新课程人教A版必修1全部教案

第一章集合与函数概念

§1.1集合

1.1.1集合的含义与表示（第一课时）

教学目标：1.理解集合的含义。

2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。

3.熟记有关数集的专用符号。

4.培养学生认识事物的能力。

教学重点：集合含义

教学难点：集合含义的理解

教学方法：尝试指导法

教学过程：

引入问题

（I）提出问题

问题1:班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？

问题2:某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？

讨论问题：按小组讨论。

归纳总结：问题2已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述

（板书标题卜

复习问题

问题3:在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集\如自然数的集合，有理数的集合，不等式x-7<3

的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等b

(II)讲授新课

1.集合含义

观察下列实例

(1)1~20以内的所有质数；

(2)我国从1991-2003年的13年内所发射的所有人造卫星；

(3)金星汽车厂2003年生产的所有汽车；

(4)2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；

(5)所有的正方形；

(6)到直线/的距离等于定长d的所有的点；

(7)方程Y+3x—2=0的所有实数根；

(8)银川九中2004年8月入学的高一学生全体。

通过以上实例，指出：

(1)含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集卜

说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，

只可描述，不可定义。

(2)表示方法：集合通常用大括号｛｝或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母

a,b,c…表示°

问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？

2.集合元素的三个特征

问题：

(1)A=｛1,3｝，问3、5哪个是A的元素？

(2)A=｛所有素质好的人｝,能否表示为集合？B=｛身材较高的人｝呢？

(3)A=｛2,2,4｝,表示是否准确？

(4)A=｛太平洋，大西洋｝,B=｛大西洋，太平洋｝,是否表示为同一集合？

由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征：

(1)确定性：

设A是一个给定的集合，a是某一具体的对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情

况必有一种而且只有一种成立。

如r地球上的四大洋”(太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋)

“中国古代四大发明”(造纸，印刷，火药，指南针)可以构成集合，其元素具有确定性；而，比较大的数”,

“平面点P周围的点”一般不构成集合

元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于e”及“不属于任两种)

若a是集合A中的元素，则称a属于集合A,记作aeA;

若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A,记作aeA。

如A=｛2,4,8,16｝,则4eA,8eA,32eA.(请学生填充)。

(2)互异性：即同一集合中不应重复出现同一元素。

说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此，以后提到集合中的两个元素时,

一定是指两个不同的元素.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为｛1,-2｝，而不是｛1,1,-2｝

(3)无序性：即集合中的元素无顺序，可以任意排列，调换

3.常见数集的专用符号

N:非负整数集(自然数集)

N*或N+:正整数集，N内排除0的集

Z:整数集

Q:有理数集

R:全体实数的集合

(III)课堂练习

1.课本P213中的思考题

2.补充练习：

(1)考察下列对象是否能形成一个集合？

①身材高大的人②所有的一元二次方程

③直角坐标平面上纵横坐标相等的点④纲长的矩形的全体

⑤比2大的几个数⑥形的近似值的全体

⑦所有的小正数广⑧所有的数学难题

(2)给出下面四个关系:Q€旦0.7右0,0€{0},0€凡其中正确的个数是:()

A.4个B.3个C.2个D.1个

(3)下面有四个命题：

①若-aeN,则aeN②若aeN,beN,则a+b的最小值是2

③集合N中最小元素是1④x2+4=4x的解集可表示为{2,2}

其中正确命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

(IV)课时小结

1.集合的含义；

2.集合元素的三个特征中，确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集

合的表示，无序性可用于判定集合的关系。

3.常见数集的专用符号.

(V)课后作业

一、书面作业

1.教材PH,习题1.1A组第1题

2.由实数-a,a,根|,62,-遍＞为元素组成的集合中，最多有几个元素？分别为什

么？

3.求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件？

4.若上1e{t},求t的值.

1+t

1.1.1集合的含义与表示（第二课时）

教学目标：

1.掌握集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）

2.通过实例能使学生选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受

集合语言的意义和作用

教学重点：集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）

教学难点：集合的两种常用表示方法（列举法和描述法）的理解

教学方法：尝试指导法和讨论法

教学过程：

（I）复习回顾

问题1:集合元素的特征有哪些？怎样理解，试举例说明.

