空间向量基本定理 课件

第一章1.2空间向量基本定理1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.问题导学题型探究当堂训练学习目标知识点一空间向量基本定理思考平面向量基本定量的内容是什么？问题导学

答案如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.梳理(1)如果三个向量a，b，c共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c叫做基向量，空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.(2)基底选定后，空间所有向量均可由基底唯一表示，构成基底的三个向量a，b，c中，没有零向量.(3)单位正交基底：如果{e1，e2，e3}为单位正交基底，则这三个基向量的位置关系是两两

，长度为1；且向量e1，e2，e3有公共的

.垂直起点知识点二空间向量的坐标表示思考平面向量的坐标是如何表示的？答案在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.梳理(1)设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量

＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝_____________，我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，此时向量p的

恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标

.xe1＋ye2＋ze3坐标(x，y，z)类型一空间向量的基底题型探究

例1

若{a，b，c}是空间的一个基底.试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？解假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面.∴a＋b，b＋c，c＋a不共面.∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底.空间向量有无数个基底.判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断.反思与感悟跟踪训练1

以下四个命题中正确的是_____.①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确.②③类型二用基底表示向量解连接AC，AD′.求解空间向量在某基底下的坐标的关键：一是运用空间向量的基本定理，二是理解空间向量的坐标表示的意义.反思与感悟解∵H为△OBC的重心，D为BC的中点，类型三应用空间向量坐标表示解题(1)注意向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为{e1，e2，e3}，a＝λe1＋μe2＋ke3，则a的坐标为(λ，μ，k).反思与感悟解析∵OM＝2MA，点M在OA上，为_____________.1.在以下三个命题中，真命题的个数是(

)①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底.A.0B.1C.2D.3C当堂训练

解析①正确.基底的量必须不共面；②正确；③不对，a，b不共线.当c＝λa＋μb时，a、b、c共面，故只有①②正确.123451234512345答案A12345所以O、A、B、C四点共面.D123454.设a，b，c是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为____(填写代号).解析①∵a－b与a，b共面，∴a－b与a，b不能构成空间的一个基底.②∵a＋b－c与a，b不共面，∴a＋b－c与a，b构成空间的一个基底.②123455.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是__________.解析设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10).(12,14,10)规律与方法(1)基底中不能有零向量.因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量