中考数学平行四边形(讲义及答案)及解析

中考数学平行四边形（讲义及答案）及解析

一、选择题

1.如图，正方形ABC。的边长为定值，E是边CZ）上的动点（不与点C,D重合），AE

交对角线于点F,FGLAE交BC于点、G,6"1_8。于点次连结AG交50于点

N.现给出下列命题：①Af=bG；②DF=DE；③FH的长度为定值；

④GE=BG+DE：（§）BN2+DF2=NF2.真命题有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

2.如图，在平行四边形A8CO中，NBC£>=30°,BC=6,CD=6G,E是边上的

中点，尸是AB边上的一动点，将AAEF沿EF所在直线翻折得到AA'EE,连接AC,则

A.3719B.3旧C.3>/19-3D.673

3.将兀个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点4、及、…、4”分别是正方形

对角线的交点，则2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）

2019

C.—cm2

4

4.如图，菱形ABCD的边，AB=8,N8=60,P是AB上一点，BP=3,。是CO

边上一动点，将梯形APQO沿直线PQ折叠，A的对应点A'.当C4'的长度最小时,

C'Q的长为（）

DO

P-B

A.5

5.如图所示，在RfAABC中，NABC=90°，ABAC=30°»分别以直角边A3、斜边

AC为边，向外作等边AA8。和等边A4CE,尸为AC的中点，DE与AC交于点0,

。产与A8交于点G.给出如下结论：①四边形AOFE为菱形；②AB；

（§）AO=­AE；@CE=4FG；其中正确的是（）

C

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

6.如图所示，在周长是10cm的ABC£>中，ABAD,AC>3。相交于点。，点E

在AO边上，且OEL3D,是AABE的周长是（）

B

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

7.如图，四边形ABC。为平行四边形，ND为锐角，Nfi4Z）的平分线AE交CO于点

F,交BC的延长线于点E,且=若A8=25,A8CO面积为300,则AR

的长度为（）

8.如图，点A,8,E在同一条直线上，正方形ABC。、正方形BEFC的边长分别为

2、3,H为线段。尸的中点，则的长为（）

A后RV26

22

nV29

22

9.如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点,且80=‘CO.点

2

E,F分别在边AB,AC上，且/皮甲=90°,M为边E尸的中点，连接CM交。产

于点N.若DFHAB,则CM的长为()

BDc

A.—\/3B.—>/3C.—>/3D.V3

346

10.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=4,EC=8,将正方形边AB延AE折

叠刀AF,延长EF交DC于G,连接AG,现在有如下结论：①NEAG=45°；②GC=CF；

③FC〃AG；@SAGFC=14.4；其中结论正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

11.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起,若重合部分构成的四边形A5CO中,

=3,AC=2,则8£)的长为

12.如图，在矩形ABCD中，NBAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,点G

是EF的中点，连接CG,BG,BD,DG,下列结论：①BC=DF；②N£)GR=135°;

325

(§)BG±DG；®AB——AD,则SBDG=—SFDG,正确的有__________________.

44

13.如图，菱形A8CO的边长是4,NABC=60°,点E,尸分别是AB,8c边上的

动点(不与点A,B>C重合)，且BE=BF,若EG//BC,FGHAB,EG与FG相

交于点G,当AOG为等腰三角形时，3E的长为.

14.菱形A8CD的周长为24,ZABC=60°,以AB为腰在菱形外作底角为45。的等腰AABE,

连结AC,CE,则4ACE的面积为.

15.如图，nABCD中，ZDAB=30°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则2PB+PD

的最小值等于.

DP

AB

16.已知I：一组邻边分别为6c6和10cm的平行四边形A5CO,NOA8和NABC的平分

线分别交CO所在直线于点E，F,则线段EE的长为cm.