问题2:集合与元素关系是什么？如何表示？

问题3:常用的数集有哪些？如何表示？

（II）引入问题

问题4:在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的？如表示下列数中的正数

4.8,-3,,-0.5,-,+73,3.1

3

方法1:

方法2:{4.8,+73,3.1}

问题5:在初中学习不等式时，如何表示不等式x+3<6的解集？（可表示为:x<3）

（III）讲授新课

一、集合的表示方法

问题4中，方法1为图示法，方法2为列举法.

1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号里的方法.

说明：(1)书写时，元素与元素之间用逗号分开；

(2)一般不必考虑元素之间的顺序；

(3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；

(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素，以提供某种规律,

其余元素以省略号代替；

例1.用列举法表示下列集合：

(1)小于5的正奇数组成的集合；

(2)能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；

(3)从51到100的所有整数的集合；

(4)小于10的所有自然数组成的集合；

(5)方程/的所有实数根组成的集合；

(6)由1~20以内的所有质数组成的集合。

问题6:能否用列举法表示不等式x-7<3的解集？由此引出描述法。

2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来，写在

大括号里的方法)。

表示形式:A={xIp},其中竖线前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共属性；A={x

Ip}表示集合A是由所有具有性质P的那些元素x组成的，即若x具有性质p,则xeA;若xeA,则

x具有性质po

说明：(1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示；

(2)应防止集合表示中的一些错误。

如，把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},{xI1,2},用{实数集}或{全体实数}表示R。

例2.用描述法表示下列集合：

(1)由适合x2-x-2>0的所有解组成的集合；

(2)到定点距离等于定长的点的集合；

(3)抛物线y=x2上的点；

(4)抛物线y=x2上点的横坐标；

(5)抛物线y=x2上点的纵坐标；

例3.试分别用列举法和描述法表示下列集合：

(1)方程2=0的所有实数根组成的集合；

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合。

二、集合的分类

例4.观察下列三个集合的元素个数

1.{4.8,7.3,3.1,-9};2.{xeRI0<x<3};3.{xeRIx2+1=0}

由此可以得到

,有限集含有有限个元素的集合

集合的分类无限集含有无限个元素的集合

空集不含有任何元素的集合0(empfy-sef)

三、文氏图

集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，叙述如下：

画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如图所示：

图1—1图1—2

表示任意一个集合A表示{3,9,27}

说明：边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素统统包含在里边

就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.

(IV)课堂练习

1.课本P4思考题和P6思考题及练习题。

2.补充练习

(x+y=2

U-y=5

a.方程组的解集用列举法表示为；用描述法表示

为.

b.{(x,y)Ix+y=6,x、yeN}用列举法表示为.

c.用列举法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集？

(1){xIx为不大于20的质数};(2){100以下的,9与12的公倍数};

(3){(x,y)Ix+y=5,xy=6};

d.用描述法表示下列集合，并说明是有限集还是无限集？

⑴{3,5,7,9};(2){偶数};

(3){(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),...);

e.判断下列集合是有限集还是无限集或是空集？

(1){2,4,6,8....};(2){x|1<x<2};

(3){xeZI-1<x<20};(4){XGNI3<x<4};

f.判断下列关系式是否正确？

(1)2eQ;(2)NeR;(3)2e{(2.1)}

(4)2e{{2},{1});年(5)菱形e{四边形与三角形};(6)2e{yIy=x2};

(V)课时小结

1.通过学习清楚表示集合的方法，并能灵活运用。

2.注意集合0在解决问题时所起作用。

(VI)课后作业

1.书面作业：课本P”习题1.1A组题第2、3、4题。

1.1.2集合间的基本关系（1课时）

教学目标：1.理解子集、真子集概念；

2.会判断和证明两个集合包含关系；

3.理解“”的含义；

4.会判断简单集合的相等关系；

5.渗透问题相对的观点。

教学重点：子集的概念、真子集的概念

教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算

教学方法：讲、议结合法

教学过程：

(I)复习回顾：问题1:元素与集合之间的关系是什么？

问题2:集合有哪些表示方法？集合的分类如何？

(II)讲授新课

观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？

⑴人d,2,3},B={1,2,3,4,5).

