小学奥数 分数裂项（含答案）

分数裂项计算

:善国阳

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为

观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分

运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的

前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整

数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的

观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂

的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即」一形式的，这里我们把较小的数写在前面，即

axb

那么有」一=—'―(工一』)

axbb-aab

(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

________!________,------------1-----------形式的，我们有：

〃x(〃+1)x(〃+2)'x(〃+1)x(/?+2)x(〃+3)

72X(〃+1)x(〃+2)2HX(774-1)(H4-1)(/7+2)

〃x(〃+1)x(〃+2)x(〃+3)3〃x(〃+1)x(77+2)(〃+1)x(〃+2)x(〃+3)

裂差型裂项的三大关键特征：

(1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将X

提取出来即可转化为分子都是1的运算。

(2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

(3)分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算:

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

,.xa+bab11小、a2+b2a2b2ab

（1）-----=-----+-----=-+—（2）-----------=-------+-------=-+-

axbaxbaxbbaaxbaxbaxbba

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,

同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

[例1]-^―H———+-----+------H-------

lx22x33x44x55x6

【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算

【关键词】美国长岛，小学数学竞赛

11115

【解析】原式=+

++5~61-6-6

111

提醒学生注意要乘以（分母差）分之一，如改为:------+-------+-------+-------,计算过程就要变为:

1x33x55x77x9

1111

-------1--------4---------H---------x——.

1x33x55x77x9192

5

【答案】

6

1__11

【巩固】

10xll+llxl2++59x60

【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算

【解析】原式=（工一工）+（!—-!-）+J1_1I__J_

-_-

1011111259-60106()12

【答案】—

12

2222

【巩固】---------1---------F+----+-----=

10x99x85x44x3一

【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算

bAcC।11+-=2x7

【解析】原式=2x---------+--------+1_1

1910894534)31015

7

【答案】

15

111

[例2]―+-----+----------1-+----------------

11+21+2+31+2++100

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单

的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的

代入有；=212

(l+l)xl1x2+2~(1+2)X2-2x3'

22

…2222c八1、200।99

原式=----+-----+-----+H--------------=2x(1--------)=------=1—

1x22x33x4100x101101101101

【答案】岂

101

1

[例3]-------+----------1----------+H-------------=

1x33x55x799x101

【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算

111111111、50

【解析】----+----+-----+H---------------=­X(1------1----------F***H---------------/=------

1x33x55x799x101233599101101

50

【答案】

101

111

【巩固】计算：25x---+----+-----+H--------------

1x33x55x723x25

【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算

【关键词】迎春杯，初赛，六年级

原式=25x，x11=25xgx(1=%丝=12

【解析】+--------

2335232525225

【答案】12

"£+卫+251251

【巩固】空+4-------------------------1-----------------------

4x88x1212x162000x20042004x2008

【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算

【关键词】台湾，小学数学竞赛，初赛

【解析】原式=2351x111

----+----+------F+----------------4-------------------

161x22x33x4500x501501x502

25111

=---x1-—+———4-T----------

16122334501502

251501501«21

=---x-----=15—

165023232

21

【答案】15—

32

【巩固】计算：—+

2x55x77x1111x1616x2222x2929

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

V11111111111111

【解析】厚衣=-----1-------------1--------------1----------------1-----------------1-----------------1------=一

2557711111616222229292

【答案】

2

Jill1111、八。

[例4]Vi:(—I----1-----1----1-----1-----1-----1----)x128—

8244880120168224288

【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算

【关键词】101中学

【解析】原式=(」一+」一+」一++—5—)x128

2x44x66x816x18

1Z1111

=——X(----------H----------------F+--—)x128

224461618

=(--—)x64

218

=28-

9

【答案】28-

9

1111111

【巩固】-+一十一+一+一+一+一+一=

612203042567290

【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算

【关键词】走美杯，初赛，六年级

【解析】根据裂项性质进行拆分为：

11111111

—I------1---------F------1------H------H--------F—

612203042567290

11111111

----1-----1-----1-----1-----1-----1-----1-----

2x33x44x55x66x77x88x99x10

11_2

2105

2

【答案】-

【巩固】1111

14+1+—+—+—+—=

3610152128

【考点】分数裂项【难度】6星【题型】计算

【关键词】走美杯，6年级，决赛

【解析】原式=i+-L+_!_+——!——十1

1+21+2+31+2+3+41+2+3+4+5+6+7

2

+------+------++------

2x33x47x8

【答案】-

4

【巩固】计算后2__1___1____1___1___1_J___1_=

6-12-20-30-42-567290-

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【关键词】走美杯，6年级，决赛

―小苗、

[解"析']原式=1(,---1--1---1--1---1--1-1----1---1--1-1----1---1--F---1-)