17.如图，矩形A8CO中，CE=CB=BE,延长BE交A。于点延长CE交A。

于点F,过点E作EN工BE,交BA的延长线于点N,FE=2,AN=3,贝U

BC=_________

18.如图，长方形ABC。中，A。=26,AB=12,点。是的中点，点P在AO边

上运动，当VBPQ是以QP为腰的等腰三角形时，AP的长为,

19.如图，点E、F分别在平行四边形A8C。边8c和4。上（E、F都不与两端点重合），

A/7

连结AE、DE、BF、CF,其中AE和BF交于点G,DE和CF交于点令'—=〃，

BC

EC

——=m.若机=〃，则图中有.个平行四边形（不添加别的辅助线）；若

BC

m+n=l,且四边形ABC。的面积为28,则四边形FGEH的面积为.

20.如图，在四边形ABC。中，4。//30。=5,8。=18出是8。的中点.点尸以每秒

1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动;点。同时以每秒3个单位长度的速度

从点。出发，沿CB向点8运动.点P停止运动时，点。也随之停止运动，当运动时间为

r秒时，以点P,Q,E,。为顶点的四边形是平行四边形，贝V的值等于.

三、解答题

21.如图1,在矩形纸片A8CD中，A8=3cm,AD=5cm,折叠纸片使8点落在边AD上的

E处，折痕为PQ,过点E作EF〃A8交PQ于F,连接BF.

(1)(2)

(1)求证：四边形BFEP为菱形；

(2)当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动.

①当点Q与点C重合时，(如图2),求菱形BFEP的边长；

②如果限定P、Q分别在线段B48c上移动，直接写出菱形8FEP面积的变化范围.

22.共顶点的正方形ABCD与正方形AEFG中，AB=13,AE=S0.

(1)如图1,求证：DG=BE；

(2)如图2,连结8F,以BF、BC为一组邻边作平行四边形8C”

①连结B”，BG,求力；的值；

BG

②当四边形8CHF为菱形时，直接写出的长.

图1图2备用图

23.已知四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转a(0°<a<90°),得到

线段CE,联结BE、CE、DE.过点B作BF_LDE交线段DE的延长线于F.

(1)如图，当BE=CE时，求旋转角a的度数；

(2)当旋转角a的大小发生变化时，NBEE的度数是否发生变化?如果变化，请用含a的

代数式表示；如果不变，请求出NBEF的度数；

24.已知：如下图，ABC和BCD中，ABAC=ZBDC=90°E为BC的中点，连

接£>E、AE.若。CAE,在DC上取一点E,使得DF=DE,连接交AO于。.

（1）求证：EFIDA.

（2）若BC=4,AD=2g，求EF的长.

25.如图，在四边形0A8C是边长为4的正方形点P为0A边上任意一点（与点。、A不

重合），连接CP,过点「作加_1。尸，且过点M作MN〃A。，交B0

于点M联结BM、CN,设OP=x.

（1）当x=l时，点M的坐标为（,）

（2）设S四边形6岫=>，求出）'与x的函数关系式，写出函数的自变量的取值范围.

（3）在X轴正半轴上存在点Q,使得QMN是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合

条件的点。的坐标（用x的式子表示）

26.（问题情境）

在△ABC中，AB=AC,点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PDJ_AB,PE1AC,垂足

分别为D、E,过点C作CF_LAB,垂足为F.当P在BC边上时（如图1）,求证：

PD+PE=CF.

图①图②图③

证明思路是：如图2,连接AP,由AABP与AACP面积之和等于AABC的面积可以证得：

PD+PE=CF.（不要证明）

（变式探究）

当点P在CB延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD、PE、CF之间的数量关系并

说明理由.

请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：

（结论运用）

如图4,将长方形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P为折痕EF

上的任一点，过点P作PGLBE、PH1BC,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH

的值；

（迁移拓展）

4

在直角坐标系中.直线/1：y=-]X+4与直线6y=2x+4相交于点A,直线/1、/2与X轴分别

交于点B、点C.点P是直线12上一个动点，若点P到直线/!的距离为1.求点P的坐标.

27.如图，ABC。中，AABC=60°,连结8。，E是BC边上一点，连结4E交5。

于点F.