(2)A={x|x>3},B={x|3x-6>0}.

(3)A={正方形},B={四边形}.

(4)A=0,B={0}.

(5)A={银川九中高一(11)班的女生},B={银川九中高一(11)班的学生}

通过观察就会发现，这五组集合中，集合A都是集合B的一部分，从而有：

1.子集

定义：一般地，对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元

素，我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作A=B(或B=A)，即若

任意xeA,有XGB,则AqB(或AuB)。

这时我们也说集合A是集合B的子集。

如果集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,就记作AB(或BA),即:若存

在xeA,有x任B,贝ijAB(或BA)

说明：A[B与B=A是同义的，而A=B与B=A是互逆的。

规定:空集。是任何集合的子集，即对于任意一个集合A都有0qA。

例1.判断下列集合的关系.

⑴NZ;(2)NQ;⑶RZ;(4)RQ;

(5)A={x|(x-1)2=0},B={y|y2-3y+2=0}；

(6)A={1,3},B={x|x2-3x+2=0};

⑺人十/},B={x|x2-1=0};

(8)A={x|x是两条边相等的三角形}B={x|x是等腰三角形}。

问题3:观察（7）和（8）,集合A与集合B的元素，有何关系？

n集合A与集合B的元素完全相同，从而有:

2.集合相等

定义对于两个集合A与B如果集合A的任何一个元素都是集合B的元氟即A=B）,

同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素（即B£A）,则称集合A等于集合B,记

作A=B。如:A={x|x=2m+1,meZ},B={x|x=2n-1,neZ},此时有A=BO

问题4:（1）集合A是否是其本身的子集？（由定义可知，是）

（2）除去。与A本身外，集合A的其它子集与集合A的关系如何？（包含于A,但不等于A）

3.真子集：由“包含”与“相等”的关系,可有如下结论:

（1）AqA（任何集合都是其自身的子集）；

（2）若A=B，而且A*B（即B中至少有一个元素不在A中），则称集合A是集合B的真子集，记作

AEB。（空集是任何非空集合的真子集）

（3）对于集合A,B,C,若AB,BC,即可得出AC;对AEB,BEC,同样有AEC,即：包含

关系具有“传递性

4.证明集合相等的方法：

（1）证明集合A,B中的元素完全相同；（具体数据）

(2)分别证明AqB和BcA即可。(抽象情况)对于集合A,B,若AgB而且BcA,则A=B0

(III)例题分析：

例2.判断下列两组集合是否相等？

(1)A={x|y=x+1}与B={yly=x+1}；(2)A={自然数}与B={正整数}

例3.(教材P7例3)写出{a,b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.

例4.解不等式x-3>2,并把结果用集合表示。

结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，其

非空子集数为2n-1个，其非空真子集数为2n-2个，特别地，空集的子集个数为1,X

子集个数为Oo

(IV)课堂练习

1.课本P7,练习1、2、3;

2.设A={0,1},B={x|xqA},问A与B什么关系?

3.判断下列说法是否正确？

(1)NGZCQCR;(2)0uAuA;

(3){圆内接梯形}。{等腰梯形};(4)NeZ;

(5)0e{0};(6)0=0}

4.有三个元素的集合A,B,已知A={2,x,y},B={2x,2,2y},且A=B,求x,y

的值。

(V)课时小结

1.能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集；

注意：子集并不是由原来集合中的部分元素组成的集合。(因为，空集是任何集合的子集”，但空集中

不含任何元素；'A是A的子集”，但A中含有A的全部元素，而不是部分元素卜

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

3.注意区别“包含于”:‘包含"，“真包含”，“不包含”；

4.注意区别“e”与“工”的不同涵义。(0与｛0｝的关系)

(VI)课后作业

1.书面作业

(1)课本P12,习题1.1A组题第5、6题。

(2)用图示法表示(1)A@B(2)AB

1.1.3集合间的基本运算(1课时)