22x33x44x55x66x77x88x99x10

11111

【巩固】---1----1----1----1----=

104088154238

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

…11111

【解析】原式=-----1----------1----------+-------------1------------

2x55x88x1111x1414x17

111J__J_1111、

-+-+-+-----+-----I

3(;5588n11141417J

15

=­x

334

5

【答案】

34

111

[例5]计算:-----------1-------------F------------F+-------------------------

1x3x53x5x75x7x92001x2003x2005

【考点】分数裂项!【难度】3星【题型】计算

【关键词】华杯赛，总决赛，二试

1

【解析】++

5x72001x20032003x2005

1004(X)3

12048045

【答案】

12048045

7

‘X4.5+0.16

1111

[例6]-18-----------------x一+—十—4--

3153563

13--3.75x3.2

3

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【关键词】仁华学校

7916-1

—X—F----------

111

【解析】原式:18290*------+-------+--------4---------

1x33x55x77x9

13--3xl.25x4x0.8

3

71

4+

6xlxfl-」+

21+1

131一12I33579

3

4631823

------X—X—X——------

2442936

23

【答案】

36

[例7]计算：1-+2-+3—+4—4-+20—

261220420

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【关键词】小数报，初赛

11

【解析】原式=(1+2+3++20)+一十一+—+—+

261220

11

=210+—+-----+------+------++

1x22x33x44x520x21

…।111111

=210+1——+------+--------++-------

223342021

120

=210+1—=210—

2121

【答案】210名

21

【巩固】计算：2008-!-+2009-i-+20101一+20111一+2012—!-=.

1854108180270—

【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算

【关键词】学而思杯，6年级，1试

【角单析】原式=2008+2009+2010+2011+2012+-!—+-^—+—^—十+」

3x66x99x1212x1515x18

1_j_2__144}

=2010x5+-xr/+/一§+

9

=10050—

54

【答案】10050上

54

【巩固】计算：-+-+—+—+—=

26153577

【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算

【关键词】学而思杯，6年级

【解析】原式=L1+—3-2+已5-上3+二32

26153577

111111111

=—I---------F--------+--------+---------

2233557711

1110

=1-----=—

1111

【答案】—

11

1111111

【巩固】计算:—I------1-------1-------1-------1--------1------

315356399143195

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：3=22-1=1X3,15=4?-1=3X5,…“

195=142-1=13x15,

“区W11111

所以原式=----+-----+-----•+----+------++

7x99x1111x1313x15

1j____i_

+—X-

2B15

【答案】

15

rwsii、4•笆।511192997019899

【巩固】计算：一+—+—+—+—4-•H----------1---------=・

2612203097029900

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

[例8]—L—+—^—+1

1x2x32x3x47x8x9

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

(n+l)-(/i-l)_1]___________[

【解析】首先分析出

(〃一l)x〃x(/7+l)+2(A?-1)x72HX(n+1)

144

【答案】上

144

11

【巩固】计算:-------H---------++-----------

1x2x32x3x498x99x100

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

原式二4一11111

【解析】---------1----------------------1----------F•••+99x100)

21x22x32x33x43x498x99

=1x(-5---

^)=1X4949=4949

21x299x1002990019800

4949

【答案】

19800

1

【巩固】计算:++--------------F+

1x3x52x4x63x5x720x22x24

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

原式=」11..1

【解析】」+.・・+----------+-------+,,,+------------

1x3x53x5x719x21x232x4x620x22x24

1(1一1)+1(1_1)

41x321x2342x422x24

_40+65=28160+10465

―4832H2-340032340032

_38625

340032

38625

【答案】

340032

【巩固】―4―+—4二+44

H-----------------------1----------------------

1x3x53x5x793x95x9795x97x99

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】=(----------)+(-----------)++(---------------)+(------97x99)

1x33x53x55x793x9595x9795x97

113200

-lx397x99-9603

3200

【答案】

9603

9998971

【巩固】1111

1x2x32x3x43x4x599x100x101

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

99=100-1=100__J_=100__J_

【解析】

1x2x31x2x31x2x32x31x2x32x3

98=100—2=100_2=100__J_

2x3x42x3x42x3x42x3x42x3x43x4

___9_7__=_1_0_0_-_3_=100—3=100—1......

3x4x5__3x4x5___3x4x5__3x4x5___3x4x5___4x5

]=100-99=100_99=100__1_

99x100x10199x100x10199x100x10199x100x10199x100x101100x101

一100100100100z111、

1x2x32x3x43x4x599x100x1012x33x4100x101

=100x-!-x(-———---)=24—

22101002101101

【答案】24—

101

【例9)+——；+——!+…+——；+——；——

Ix2x3x42x3x4x53x4x5x66x7x8x97x8x9x10

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【角单析】原式=1x1―1------1—+—1-------1—++—!--------1—