(1)如图1,连结AC,若A8=AE=6,8C:CE=5:2,求△ACE的面积；

(2)如图2,延长AE至点G,连结AG、DG,点、H在BD上,且5尸=。”，

AF=AH,过4作AMJ.DG于点M.若NABG+NADG=180。，求证：

BG+GD=6AG.

28.如图，在矩形A8CD中，AD=nAB,E,F分别在AB,BC±.

(1)若n=l,AFJ.DE.

①如图1,求证：AE=BF；

②如图2,点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H,若AH=AD,求证：AE+BG

=AG；

CF

(2)如图3,若E为AB的中点，ZADE=ZEDF.则——的值是(结果用

含"的式子表示).

29.如图，在平行四边形ABC。中，NBAD的平分线交BC于点E,交。C的延长线于

F,以EC、CF为邻边作平行四边形ECbG。

(1)证明平行四边形ECFG是菱形；

(2)若NABC=I20°，连结3G、CG、DG,①求证：DGCmBGE；②求NBDG

的度数；

30.已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF,AE=AF(AEVAD),连接DE、BF,P是

DE的中点，连接AP.将AAEF绕点A逆时针旋转.

(1)如图①，当AAEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时，则线段AP与线段BF的位

置关系为,数量关系为一.

(2)当AAEF绕点A逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第(1)问中的结论仍然成

立.

(3)若AB=3,AE=1,则线段AP的取值范围为.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.c

解析：c

【分析】

根据题意，连接CF,由正方形的性质，可以得到AABF丝Z\CBF,则AF=CF,ZBAF=ZBCF,

由NBAF=NFGC=NBCF,得到AF=CF=FG,故①正确；连接AC,与BD相交于点0,由正方

形性质和等腰直角三角形性质，证明AA0F四△FHG,即可得到EH=A0,则③正确；把

△ADE顺时针旋转90。，得到ZkABM,则证明△MAGgz^EAG,得到MG=EG,即可得到

EG=DE+BG,故④正确：②无法证明成立，即可得到答案.

【详解】

解：连接CF,

在正方形ABCD中，AB=BC,ZABF=ZCBF=45°,

在AABF和ACBF中，

AB=BC

<ZABF=^CBF=45°,

BF=BF

.".△ABF^ACBF(SAS),

；.AF=CF,ZBAF=ZBCF,

VFG±AE,

.•.在四边形ABGF中，ZBAF+ZBGF=360°-90°-90°=180<,,

XVZBGF+ZCGF=180°,

AZBAF=ZCGF,

AZCGF=ZBCF

，CF=FG,

，AF=FG；①正确；

连接AC交BD于O.

:四边形ABCD是正方形，HG1BD,

.\ZAOF=ZFHG=90°,

VZOAF+ZAFO=90°,ZGFH+ZAFO=90°,

.\ZOAF=ZGFH,

VFA=FG,

.,.△AOF^AFHG,

・，.FH=OA二定值,③正确；

如图，把AADE顺时针旋转90。,得到ZkABM,

AAM=AE,BM=DE,ZBAM=ZDAE,

VAF=FG,AF±FG,

•••△AFG是等腰直角三角形，

AZFAG=45",

ZMAG=ZBAG+ZDAE=45°,

AZMAG=ZFAG,

在ZkAMG和z\AEG中，

AM=AE

<ZE4G=ZMAG=45°,

AG=AG

/.△AMG^AAEG,

.\MG=EG,

VMG=MB+BG=DE+BG,

/.GE=DE+BG,故④正确；

如图,AADE顺时针旋转’90。,得到AABM,记F的对应点为P,连接BP、PN,

则有BP=DF,ZABP=ZADB=45°,

VZABD=45°,

AZPBN=90",

.".BP2+BN2=PN2,

由上可知AAFG是等腰直角三角形，NFAG=45。，

ZMAG=ZBAG+ZDAE=45°,

.".ZMAG=ZFAG,

在AANP和AANF中，

AP=AF

<NEAG=NMAG=45°,

AN=AN

/.△ANP^AANF,

；.PN=NF,

.\BP2+BN2=NF2,

即DF2+BN2=NF2,

故⑤正确；

根据题意，无法证明②正确，

...真命题有四个，

故选C.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造

出等腰三角形和全等三角形.