教学目标：1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

3.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用；

4.认识由具体到抽象的思维过程，并树立相对的观点。

教学重点：交集与并集概念、补集的概念、数形结合的运用

教学难点：理解交集与并集概念、符号之间的区别与联系，补集的有关运算

教学方法：发现式教学法

教学过程：

(I)复习回顾

问题1:(1)分别说明AqB与A=B的意义；

(2)说出集合｛1,2,3｝的子集、真子集个数及表示；

（II）讲授新课

问题2:观察下面五个图（投影1）,它们与集合A,集合B有什么关系？

图1—5（1）给出了两个集合A、B;

图（2）阴影部分是A与B公共部分；

图（3）阴影部分是由A、B组成；

图（4）集合A是集合B的真子集；

图（5）集合B是集合A的真子集；

指出：图（2）阴影部分叫集合A与B的交集；图（3）阴影部分叫集合A与B的并集.由此可有:

1.并集：

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并

集，即A与B的所有部分，记作AUB（读作“A并B"）,即AUB={X|XGA或xeB}o如上述图

（3）中的阴影部分。

2.交集：

一般地，由所有属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，叫做A与B的交集，

即A与B的公共部分，记作AnB（读作“A交B"）即AnB={x|xeA且xeB}。如上述图（2）

中的阴影部分。

3.一些特殊结论

由图1—5（4）有：若AqB厕AnB=A;

由图1—5（5）有：若B=A厕AuB=A;

特别地，若A,B两集合中，B=0,，则An0=0,Au0=AO

4.例题解析（师生共同活动）

例1.设A={x|x>-2},B={x|x<3},求AnBo

［涉及不等式有关问题，利用数形结合即运用数轴是最佳方案］（图1图1—6

解：在数轴上作出A、B对应部分如图AnB={x|x>-2}n{x|x<3}={x|-2<x<3}o

例2.设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},求AnBo

［此题运用文氏图，其公共部分即为AnB］.（图1一7）

解：AnB={x|x是等腰三角形}n{x|x是直角三角形}

={x|x是等腰直角三角形}。

例3.设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求AuBo

［运用文氏图解答该题］（图1-8）

解:vA={4,5,6,8},B={3,5,7,8},则AuB={4,5,6,8}u{3,5,7,8}={3,4,

5,6,7,8}o

例4.设A=｛x|x是锐角三角形｝,B=｛x|x是钝角三角形｝,求AuBo

解：AuB=｛x|x是锐角三角形｝u｛x|x是钝角三角形｝二｛x|x是斜三角形｝。

例5.设A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},AuBo

［利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求］（图1

-11a3儿

-9)

图1—9

解:AuB={x|-1<x<2}u{x|1<x<3}={x|-1<x<3}.

例6.教材Pg例7。

问题3:请看下例

A=｛班上所有参加足球队同学｝

B=｛班上没有参加足球队同学｝

图1-3

S=｛全班同学｝

那么S、A、B三集合关系如何.

分析.•（借助于文氏图）集合B就是集合S中除去集合A之后余下来的集合，则有

5.全集

如果一个集合含有我们所要研究问题中所涉及的全部元素，那么就称这个集合为全

集，记作U。如：解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U,那么有理数集Q的

补集CuQ就是全体无理数的集合。

6.补集(余集)

一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集(即AS),由U中所有不属于A的

元素组成的集合，叫做U中集合A的补集(或余集)，记作CuA,即CuA={x|xeU，且xA)

图1—3阴影部分即表示A在U中补集CuAo

7.举例说明

例7、例8见教材P*例8、例9。

补充例题：解答下列各题：

(1)若S={2,3,4},A={4,3},则CSA={2};

(2)若S={三角形},B={锐角三角形},则CsB={直角三角形或钝角三角形};

(3)若S={1,2,4,8},A=0,则CSA=S_;

(4)若U={1,3,a2+2a+1},A={1,3},CuA={5},则a=」土匠;

(5)已知A={0,2,4},CuA={-1,1},CuB={-1,0,2},求B={1,4};

(6)设全集U={2,3,m2+2m-3},A={|m+1|,2},CuA={5},求m的值；(m=-4或

m=2)

