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第一章勾股定理易错疑难精练易错精练1.在△ABC中,已知∠B=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,且a=5,b=12,求c2的值.【解析】

由∠B=90°,可知b为斜边.在Rt△ABC中,由勾股定理,得c2=b2-a2=122-52=119.

本题容易受思维定式的影响,误认为c是直角三角形的斜边,从而出现错误的解答:在Rt△ABC中,由勾股定理,得a2+b2=c2,所以c2=a2+b2=52+122=169.在运用勾股定理时,要先正确识别哪个角是直角,从而确定哪条边是斜边,再准确地运用勾股定理进行解题.易错分析易错点1在Rt△ABC中,∠C不一定是直角2.在Rt△ABC中,AB=8,BC=6,则以AC为边的正方形的面积为

.

【解析】当AB是直角边时,在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2=62+82=36+64=100,所以以AC为边的正方形的面积为100;当AB是斜边时,在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2=82-62=64-36=28,所以以AC为边的正方形的面积为28.综上,以AC为边的正方形的面积为100或28.已知直角三角形两边长求第三边长的策略

对于此类问题,若题目中明确给出斜边长和一条直角边长(或给出两条直角边长),则直接运用勾股定理求解;若题目中并没有明确说明给出的边长是直角边长还是斜边长,则要运用分类讨论的思想,分情况进行求解.归纳总结易错点2考虑不周,忽略分类讨论3.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,过点B的直线把△ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,求这个等腰三角形的面积.

疑难精练1.[2020宁夏中考]2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1),且大正方形的面积是15,小正方形的面积是3,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为b.如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放,那么图2中最大的正方形的面积为

.

【解析】由题意可得a2+b2=15,(b-a)2=3.易知题图2中最大的正方形的面积为(a+b)2.因为(b-a)2=3,所以a2-2ab+b2=3,所以15-2ab=3,所以2ab=12,所以(a+b)2=a2+2ab+b2=15+12=27.疑难点1勾股定理与面积

abc345512137242594041abc681081517102426123537疑难点2与勾股数有关的规律探究

3.[2020山东枣庄山亭区期中]如图所示的长方体透明玻璃鱼缸,假设其长AD=80cm,高AB=60cm,水深AE=40cm.在水面上紧贴内壁的G处有一块面包屑,G在水面线EF上,且EG=60cm,一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬到鱼缸内的G处吃面包屑,则蚂蚁爬行的最短路程为

cm.

【解析】如图,作点A关于BC的对称点A',连接A'G交BC于点Q,则A'G即最短路径.在Rt△A'EG中,A'E=80cm,

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