2.C

解析：C

【分析】

如图，先作辅助线，首先根据垂直条件，求出线段ME、DE长度，然后运用勾股定理求出

DE的长度，再根据翻折的性质，当折线£4',AC与线段CE重合时，线段4。长度最

短，可以求出最小值.

【详解】

D

如图，连接EC,过点E作EM1CD交CD的延长线于点M.

四边形ABCD是平行四边形，

ADBC,AD=BC=6,

E为AD的中点，ZBC£>=30°,

二DE=£A=3,NMDE=NBCD=30。,

又EMLCD,

：.ME=-DE=-,DM=—,

222

个A/of么03A/315G

/.CM=CD+DM—6。3H-----=------.

22

根据勾股定理得：

CE=+CM2==3晒.

根据翻折的性质，可得E4'=E4=3,

当折线£4'，AC与线段CE重合时，线段AC长度最短，此时4'C=3炳一3.

【点睛】

本题是平行四边形翻折问题，主要考查直角三角形勾股定理，根据题意作出辅助线是解题

的关键.

3.B

解析：B

【解析】

【分析】

1

根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的才，已知两个正方形可得到一个阴影部

分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和.由此即可解答.

【详解】

11

由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的牙，即一个阴影部分的面积为六机2

1

如图，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为斤X4cm2,

1

，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为x（n-1）cm92,

34r

11009

・・・2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为彳X(2019-1)=——cm2.

故选B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分(阴影部

分)的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积.

4.B

解析：B

【解析】

【分析】

作C”_LA3于〃，如图，根据菱形的性质可判断A4BC为等边三角形，则

CH=2AB=46AH=B"=4,再利用CP=7勾股定理计算出，再根据折叠的

2

性质得点A'在以点P为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A'在

PC上时，CA'的值最小，然后证明即可.

【详解】

解：作C”_LA3于〃，如图，

菱形A6Q9的边AB=8,Z5=60，

...A4BC为等边三角形，

：.CH=—AB=4y/3>AH=BH=4,

2

PB=3,

HP=1,

在放中，CP=J(4后+『=7,

梯形APQO沿直线PQ折叠，4的对应点A',

..•点A'在以点P为圆心，PA为半径的弧上，

..・当点A'在PC上时，C4'的值最小，

:.ZAPQ=ZCPQ,

而CD//AB,

:.ZAPQ=ZCQP,

;.NCQP=NCPQ,

:.CQ=CP=Q.

DQ

AHPB

故选：B.

【点睛】

考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条

对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.也考查了折叠的性质.解决本题的关

键是确定A在PC上时CA，的长度最小.

5.D

解析：D

【分析】

由题意得出条件证明△ABCg^DAF,根据对应角相等可推出②正确;由F是AB中点根据边长

转换可以推出④正确;先推出△ECFgZXDFA得出对应边相等推出ADFE为平行四边形且有组

临边不等得出①错误;再由以上全等即可得出④正确.

【详解】

VAABD是等边三角形，

AZBAD=60°,AB=AD,

VZBAC=30°,知

ZFAD=ZABC=90°,AC=2BC,

OF为AC的中点道，

；.AC=2AF,

；.BC=AF,

AAABC^ADAF,

，FD=AC,

.".ZADF=ZBAC=30°,

ADFlAB,故②正确，

VEF±AC,ZACB=90",

；.FG〃BC,

是AB的中点，

1

；.GF=-BC,

2

1

VBC=—AC,AC=CE,

2

.\GF=-CE,故④说法正确；

4

VAE=CE,CF=AF,

，/EFC=90",NCEF=30",

ZFAD=ZCAB+ZBAD=90°,

AZEFC=ZDAF,

VDFXAB,

.\ZADF=30",

/.ZCEF=ZADF,

AAECF^ADFA(AAS),

，AD=EF,

：FD=AC,

四边形属ADFE为平行四边形，

VAD*DF,

...四边形ADFE不是菱形；

故①说法不正确；

1

，A0=—AF,

2

1

.\A0=—AC,

2

VAE=AC,

则AE=4A0,故③说法正确，

故选D.