(7)已知全集U={1,2,3,4},A={x|x2-5x+m=0,xeU},求CuA、m;(答案:CuA={2,

3},m=4;CuA={1,4},m=6)

(8).已知全集U=R,集合A={x|0<x-1K5},求CuA,Cu(CuA)o

(III)课堂练习：

(1)课本PH练习1—4；

(2)补充练习：

1,已知M={1},N={1,2},设A={(x,y)|xeM,yeN},B={(x,y)|xeN,yeM},求AnB,AuB。［An

B={(1.1)}.AUB={(1.1),(1,2),(2,1)}]

2.已知集合M={4,7,8},且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有()；

A3个B4个C6个D5个

3.设集合A={-1,1},B={x|x2-2ax+b=0},若Bw0,且BqA,求a,b的值。

(IV)课时小结

1.在并、交问题求解过程中，充分利用数轴、韦恩图。

2.能熟练求解一个给定集合的补集；

3.注重一些特殊结论在以后解题中应用。(如:Cu(CuA)=A)

(V)作业

1.书面作业

课本P12,习题1.1A组题第7—10题。

2.复习作业：

课本P12,习题1.1B组题及后面的“阅读与思考”——集合中元素的个数。

1.2.1函数的概念（2课时）

教学目标：1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。

3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域。

教学重点：函数概念和函数定义域及值域的求法。

教学难点：函数概念的理解。

教学方法：自学法和尝试指导法

教学过程：

（I）引入问题

问题1初中我们学过哪些函数？（正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数）

问题2初中所学函数的定义是什么？（设在某变化过程中有两个变量x和y,,如果给定了一个x的

值，相应地确定唯一的一个y值，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，丫是因变量卜

（II）函数感性认识

教材例子（1）:炮弹飞行时间的变化范围是数集A={x|0KxW26},炮弹距地面的高度h的变化范

围是数集8={川0W//V845},对应关系6=130f—5f2（*卜从问题的实际意义可知，对于数集A中的

任意一个时间t,按照对应关系（*）,在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应。

例子（2）中数集A=M1979Wf<2001},8={S|04S<26},并且对于数集A中的任意一个时间

t,按图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应。

例子（3）中数集A={1991,1992,…,2001},B={53.8,52.9,…,37.9（%）},且对于数集A中的每一

个时间（年份），按表格，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应。

(III)归纳总结给函数“定性”

归纳以上三例，三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集A、B间的一种对应关系：对数集

A中的每一个x,按照某个对应关系，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，记作

(IV)理性认识函数的定义

设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B

中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f8为从集合A到集合B的一个函数，记作

y=f(x),xeA，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y的值叫做

函数值，函数值的集合｛/(x)|xeA｝叫做函数的值域。

定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；

(1)对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y是x的函数”，绝对不能理解为“y等于f与x的乘积”，在不

同的函数中，f的具体含义不一样；

y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采

用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；

自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时对应的函数值用符号f(a)来表示。如函数f(x)=x2+3x+1,

当x=2时的函数值是:*2)=22+3x2+1=11。

注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值。

(2)定义域是自变量x的取值范围；

注意：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；

如:y=x2(xeR)与y=x2(x>0);y=1与y=x°

②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，

还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围；

如：一个矩形的宽为xm,长是宽的2倍，其面积为y=2x2,此函数的定义域为x>0,而不是xeRo

(3)值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随

之确定。

(V)区间的概念

设a、b是两个实数，且a<b,规定：

(1)满足不等式a<x<b的实数的x集合叫做闭区间，表示为[a,b];

(2)满足不等式a<x<b的实数的x集合叫做开区间，表示为(a,b);

(3)满足不等式a«x<b的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b);

(4)满足不等式a<x4b的实数的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为(a,b];

说明:①对于[a,b],(a,b),[a,b),(a,b]都称数a和数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右端

点，称b-a为区间长度；

②引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：

不等式表示法：3<x<7(一般不用);集合表示法：{x|3<x<7};区间表示法：(3,7);

