上海市2022届高三数学模拟卷及答案

上海市2022届高三数学模拟卷

一、填空题

1.设集合M=｛0,1,2｝,N=｛1,a｝，若M?N,则实数a=

2.已知i为虚数单位，若复数z=A^,贝l」|z|=.

3.不等式/>2的解集是

4.若方程组卷:；二；无解，则实数a=.

5.从总体中抽取6个样本：4,5,6,10,7,4,则总体方差的点估计值为.

6.若数列｛an｝的前n项和的=1即+；，则数列｛an｝的通项即=.

7.二项式甑+展开式中的常数项是.

8.小明给朋友发拼手气红包，1毛钱分成三份（不定额数，每份是1分的正整数倍），若这三个红包

被甲、乙、丙三位同学抢到，则甲同学抢到5分钱的概率为.

9.如图，F为双曲线盘-吟=l（b>a〉0）的右焦点，过F作直线/与圆好+产=房切于点”，与双

曲线交于点P，且M恰为线段PF的中点，则双曲线的渐近线方程是.

10.若函数/（%）=3（3%+软3>0）在[0,扪的值域为[.1,争，则3的取值范围是

11.若分段函数/（久）=:将函数y=|/（X）-/（a）|,xe[m,用的最大值记作

Za[m,n],那么当—2WznW2时，Z2[m,m+4]的取值范围是；

12.已知向量a,B满足同=3,|瓦=1，若存在不同的实数儿凡伍也丰0）,使得cl=

Aid+3雄，且©-2）•©-B）=0（i=1,2）,则瓦-司的取值范围是

二、单选题

13.设％>0,贝广a=1”是"x+^>2恒成立”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

14.已知0>a>b,若lim1—=25，则（）

"任n一%

n-8a-b

A.a=—25B.a=—5C.b=—25D.b=-5

15.已知函数/（%）=asin%-bcosx（a、b为常数aW0,xeR）在％=日处取得最小值，则函数

/（¥-％）是（）

A.偶函数，且图象关于点（兀，0）对称

B.偶函数，且图象关于点（当，0）对称

C.奇函数，且图象关于点（竽，0）对称

D.奇函数，且图象关于点（兀，0）对称

16.已知数列｛%｝,｛%｝,&｝,以下两个命题:①若｛斯+匕｝,｛%+7｝,｛%+%｝都是递增数

列，则｛册｝,｛%｝,｛%｝都是递增数列；②若｛%+%｝,[bn+cn）,｛an+%｝都是等差数列,则

｛凝｝，｛3｝，｛/｝都是等差数列，下列判断正确的是（）

A.①②都是真命题B.①②都是假命题

C.①是真命题，②是假命题D.①是假命题，②是真命题

三、解答题

17.如图，正四棱锥P-ABCD中.

（1）求证：BD，平面P4C；

（2）若4B=2,VPTBCD=竽，求二面角4-PB-C的余弦值.

18.已知/（x）=V5sinwx+3coswx（w>0）

（1）设y=/。+。）（0<。<刍是周期为兀的偶函数，求卬，8；

（2）若g（x）=/（3x）在（-京期上是增函数，求w的最大值；并求此时g（x）在[0,兀]的取值范围.

19.如图，OM,ON是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM为东西方向），Q为景区内一

景点，A为道路0M上一游客休息区，已知tan/MON=-3,OA=6（百米），Q到直线

OM,ON的距离分别为3（百米），等（百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延

伸至道路ON于点B,并在B处修建一游客休息区.

（1）求有轨观光直路AB的长；

（2）已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分

钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，r=2VH（百米）（OWtW

9,0<a<l）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨

道以注（百米/分钟）的速度开往休息区A,问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并

说明理由.

20.定义符号函数sgn（x）=｛1]已知函数/（X）=/-2x（/-a）•sgn（X2-a）.

(1)已知f(l)Wf(O),求实数a的取值集合；

(2)当a=l时，g(x)=〃%)-kx在区间(一2,0)上有唯一零点，求k的取值集合；

(3)已知f(x)在［0,1］上的最小值为f(l),求正实数a的取值集合；

21.设m为正整数，各项均为正整数的数列｛册｝定义如下：的=1,即+1=［号'为偶数’.

an+771,为奇数.

(1)若m=5,写出。8，。9，。10；

(2)求证：数列单调递增的充要条件是根为偶数；

(3)若僧为奇数，是否存在九＞1满足即=1?请说明理由.

答案解析部分

1.【答案】0,2

2.【答案】|

3.【答案】(|,1)

4.【答案】±2

5.【答案】竽

6.【答案】(―2)时1

7.【答案】5005

8.【答案】1

9.【答案】y=±2x

10.【答案】舟，|］

1L【答案】［4,60］

12.【答案】［2,2鱼)U［2或，2V3)

13.【答案】A

14.【答案】D

15.【答案】D

16.【答案】D

17.【答案】(1)证明：因为P—ABC。是正棱锥，

•••P在面4BCD内射影是4c与BD的交点。，

即POJ■面力BCD,POA.BD,

又BD1AC,PO与/C在面PAC内相交,

BD_L面PAC；

⑵解：•••—BCD岩X22XPO=警,

•••PO=V2>PB=，2+2=V2>

则△PAB与aPBC为边长是2的正三角形，取PB的中点E,连AE,CE，

则AEJ.PB,CE1PB,N4EC是二面角的平面角,

cosZ-AEC="A8一

2x/3xV3

1

Z.AEC=arccos(一亍)

J

18.【答案】⑴解：/(%)=V3sinivx+3cosivx=2V3sin(ivx+^),

设/(x+0)=2V3sin[iv(x+0)+刍=2V3sin(wx+w。+号)，

因为"％+0)的周期为兀，故却=7T,故w=2.