【点睛】

本体主要考查平行四边形的判定，等边三角形，三角形全等的判定，关键在于熟练掌握基

础知识，根据图形结合知识点进行推导.

6.D

解析：D

【分析】

根据平行四边形的性质求出AB+AD=5cm,根据线段的垂直平分线求出BE=DE,求出\ABE的

周长等于AB+AD,代入求出即可.

【详解】

C舫8=1。的

:.AB-i-AD=5cm

・・•在ABC。中，OB=OD,OEA.BD

；.EB=ED

AFR

CALD=AB+AE+BE=AB+AE+BE—AB+AD

:，cAEB=5cm

故选：D.

【点睛】

本题主要考查的知识点是平行四边形对边相等的这条性质，结合线段的垂直平分线的性质

来进行计算是解题的关键.

7.B

解析：B

【分析】

由题意先根据ASA证明aADF丝ZXECF,推出SABCD=300,再证明BE=AB=25,根

据等腰三角形三线合一的性质得出BF_LAE.设AF=x,BF=y,由NABFCNBAF可得xVy,

进而根据勾股定理以及4ABE的面积为300列出方程组并解出即可.

【详解】

解：•••四边形ABCD为平行四边形，

.".AD//BCBPAD//BE,AB//CD,

；.NDAF=NE.

在4ADF与4ECF中，

NDAF=NE

<AF=EF,

NAFD=NEFC

.,.△ADF^AECF(ASA),

^AADF=S4ECF>

5'BPE=SABCD=300-

VAE平分/BAD,

.\ZBAE=ZDAF,

VZDAF=ZE,

；.NBAE=NE,

；.BE=AB=25,

VAF=FE,

/.BFXAE.

设AF=x,BF=y,

•..ND为锐角，

AZDAB=180°-ND是钝角,

，NDC/DAB,

—ZABC<—ZDAB,

22

ZABF<ZBAF,

.".AF<BF,x<y.

X2+/=252

户15"i=20

则有<,解得：\或（舍去），

12xy=300y=20y=15

即AF=15.

故选:B.

【点睛】

本题考查平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质和勾股定理

等知识.由题意证明出S.=S谡8=300以及BF1AE是解题的关键.

8.B

解析：B

【分析】

连接BD、BF,由正方形的性质可得：ZCBD=ZFBG=45°,ZDBF=90",再应用勾股定理

求BD、BF和DF,最后应用“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”可求得BH.

【详解】

四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形,

；.AB=AD=2,BE=EF=3,NA=NE=90°,NABD=NCBD=NEBF=/FBG=45°,

/.ZDBF=90°,BD=2&,BF=3^,

...在RtABDF中，DF7BD?+BF2=J（2夜）2+（3&『=A/26，

VH为线段DF的中点,

.,.BH=—DF=2^.

22

故选B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形边的关系、勾股定理、直角三角形性质等，解

题关键添加辅助线构造直角三角形.

9.C

解析：c

【分析】

根据等边三角形边长为2,在R3BDE中求得OE的长，再根据CM垂直平分。尸，在

RtACDN中求得CN,利用三角形中位线求得的长，最后根据线段和可得CM的

长.

【详解】

解：等边三角形边长为2,BD」CD,

2

24

BD=-,CD=-,

33

等边三角形ABC中，DF11AB,

ZFDC=NB=60°,

ZEDF=90°,

Z.BDE=30°,

...DELBE,

如图，连接DM,贝IjRtADEF中，DM=-EF=FM,

2

ZFDC=NFCD=60°,

?.\CDF是等边三角形,

4

,\CD=CF=-,

3

:.CM垂直平分DF,

/.4DCN=30°,

429Fz

.♦.RtACDN中，DF=—，DN=-,CN=—,

333

"：EM=FM,DN=FN,

.....1石

..MN=—ED=—,

26

366

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、勾股定

理、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等.熟练掌握这些性质是解题的关键.