③在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括

在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；

(4)实数集R也可以用区间表示为(7,+8)读作“无穷大读作“负无穷大”，

“+一读作“正无穷大”，还可以把满足x2a,x>a,xWb,x<b的实数x的集合分别表示为旧,+回、(a,+oo\(…⑼、

(-«,b)o

例题分析：

例1.已知函数/。)=而5+—1—,(教材第17页例1)

x+2

(1)求函数的定义域；

2

(2)求/(—3)J1)的值；

(3)当a>0时，求f(a),f(a-1)的值。

分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前述的三个实例。如果只给出解析式y=/(x),

而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。(解略)

例2.求下列函数的定义域。

(1)/W=----；(2)/(X)=V^4+V7T2;(3)/(X)=VTH+--

(l-2x)(x+l)2-x

分析.•给定函数时，要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为

函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合。

从上例可以看出，当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：

(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R;

(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

(3)如果找x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；

(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合

(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；

(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集

4口o

由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。

例3.下列函数中，哪个与函数y=x是同一函数？(书Pi8例2)

2

(1)y=(Vx)2;⑵丫二^^；⑶y=V^;(4)y=y=一.

x

分析.,判断两个函数是否相同，要看定义域和对应法则是否完全相同。只有完全一致时，这两个函数才

算相同。(解略)

课堂练习：课本P19练习1、2、3o

课时小结：

本节课我们学习了函数的定义(包括定义域、值域的概念)及求函数定义域的方法。函数定义中注意的问

题及求定义域时的各种情形应该予以重视。

课后作业

1、书面作业：课本P24习题1.2A组题第1,2,3,4题；B组第1、2题。

1.2.2函数的表示方法(第一课时)

教学目标：1.进一步理解函数的概念；

2.使学生掌握函数的三种表示方法;

教学重点：函数的表示方法

教学难点：函数三种表示方法的选择

教学方法：自学法和尝试指导法

教学过程：

(I)引入问题

1.回忆函数的两种定义；

2.函数的三要素分别是什么？

x~+2,(x<2)

3.设函数/(x)=1'一，则/(—4)=______，若/(x0)=8,贝ijx0=_______.

2x(x>2)

(II)讲授新课

函数的三种表示方法

(1)解析法(将两个变量的函数关系，用一个等式表示)：

如y=3x2+2x+1,S=7tr",C=2?rr,S—6厂等。

4(简明，全面地概括了变量间的关系；

4TTv

.I可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值；

(2)列表法(列出表格表示两个变量的函数关系)：

如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。

优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。

(3)图象法(用图象来表示两个变量的函数关系)：

如

优点：直观形象地表示自变量的变化。

(川)例题分析：

例1(书P19).某种笔记本的单价是5元，买x(xe{1,2,3,4,5}个笔记本需要y元，试用函数的三种

表示法表示函数y=/(x)。

解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5},用解析法可以将函数y=/(x)表示为

y=5x,xe{1,2,3,4,5}o

用列表法可以将函数y=/(x)表示为

笔记本数X12345

钱数y510152025

图象法略。

说典.,函数的图象通常是一段或几段光滑的曲线，但有时也可以由一些孤立点或几段线段组成。

例2.下表是某校高一(1)班三名同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级平均分表。

第一次第二次第三次第四次第五次第六次

王伟988791928895

张城907688758680

赵磊686573727582

班级平均分88.278.385.480.375.782.6

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。

分析：画出“成绩”与“测试时间”的函数图象，可以直观地看出：王伟同学的数学学习成绩始终高于班级

平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀。张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，

而且波动幅度较大。赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的

数学成绩在稳步提高。

(IV)课堂练习：课本P23练习1、2o

(V)课时小结：

本节课我们学习了函数的表示方法。

(VI)课后作业

1、书面作业：课本P24习题1.2第5、6、8题。

1.2.2函数的表示方法(第二课时)