所以J(x+。)=2V3sin(2x+20+亨)，而+。)为偶函数，

所以20+5="+会武2即0=竽+各k€Z，

因为0<。<去故。=$,

综上，w=2,e=各

(2)解：g(x)=/(3x)=2gsin(3wx+专)，

令2/CTT—3s3wx+与W2/OT+「kCZ,解得竺曰<丫<竺上1，

故函数g(x)的单调递增区间为四谭，2人+耳,kez，

所以存在k6Z使得竺二普<_卫<卫<竺上1成立.

3iv-2^3-3w

57r7rl

因为W>0,所以Z=0,故二E<v卫v卫•即0VWWN，

3w-23-3w6

故W的最大值为上

此时g(x)=2>/3sin(^+^),

因为xe[0,n],故界*+长学所以遮W2sin(x+看)S2国，

9(%)在[0,兀]上的取值范围为[遍，2V3].

19.【答案】(1)解：以点0为坐标原点，直线0M为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.

则由题设得：46,0),直线ON的方程为y=—3%,Q(%o,3)(x0>0).

由更禁1=空，解得的=3,所以Q(3,3).

v10n

故直线AQ的方程为y=-(x-6),

由｛/二花。得山式

即B(-3,9)，故AB=7(-3-6)24-92=9&,

答：水上旅游线AB的长为9y/2km-

(2)解：将喷泉记为圆P,由题意可得P(3,9),

生成t分钟时，观光车在线段AB上的点C处，

则=,0<t<9,所以C(-34-1,9-t).

若喷泉不会洒到观光车上，则PC2>N对te[0,9]恒成立，

即PC2=(6-t)2+t2=2t2-12t+36>4at,

当t=0时，上式成立，

当te(0,9]时，2a<t+学一6,(t+苧-6)=6鱼—6,当且仅当t=3/时取等号,

tLmin

因为ae(0,1),所以r<PC恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上.

答：喷泉的水流不会洒到观光车上.

20.［答案］(1)解：因为/(I)=(-1+2a，&W1'/(0)=0,

(3—2a,a>1,

所以,i)d.a>1,

或

3—2QW0,

解得：a<*或Q>

所以实数a的取值集合为(—8,u[|,+oo).

x2—2x(x2—1),%2-1>0,

(2)解：当。=1时，/(%)=

X2+2x(x2—1),%2—1<0,

(x2—2x(x2—1),%>1或r<—1,

所以/(%)=

\x2+2%(%2—1),-1<%<1,

因为=/(%)-依在区间(一2,0)上有唯一零点,

所以方程/£=与在区间(-2,0)上有唯一的根，

所以函数y=k与y=写在区间(一2,0)上有唯一的交点，

函数y=络的图象，如图所示：

当一8<k<一孝或忆=一1时，两个函数图象只有一个公共点，

所以k的取值集合为(—8,-孝)u{—1}时，g(x)=/(X)一依在区间(一2,0)上有唯一零点.

(3)解：当x=l时，/(X)2/(1)在4€[0,1]恒成立，

因为/(%)=x2—2x(x2—a)-sgn(x2—a),/(I)=1—2(1—a)-sgn(l—a),

①当a>1时，f(x)>/(I)<=>x24-2x(x2-a)>3-2a«2a(x-1)<2x34-%2-3,

所以2。？在总牛尤=2/+3%+3在46[0,1)恒成立，

所以2a>2+3+3=8=>a>4.

②当0<a<1时，/(x)>/(l)<=>%2-2x(x2-a)-sgn(x2-a)>2a-1,

i)当VH<x<1时，上式=x2—2x(x2—a)>2a—1,

所以2aM2/+x+i在％w[仿，1)恒成立，

所以2aW2a+V^+l,此时0VaW1的数都成立；

ii)当0<x<6时，/(x)>f(1)<=>x24-2x(x2-a)>2a-1,

所以2a<2x2-x+1在％G[0,VH)恒成立，

当VHW；，即0vQ工时'2aW2a-yfo,+l=0Va<l,

所以0VaMm;

当.vVHwi,即eVaWl时，2aW2(/)2—,+i=>0工

所以VaW

1616

7

所以0<aW正；

综合①②可得：0<&£/或。24，

所以正实数a的取值集合为：(0,U[4,+oo).

21.【答案】(1)解：a8=6,a9=3,a10=8.

(2)证明：先证“充分性”.

当血为偶数时，若“为奇数，则册+i为奇数.

因为的=1为奇数，所以归纳可得，对VTIWN*,即均为奇数，则即+1=0„+6，

所以an+i-a