10.C

解析：c

【分析】

选项①正确.证明/GAF=/GAD,/EAB=NEAF即可.选项②错误.可以证明

DG=GC=FG,显然AGFC不是等边三角形，可得结论.选项③正确.证明CF1.DF,AG1DF

即可.选项④正确.证明FG：EG=3：5,求出4ECG的面积即可.

【详解】

解：如图，连接DF.

:四边形ABCD是正方形，

；.AB=AD=BC=CD,ZABE=ZBAD=ZADG=ZECG=90°,

由折叠可知：AB=AF,ZABE=ZAFE=ZAFG=90°,BE=EF=4,ZBAE=ZEAF,

VZAFG=ZADG=90°,AG=AG,AD=AF,

/.RtAAGD^RtAAGF(HL),

/GAF=NGAD,

AZEAG=ZEAF+ZGAF=y(ZBAF+ZDAF)=45°,故①正确，

设GD=GF=x,

在ECG中，,/EG2=EC2+CG2,

(4+X)2=82+(12-X)2,

••x=6,

VCD=BC=BE+EC=12,

・•・DG=CG=6,

AFG=GC,

易知AGFC不是等边三角形，显然FGKFC,故②错误，

：GF=GD=GC,

AZDFC=90°,

；.CFJ_DF,

VAD=AF,GD=GF,

AAG1DF,

；.CF〃AG,故③正确，

1

"•'SAECG=—X6X8=24,FG：FE=6：4=3：2,

AFG：EG=3：5,

372

•'•SAGFc=yX24=--=14.4,故④正确,

故①③④正确，

故选：C.

【点睛】

本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时

设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长

度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.

二、填空题

11.4夜

【分析】

首先由对边分别平行可判断四边形ABCD为平行四边形，连接AC和BD,过A点分别作DC

和BC的垂线，垂足分别为F和E,通过证明4ADF/Z\ABC来证明四边形ABCD为菱形，

从而得到AC与BD相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD长度.

【详解】

解：连接AC和BD,其交点为0,过A点分别作DC和BC的垂线，垂足分别为F和E,

VAB/7CD,AD〃BC,

四边形ABCD为平行四边形，

；.NADF=NABE,

•••两纸条宽度相同，

.".AF=AE,

-ZADF=NABE

；«ZAFD=ZAEB=90°

AF=AE

.,.△ADF^AABE,

；.AD=AB,

二四边形ABCD为菱形，

；.AC与BD相互垂直平分，

BD=2^AB2-A(f=40

故本题答案为：472

【点睛】

本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定

要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.

12.①③④

【分析】

由矩形的性质可得AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AC=BD,由角平分

线的性质和余角的性质可得NF=NFAD=45°,可得AD=DF=BC,可判断①；通过证明

△DCG^ABEG,可得NBGE=/DGC,BG=DG,即可判断②③；过点G作GH_LCD于H,设

AD=4x=DF,AB=3x,由勾股定理可求BD=5x,由等腰直角三角形的性质可得

HG=CH=FH=!X,DG=GB=5&x,由三角形面积公式可求解，可判断④.

22

【详解】

解：•.•四边形ABCD是矩形，

；.AB=CD,AD=BC,NBAD=NABC=/BCD=NADC=90°,AC=BD,

VAE平分NBAD,

AZBAE=ZDAE=45",

AZF=ZFAD,

，AD=DF,

ABC=DF,故①正确;

VZEAB=ZBEA=45",

；.AB=BE=CD,

VZCEF=ZAEB=45°,NECF=90。，

...△CEF是等腰直角三角形，

:点G为EF的中点，

/.CG=EG,NFCG=45°,CG±AG,

ZBEG=ZDCG=135",

在aDCG和ABEG中，

BE=CD

<NBEG=NDCG,

CG=EG

AADCG^ABEG(SAS).

