

6、商场的自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，小明和小丽要从扶梯上楼。已知小明每分钟走8

级，小丽每分钟走4级，结果小明用4分钟，小丽用5分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级

台阶？

7、两个顽皮的兄弟逆着自动扶梯行驶的方向行走。在20秒钟里，哥哥可走27级台阶，弟弟可走

24级台阶，结果哥哥走了2分钟到达另一端，弟走了3分钟到达另一端。问该自动扶梯共有多

少级？

8、一片草地，每天都匀速地长出青草。如果9头牛吃，用1