教学目标：1.进一步理解函数的概念；

2.使学生掌握分段函数及其简单应用。

教学重点：分段函数的理解

教学难点：分段函数的图象及简单应用

教学方法：自学法和尝试指导法

教学过程：

(I)引入问题

1.函数有几种常用的表示方法？它们分别是哪几种？

2.如何作出函数y=|x|的图象？

(II)饼授新课

例1.作出函数y=|x|的图象和y=|x—l|的图象，并分别求出函数的值域。

注：分段函数的定义域和值域分别是各段函数的定义域和值域的并集。

例2.国内投寄信函(外埠)，假设每封信函不超过20g时付邮资80分；超过20g不超过40g时付邮资

160分；依次类推，每封xg(0<x<100)的信函付邮资为：

80(xG(0,20))

160(xe(20,40])

y=<240(xG(60,80]),画出这个函数的图象。

320(xe(60,80])

400(xe(80,100])

说明.•表示函数的式子也可以不止一个（如例1与例2）,对于这类分几个式子表示的函数称为分段函数。

注意它是一个函数，不要把它误认为是“几个函数

例3.（教材P2i例6）

例4.作出下列各函数的图象：

-(0<%<1)x2+2x(x>0)

(1)/3)=〈X(2)/(x)=

~x~—2x(x<0)

x(x>1)

对第（2）小题的函数，试根据。的取值讨论方程/（x）=a的根的个数问题。

练习：

x+2（x<—1）

1.在函数/（幻=卜（_]<x<2）中，若f（x）=3,则x的值为,

2x（尤>2）

x+l（x>0）

2.已知/（x）=<乃（x=0），则/{/"（一1）]}=。

0（x<0）

作业：课本P24习题1.2第7、9题。

1.2.2函数的表示方法（第三课时）

教学目标：1.使学生了解映射的概念、表示方法；

2.使学生了解象、原象的概念；

3.使学生通过简单的对应图示了解一一映射的概念;

4.使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式。

教学重点：映射、一一映射的概念

教学难点：映射、一一映射的概念

教学方法：讲授法

教学过程：

(I)复习回顾

1:前面学习的元素与集合的关系、'：""，集合与集合的关系峥"、踪”；

2:在初中学过一些对应的例子

(1)对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点和它对应；

(2)对于坐标平面内的任何一个点，都有唯一有序实数对(x,y)和它对应;

(3)对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；

(4)对于任意一个二次函数，相应坐标平面内都有唯一的抛物线和它对应。

(II)讲授新课

1.映射的概念

a.观察下列对应:(为简明起见，这里的A、B都是有限集合)

A弁平方BA求正建B

3

9

-32

4二

一

二

1-Z1

一T

C17

差

12

3

-12-4

4

5

9

-26

4:

3

（对每个对应都要强调对应法则，集合顺序）

问题1:这四个对应的共同特点是什么？

对于集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则f,在集合B中都有确定的元素和它对应。

问题2:观察图（2卜（3卜（4）,想一想这三个对应有什么共同特点？

这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，按照某种对应法则/,在右边集合B中都

有唯一的元素和它对应。

b.映射的定义

一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/，对于集合A中的任何一个元素，

在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A、B及A到B的对应

法则f）叫做集合A到集合B的映射。记作：f:A-B

由此定义:（2）,（3）,（4）三个对应都是A到B的映射，（1）的对应不是A到B的映射。

（2）f:x->sinx;（3）f:x-x2;（4）f:x—>2x

c.象，原象的概念

给定一个集合A到集合B的映射，且aeA,beBo如果在对应法则f的作用下，元素a

和元素b对应，则元素b叫做元素a（在f下）的象，元素a叫做元素b（在f下）的原象。

注意：（1）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则，缺一不可；

（2）A,B可以是数集，也可以是点集或其它集合。这两个集合具有先后顺序：符号"f:A-B”表示A到B

的映射，符号"f：BfA”表示B到A的映射，两者是不同的；

（3）集合A中的元素一定有象，并且象是唯一的（因此（1）不可以构成映射），但两个（或两个以上）

元素可以允许有相同的象（如图（3））;

例f'A={0,1,2},B={0,1,1/2},f:取倒数”就不可以构成映射，因为A中元素0在B中无象（4）集合B中的元

素在A中可以没有原象(如图(4)),即使有也可以不唯一(如图(3));

(5)A={原象},Bn{象}。

d.例题分析：

例：判断下面的对应是否为集合A到集合B的映射，并说明理由(投影3b

(1