.\ZBGE=ZDGC,BG=DG,

VZBGE<ZAEB,

.".ZDGC=ZBGE<45°,

,.•ZCGF=90°,

.\ZDGF<135°,故②错误；

VZBGE=ZDGC,

?.ZBGE+ZDGA=ZDGC+ZDGA,

.,.ZCGA=ZDGB=90",

.,.BG±DG,故③正确；

过点G作GH±CD于H,

.•.设AD=4x=DF,AB=3x,

，CF=CE=X,BD=7XB2+AT>2=5X>

VACFG,Z\GBD是等腰直角三角形，

]55

.•.HG=CH=FH=-x,DG=GB=—1—x,

22

12125,

=X=

•»SADGF"DFXHG=X,SZiBDG~DGXGB=x,

25

S30G=ISFDG，故④正确；

故答案为：①③④.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练

掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键.

13.一或4-W6

33

【分析】

连接AC交BD于0,由菱形的性质可得AB=BC=4,/ABD=30°,AC1BD,B0=D。，

A0=C0,可证四边形BEGF是菱形，可得NABG=30。，可得点B,点G,点D三点共线，由

直角三角形性质可求BD=4g,AC=4,分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解.

【详解】

如图，连接AC交BD于。，

，AB=BC=4,NABD=30°,AC1BD,BODO,AO=C。,

VEGZ/BC,FG〃AB,

四边形BEGF是平行四边形，

又：BE=BF,

四边形BEGF是菱形，

ZABG=30",

点B,点G,点D三点共线，

VAC1BD,ZABD=30°,

AO=yAB=2,B0=JAB?_A02="2_2?=2>/3,

：.BD=4y/j,AC=4,

„「BG

同理可求BG=6BE,即BE二一,

A/3

若AD=DG*=4时，

.".BG'=BD-DG'=4\^-4，

.4^-4，473

.•.BE'=、「=4—；

百3

若AG"=G"D时，过点G”作G"H±AD于H,

，AH=HD=2,

；NADB=30°,G"H±AD,

，DG"=2HG",

HD2+HG"2=DG"2.

解得：HG"=^^,DG"=2HG”=^^,

33

.".BG"=BD-DG"=4V3=>

33

8

3

综上所述：BE为5或4-迪.

33

【点睛】

本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论

思想解决问题是本题的关键.

14.9或9a5+1).

【分析】

分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可.

【详解】

解：①如图1,延长EA交DC于点F,

:菱形ABCD的周长为24,

AAB=BC=6,

VZABC=60°,

・・・三角形ABC是等边三角形，

AZBAC=60°,

当EALBA时，4ABE是等腰直角三角形,

・・・AE=AB=AC=6,ZEAC=90°+60°=150°,

AZFAC=30°,

VZACD=60°,

/.ZAFC=90°,

1

ACF=—AC=3,

2

则ZkACE的面积为：AExCF=yx6x3=9；

②如图2,过点A作AFLEC于点F,

由①可知：ZEBC=ZEBA+ZABC=90°+60°=150°,

VAB=BE=BC=6,

.\ZBEC=ZBCE=15O,

ZAEF=45°-15°=30°,ZACE=60°-15°=45°,

；.AF=yAE,AF=CF=qAC=3亚,

VAB=BE=6,

，AE=6及，

，EF=JA£2_AF2=3限’

••.EC=EF+FC=3V^+30

则AACE的面积为：-ECxAF=-xO瓜+3夜)X3垃=9(73+1).

22

故答案为：9或9(6+1).

【点睛】

本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键

是掌握菱形的性质.

15.6

【分析】

过点P作PELAD交AD的延长线于点E,根据四边形ABCD是平行四边形，得至ljAB〃CD,

推出PE=gpD,由此得到当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条

直线上，利用NDAB=30°,NAEP=90°,AB=6求出PB+PE的最小值='AB=3,得到2PB+

2

PD的最小值等于6.

【详解】

过点P作PEXAD交AD的延长线于点E,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,

，NEDC=NDAB=30°,

1

二PE=—PD,

2

V2PB+PD=2(PB+JPD)=2(PB+PE),

当PB+PE最小时2PB+PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上,

VZDAB=30o,/AEP=90°,AB=6,

.;PB+PE的最小值=^AB=3,

；.2PB+PD的最小值等于6,

故答案为：6.