311x2x32x3x42x3x43x4x57x8x98x9x10

1O____L_k-Lll

3X11x2x38x9xl0j2160

119

【答案】

2160

【巩固】——-——+——-——+……+-------------

Ix2x3x42x3x4x517x18x19x20

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】原式=3x[』x(」------------+---------—++------------------——)]

31x2x32x3x42x3x43x4x517x18x1918x19x20

113x19x20-11139

1x2x318x19x2018x19x206840

1139

【答案】

6840

5719

【例10］计算:+------

1x2x32x3x4+8x9x10

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目.但是本题中分子不相

同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2.相比较于2,4,6,……这一公差为2的等差数

列（该数列的第"个数恰好为”的2倍），原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以可

以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算.

3+23+43+16

原式=-------+--------+4-------

1x2x32x3x48x9x10

28

3x-------------H----------------+••一+------+2x-------------H------------------F

1x2x32x3x48x9x101x2x32x3x48x9x10

1

+2x+—L+..+」

2x33x49x10

也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2〃+3,所以

2〃+3232

__________________________________________________再将每一项的与

nx+1)x(〃+2)(〃+l)x(〃+2)++，(〃+l)x(〃+2)

3

分别加在一起进行裂项.后面的过程与前面的方法相同.

【答案】—

15

S71719、

【巩固】计算：1155x（--—+—-—+H--------1--------)

2x3x43x4x58x9x109x10x11

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【关键词】迎春杯，初赛，五年级

571719

【解析】本题的重点在于计算括号内的算式:---------------F-------------+H--------------------F-----------------.这个算式不同

2x3x43x4x58x9x109x10x11

于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子

是分母的差或和的情况.所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式.

观察可知5=2+3,7=3+4,即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以

571719

---------------1---------------+8x9xl0+9xl0xll

2x3x43x4x5

2+33+49+10

---------------1-----------------F+---------

2x3x43x4x59x10x11

11111

3x42x44x53x510x119x11

(111、(1111

----+-----++------+

(3x44x510x11；(2x43x59xllJ

(111111A1(11111111

—+-----++-------+-x——■—-1-——•—————

(34451011J2(2435468一记+厂?!

812831

+—x=------F—X-4--

221031133253355

31

所以原式=1155x—=651.

55

（法二）

上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法.由于分子成等差数列，而等差数列的

通项公式为夕+加，其中d为公差.如果能把分子变成这样的形式，再将。与〃d分开，每一项都

变成两个分数，接下来就可以裂项了.

571719

-------H---------++--------+---------

2x3x43x4x5-----8x9x109x10x11

1+2x21+3x21+8x21+9x2

---------------1---------------+H-------------------1-------------------

2x3x43x4x58x9x109x10x11

12x213x28x29x2

-----+------+++d----------1---------H--------1--------

2x3x42x3x43x4x53x4x58x9x108x9x109x10x119x10x11

11112222

--------1F•••41--+-------------4-----------+H-------------1-------------

2x3x43x4x5------8x9x109x10x113x44x59x1010x11

11111

=­x+---------------------+4-+2x

2,12x33x43x44x59x1010x113-44-51011

]+2x

=lxt11

21,2一x3J1f3l-1

10x1111

112234131

12220311422055

31

所以原式=U55x±二651.

55

（法三）

本题不对分子进行转化也是可以进行计算的:

571719

--------1--------++--------+---------

2x3x43x4x58x9x109x10x11

△xpL.|4xp---L]+17,f-L19(1

+TX

212x33x4j2(3x44x5j(8x99xl0j~219x1010x11

75]x-L+。J“917、1191

-+4-

22x3I.22.)3x4(22)4x5、22厂9x10210x11

——5X__1__I____1___|_11191

22x33x44x59x10210x11

5111931

=—+———

12310~220~55

31

所以原式=1155x—=651.

55

（法四）对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳.先找每一项的通项公式:

2〃+1

(〃=2,3,,9)

n(n+1)(/?+2)

如果将分子2〃+1分成2〃和1,就是上面的法二；如果将分子分成〃和〃+1,就是上面的法一.

【答案】651

【巩固】计算：高行+百靠+京姮12

H---------------

10x11x13x14

【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先

将每一项的分子、分母都乘以分子中的数.即：

324252122

原式=+++H-------------------------------------

Ix2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性,

可以用平方差公式：32=1x5+4,42=2x6+4,52=3x7+4

324252122

原式=+++F

Ix2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

1x5+42x6+43x7+410x14+4

----------------------------1-----------