【点睛】

此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30。角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化

为三点共线的形式是解题的关键.

16.2或14

【分析】

利用当AB=10cm,AD=6cm,由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分/BAD,由此

可以推出所以NBAE=/DAE,则DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm,而EF=CF+DE-DC,

由此可以求出EF长；同理可得：当AD=10cm,AB=6cm时，可以求出EF长

【详解】

解：如图1,当AB=10cm,AD=6cm

VAE平分/BAD

AZBAE=ZDAE,

又：AD〃CB

.•.ZEAB=ZDEA,

.,.ZDAE=ZAED,则AD=DE=6cm

同理可得：CF=CB=6cm

EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)

如图2,当AD=10cm,AB=6cm,

VAE平分/BAD,

AZBAE=ZDAE

又：AD〃CB

.\ZEAB=ZDEA,

.,.ZDAE=ZAED则AD=DE=10cm

同理可得，CF=CB=10cmEF=DE+CF-DC=10+10-6=14(cm)

故答案为：2或14.

图1图2

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键是平行

四边形的不同可能性进行分类讨论.

17.6+6^3

【分析】

通过四边形ABCD是矩形以及=得到△FEM是等边三角形，根据含30。直

角三角形的性质以及勾股定理得到KM,NK,KE的值，进而得到NE的值，再利用30。直角

三角形的性质及勾股定理得到BN,BE即可.

【详解】

解：如图，设NE交AD于点K,

•四边形ABCD是矩形，

.".AD//BC,ZABC=90°,

.".ZMFE=ZFCB,ZFME=ZEBC

,/CE=CB=BE,

/.△BCE为等边三角形，

ZBEC=ZECB=ZEBC=60°,

VZFEM=ZBEC,

・・・ZFEM=ZMFE=ZFME=60°,

工△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2,

VEN1BE,

AZNEM=ZNEB=90°,

.\ZNKA=ZMKE=30°,

AKM=2EM=4,NK=2AN=6,

在RtAKME中，KE=4KM--EM2=26>

，NE=NK+KE=6+2/，

VZABC=90°,

...NABE=30°,

.,.BN=2NE=12+4V3，

•••BE=4BN2-NE2=6+673-

BC=BE=6+6G，

故答案为：6+6^3

【点睛】

本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30。直角三角形的性质与勾股定理的应用,

解题的关键是灵活运用30。直角三角形的性质.

18.6.5或8或18

【分析】

根据题意分8P=QP、8Q=QP两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可.

【详解】

解：.••四边形ABC。是矩形，AD=26,点。是的中点

BQ=\3

.•・①当时，过点尸作「仞，8。交BQ于点M,如图，

则BM=MQ=6.5，且四边形ABMP为矩形

AP=BM=6.5

②当BQ=Q尸时，以点。为圆心，3Q为半径作圆，与A。交于p'、P"两点，如图，

/FP：W-----、q尸〃D

_________皿_________

RQic

\/

\/

X、//

、——"

过。作QV_LPP",交P/"于点N,则可知P'N=P'N

；在RtP'NQ,PQ=13,NQ=AB=12

­'.P'N=y/p'Q2-NQ2=7132-122=5

同理，在吊尸NQ中，P〃N=5

AD-P'N—P"N26-5-5

AP'=-------------=--=^=8,AP〃=AP'+P'N+P〃N=8+5+5=18

22

即P'、P"为满足条件的P点的位置

/.AP=8或18

综上所述，当VBPQ是以QP为腰的等腰三角形时，AP的长为6.5或8或18.

故答案是：6.5或8或18

【点睛】

本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质

进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键.

19.7

【分析】

①若相=〃，则AF=£C,先根据平行四边形的性质得出AD〃8C,AO=8C,再根据平

行四边形的判定（一组对边平行且相等或两组对边分别平行）即可得；②先根据平行四边

形的性质与判定得出四边形ABEF、四边形CDFE都是平行四边形，从而可得

S^EFG~=WSCDFE'再根据ABEF+SCDF